凌和良，萬(wàn)冰蓉

（南昌工程學(xué)院 理學(xué)系，江西 南昌 330099）

《線性代數(shù)》是應(yīng)用型本科非數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)理論課，也是研究生考試的一個(gè)重要組成部分，長(zhǎng)期以來(lái)它已形成了一個(gè)比較科學(xué)的課程體系和比較穩(wěn)定的內(nèi)容體系，但隨著時(shí)代的發(fā)展、科技的進(jìn)步，它已不能很好地適應(yīng)現(xiàn)代社會(huì)的要求.這就要求我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中尋求一種新的模式，在教學(xué)方面有必要進(jìn)行改革嘗試.根據(jù)多年來(lái)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)普遍反應(yīng)出來(lái)的：線性代數(shù)內(nèi)容抽象、枯燥難學(xué)這一問(wèn)題，我們?cè)诰€性代數(shù)的教學(xué)過(guò)程中進(jìn)行了幾點(diǎn)教學(xué)改革嘗試，收到了預(yù)期的效果.

1 把線性代數(shù)的概念與實(shí)際背景、幾何直觀相結(jié)合

學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)過(guò)程中往往感覺(jué)抽象，主要是集中在其概念的抽象上.有些概念往往會(huì)讓初學(xué)者感到莫名其妙.如一般線性代數(shù)教材中線性代數(shù)的第一個(gè)概念行列式，學(xué)生就不知為什么要那樣定義？其實(shí)質(zhì)又是什么？矩陣的乘法運(yùn)算又為什么是那樣的計(jì)算方法？更不用說(shuō)對(duì)線性空間的定義了.一般教材都是從抽象到抽象的定義，這樣教學(xué)對(duì)大多數(shù)應(yīng)用型本科院校學(xué)生是較抽象的.上課過(guò)程中學(xué)生似乎聽(tīng)懂，但拿起題來(lái)卻不會(huì)做，更不用說(shuō)解決實(shí)際問(wèn)題了，長(zhǎng)此下去學(xué)生最終會(huì)感到學(xué)習(xí)枯燥無(wú)味，喪失學(xué)習(xí)興趣.

其實(shí)，線性代數(shù)有很強(qiáng)的實(shí)際背景，它與空間解析幾何有密不可分的關(guān)系，線性代數(shù)中的許多問(wèn)題可視為空間解析幾何問(wèn)題在n維空間的推廣.線性代數(shù)中的許多概念，如行列式、向量的線性相關(guān)性、矩陣的秩等都有很強(qiáng)的實(shí)際背景和幾何直觀.以行列式的定義為例，一般來(lái)講，教材上行列式的定義有三種定義方法：公理化定義、遞歸法定義和表達(dá)式法定義.但無(wú)論哪一種定義方法，初學(xué)者都會(huì)感到抽象難懂.其實(shí)，行列式的幾何背景很直觀，不過(guò)是空間平行多面體的“體積”而已.

如二維空間中用幾何的方法求兩個(gè)向量的和要構(gòu)造一個(gè)平行四邊形,這個(gè)平行四邊形的面積正好是以其兩個(gè)生成向量為列構(gòu)成的二階行列式的值.同樣可以用中學(xué)立體幾何的方法求出由如下三個(gè)向量α1=(2,0,2)T,α2=(3,3,1)T,α3=(-1,0,1)T所生成的三維空間中的平行六面體的體積為12.再構(gòu)造以這三個(gè)生成向量為列的三階行列式:

它的值正好是12.推廣到一般，n階行列式可以看作它的各列向量生成的n維多面體的體積,這是一個(gè)很直觀的背景.不僅如此,行列式的性質(zhì)都可以在平面上通過(guò)圖形來(lái)直觀表示.例如用一個(gè)數(shù)k去乘行列式的一列等于用k去乘行列式這一代數(shù)性質(zhì),從幾何上看,就是表示原平行四邊形的某條邊延長(zhǎng)為原來(lái)的k倍,從而該平行四邊形的面積也為原面積的k倍；行列式等于零即面積為零,就是這個(gè)平行四邊形退化到一條線上了,也就是構(gòu)成平行四邊形的兩條邊的向量線性相關(guān).如果進(jìn)一步分析生成向量的旋轉(zhuǎn)方向與代數(shù)面積的正負(fù)之間的關(guān)系,則可以解釋交換行列式的行與列對(duì)行列式的值的影響等等.通過(guò)這樣處理教學(xué)內(nèi)容,學(xué)生對(duì)行列式的定義及性質(zhì)就會(huì)有一個(gè)更直觀且明晰的認(rèn)識(shí)，不再感到抽象了.

