徐建友

摘 要：從目前的中學(xué)數(shù)學(xué)教材來看，二次函數(shù)占有極其重要的地位。無論是在代數(shù)課程中，還是在解析幾何課程中，二次函數(shù)都有其得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)。例如，在浙教版的初三數(shù)學(xué)教材中，二次函數(shù)就非常的重要，它不僅是考試的重點(diǎn)，而且也是考試的難點(diǎn)。更為突出的是，二次函數(shù)當(dāng)中的許多思想都可以很好地應(yīng)用到人們的實(shí)際生活當(dāng)中，比如說，分類討論的思想、最優(yōu)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)換思想、函數(shù)的思想等等。利用二次函數(shù)做媒介，不但能夠清晰地展示二次函數(shù)的教學(xué)思想，還能夠簡化問題，進(jìn)而輕松地解決問題。結(jié)合實(shí)際問題說明了二次函數(shù)的重要性，然后深入分析了二次函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；中學(xué)；數(shù)學(xué)；應(yīng)用

一、二次函數(shù)的重要性

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教材的重要內(nèi)容，特別是二次函數(shù)，它幾乎貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)的整個(gè)教學(xué)過程。由于二次函數(shù)具有比較豐富的內(nèi)涵與外延，所以二次函數(shù)有很高的研究價(jià)值，利用它可以研究函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性以及最大值問題，還能夠采用數(shù)形結(jié)合的方式，有效地解決數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的諸多問題，幫助學(xué)生理解、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，提高教學(xué)效率。其中，二次函數(shù)的重要性主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面。

1.有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

二次函數(shù)知識(shí)是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)體系的重要組成部分。在二次函數(shù)教學(xué)的實(shí)踐過程中，許多教師通過對(duì)二次函數(shù)相關(guān)概念、性質(zhì)、圖像以及有關(guān)法則的講解與分析，學(xué)生在解決此類問題時(shí)，思維能力得到了有效的鍛煉和提升。例如，在浙教版初三的數(shù)學(xué)課教材中，講到“二次函數(shù)圖像的性質(zhì)”這一內(nèi)容的時(shí)候，教師設(shè)置這樣的問題：“某鎮(zhèn)一家個(gè)體戶經(jīng)營一種產(chǎn)品，成本為每千克50元，據(jù)調(diào)查，若按照每千克60元銷售，每個(gè)月可以銷售700千克。銷售價(jià)漲高一元，每月銷售量就減少20千克，以此計(jì)算，當(dāng)?shù)曛靼唁N售價(jià)定為每千克75元時(shí)，其月銷售量和月利潤分別是多少？”當(dāng)教師設(shè)計(jì)出此問題情境時(shí)，學(xué)生能夠直接感知到問題的實(shí)質(zhì)內(nèi)容，使其認(rèn)識(shí)到知識(shí)與生活的緊密結(jié)合，從而積極主動(dòng)地去思考、解決問題，有效地激發(fā)了學(xué)生的自主性，提高了其數(shù)學(xué)思維能力。

2.有助于提高學(xué)生的自主探究能力

在中學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生的自主探究能力是影響其學(xué)習(xí)能力的重要因素，而問題教學(xué)能夠指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究，進(jìn)而掌握正確的解決問題的方法，提高自己的學(xué)習(xí)能力。例如，在浙教版初三的數(shù)學(xué)教材中，講到“二次函數(shù)的單調(diào)性以及最大值”的時(shí)候，教師可以先引入△ABC法則，然后畫出幾組開口方向不同的二次函數(shù)圖像，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究，分別找出這幾組函數(shù)的單調(diào)性與最大值的求解方法，最后教師再針對(duì)這些方法進(jìn)行歸納、總結(jié)，向?qū)W生說明解答此類問題的常用方法，從而增強(qiáng)了學(xué)生的有效探究能力，為其進(jìn)一步的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

二、二次函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

隨著課程的深化改革，教學(xué)的設(shè)置更加注重學(xué)生的綜合學(xué)習(xí)能力，二次函數(shù)知識(shí)具有內(nèi)容多、內(nèi)涵深、外延廣、關(guān)系密的特點(diǎn)，這為學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)提供了鍛煉和時(shí)間的平臺(tái)。二次函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用主要有以下幾方面。

1.利用二次函數(shù)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)化問題

在中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，經(jīng)常會(huì)遇到一些綜合性大題，來實(shí)現(xiàn)問題最優(yōu)化。例如，在初三浙教版中有下列問題：

某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價(jià)x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間的關(guān)系如下表：

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若日銷售量y是銷售價(jià)x的一次函數(shù)。

（1）求出日銷售量y（件）與銷售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每日銷售利潤是多少元？

解：（1）設(shè)一次函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b。

則15k+b=2520k+b=20解得k=-1b=40，

即一次函數(shù)表達(dá)式為y=-x+40。

（2）設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為x元，所獲銷售利潤為w元

w=（x-10）y=（x-10）（-x+40）

=-x2+50x-400

=-（x-25）2+225

當(dāng)x=25（元），ymax=225（元）

答：產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為25元時(shí)，每日獲得最大銷售利潤為225元。

2.利用二次函數(shù)求解最大值

在生活實(shí)踐中，人們經(jīng)常面對(duì)帶有“最”字的問題，如，在一定的方案中，花費(fèi)最少、消耗最低、面積最大、產(chǎn)值最高、獲利最多等。解數(shù)學(xué)題時(shí)，我們也常常碰到求某個(gè)變量的最大值或最小值之類的問題，這就是我們要討論的最值問題。求最值的問題的方法歸納起來有以下幾點(diǎn)：（1）運(yùn)用配方法求最值；（2）構(gòu)造一元二次方程，在方程有解的條件下，利用判別式求最值；（3）建立函數(shù)模型求最值；（4）利用基本不等式或不等分析法求最值。

例：小明的家門前有一塊空地，空地外有一面長10米的圍墻，為了美化生活環(huán)境，小明的爸爸準(zhǔn)備靠墻修建一個(gè)矩形花圃，他買回了32米長的不銹鋼管準(zhǔn)備作為花圃的圍欄，為了澆花和賞花的方便，準(zhǔn)備在花圃的中間再圍出一條寬為一米的通道及在左右花圃各放一個(gè)1米寬的門（木質(zhì)）?；ㄆ缘拈L與寬如何設(shè)計(jì)才能使花圃的面積最大？

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解：設(shè)花圃的寬為x米，面積為S平方米。

則長為：32-4x+2=34-4x（米）

則：S=x（34-4x）

=-4x2+34x

=-4（x-■）2+■

∵0<34-4x≤10

∴6≤x<■

∵■<6，∴S與x的二次函數(shù)的頂點(diǎn)不在自變量x的范圍內(nèi)，

而當(dāng)6≤x<■內(nèi)，S隨x的增大而減小，

∴當(dāng)x=6時(shí)，Smax=-4（6-■）2+■=60（平方米）

答：可設(shè)計(jì)成寬6米，長10米的矩形花圃，這樣的花圃面積最大。

在中學(xué)的數(shù)學(xué)教材中，這些都是較常見的問題，利用二次函數(shù)就可以將原本復(fù)雜的問題簡單化，既能夠清楚地解決問題，也能夠讓學(xué)生對(duì)知識(shí)有全面的了解和掌握。

綜合以上的分析，二次函數(shù)不僅對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維、探究能力有很大幫助，而且，還能夠觸類旁通地解決實(shí)際生活中的問題，讓學(xué)生真正感受到知識(shí)的學(xué)以致用，有效地促進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的進(jìn)步與發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

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[2]郭利平.初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)研究[D].碩士學(xué)位論文，2011（5）.

（作者單位 浙江省蘭溪市第八中學(xué)）