2 把線性代數(shù)內(nèi)容教學(xué)與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，滲透數(shù)學(xué)建模的思想

數(shù)學(xué)素質(zhì)是科技人才科學(xué)素質(zhì)的重要組成部分.高科技本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù).任何高新技術(shù)的進(jìn)步或突破都往往與數(shù)學(xué)在某一方面的成就緊密相關(guān),沒(méi)有良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)已無(wú)法進(jìn)行科學(xué)技術(shù)的創(chuàng)新.數(shù)學(xué)建模是把數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際的有效途徑,我們培養(yǎng)的各類專業(yè)科技人才,應(yīng)該具有將他所涉及的專業(yè)實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的能力,這樣才能在實(shí)際工作中發(fā)揮更大的創(chuàng)造性.現(xiàn)在,數(shù)學(xué)建模還沒(méi)有成為各工科院校的一門必修課,雖然有每年一次的“大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽”,但參加者畢竟是學(xué)生的一小部分,很多學(xué)生對(duì)“建?！蓖?充滿了神秘感,認(rèn)為進(jìn)行數(shù)學(xué)建模必須具有高深的數(shù)學(xué)知識(shí),甚至有的學(xué)生不知何為建模.我們提供一些“建?！钡乃夭?穿插在教材之中,使學(xué)生在理解數(shù)學(xué)概念的同時(shí),培養(yǎng)其“建?！焙蛻?yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí).例如在講解線性方程組的過(guò)程中，我們可以插入關(guān)于線性回歸的數(shù)學(xué)建模的案例教學(xué):

例：根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)輸企業(yè)的業(yè)務(wù)收入同廣告費(fèi)支付、營(yíng)業(yè)網(wǎng)點(diǎn)數(shù)之間具有相關(guān)關(guān)系.某運(yùn)輸企業(yè)1994年至2003年的業(yè)務(wù)收入和廣告費(fèi)支出、營(yíng)業(yè)網(wǎng)點(diǎn)數(shù)的資料如下表所示：

企業(yè)業(yè)務(wù)收入、廣告費(fèi)支出、營(yíng)業(yè)網(wǎng)點(diǎn)數(shù)表

問(wèn)：如果2004年該企業(yè)的廣告費(fèi)支出為35萬(wàn)元，營(yíng)業(yè)網(wǎng)點(diǎn)數(shù)為34個(gè)，預(yù)測(cè)企業(yè)2004年的商品銷售額.

（1）建立線性方程.從表中可以看出，商品銷售額與廣告費(fèi)支出、營(yíng)業(yè)網(wǎng)點(diǎn)數(shù)兩個(gè)因素均存在相關(guān)關(guān)系.所以擬合得到二元線性回歸方程：

式中參數(shù)a、b1、b2用統(tǒng)計(jì)當(dāng)中的最小二乘法推算，即

有關(guān)數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果如下表所示：

將相關(guān)數(shù)據(jù)代入上述方程組，得到

解方程組，得到

數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果表

所以，二元線性回歸方程為y贊=6.9285+0.35x1+0.965x2，將x1=35，x2=34代入方程，可以預(yù)測(cè)出2004年商品銷售額為51.9885百萬(wàn)元.

3 把線性代數(shù)中的某些內(nèi)容與數(shù)學(xué)軟件相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力

線性代數(shù)中最耗時(shí)間和精力的是繁雜的高階行列式的計(jì)算、高階矩陣的運(yùn)算、解線性方程組.我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中借助現(xiàn)代技術(shù)和數(shù)學(xué)軟件Matlab給學(xué)生提供簡(jiǎn)單易掌握的應(yīng)用程序，這樣既節(jié)約了學(xué)生大量的計(jì)算時(shí)間，又為學(xué)生將來(lái)的工作和學(xué)習(xí)打下了更好的基礎(chǔ).

4 結(jié)束語(yǔ)

以上幾個(gè)方面，是我們進(jìn)行線性代數(shù)課程教學(xué)改革的基本思想，在確保原有課程體系和內(nèi)容的基礎(chǔ)上，融入上述內(nèi)容，在教學(xué)的過(guò)程中不僅有抽象的理性訓(xùn)練，而且還加強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用線性代數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題能力的培養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，對(duì)整體提高線性代數(shù)教學(xué)質(zhì)量會(huì)起到很好的作用.

〔1〕張新育,王錦玲,王樹(shù)生，等.工科線性代數(shù)教學(xué)改革方案的研究與實(shí)踐[J].工科數(shù)學(xué),1998,14(2):96-97.

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〔3〕譚瑞梅,朱云.工科“線性代數(shù)”課程改革模式探討[J].高等理科教育，2005（6）：32-33.

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