梁雙鳳，何建鋒

(楚雄師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，云南 楚雄 675000)

極限方法是高等數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的最基本的方法，是建立高等數(shù)學(xué)的基石。新課程改革后，對(duì)中學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力要求，除傳統(tǒng)的“加、減、乘、除”外，增加了“極限、求導(dǎo)”這些高等數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算，這說(shuō)明極限已經(jīng)成為現(xiàn)代人必備的一種解決問(wèn)題的意識(shí)和策略。極限在實(shí)際生活與生產(chǎn)中最常規(guī)的表現(xiàn)形態(tài)是:極端位置或極端值。用極限的方法解決問(wèn)題，就是從最特殊的位置、最特殊的點(diǎn)或者最特殊的值開(kāi)始，探尋問(wèn)題解決的一般方法和策略。

再例如，曲線的切線從它的定義到求出它的方程，始終都是用極限的方法和策略來(lái)完成的。如圖1所示，曲線f(x)在點(diǎn)M處的切線就是割線MN的極限位置MT;而切線的斜率K=也是用極限的方法來(lái)定義和計(jì)算的。

圖1

同樣，如果我們回顧一下漸近線的定義和求法也會(huì)發(fā)現(xiàn)，極限在其中扮演了不可缺少的重要角色。

除了按教科書里的定義來(lái)解釋極限的涵義外，極限在實(shí)際生活與生產(chǎn)中最常規(guī)的表現(xiàn)形態(tài)是:極端位置或極端值。用極限的方法來(lái)解決問(wèn)題，就是從最特殊的位置、最特殊的點(diǎn)或最特殊的值開(kāi)始，探尋問(wèn)題解決的一般方法和策略。

本文用極限的方法重新求解2012年全國(guó)及各省市的有關(guān)高考數(shù)學(xué)題，并以這些實(shí)例來(lái)說(shuō)明，如何用極限的方法和策略來(lái)巧解不是極限問(wèn)題的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

一、用極限的眼光，確定函數(shù)的圖像

圖2

分析 從提供的四個(gè)選項(xiàng)上，我們看到，這個(gè)函數(shù)的圖像是由兩支組成的，我們只需確定它們各自所在的位置，也就是它們各自所在的象限。

首先，由于函數(shù)的定義域?yàn)?－1，0)∪(0，+∞)，所以選項(xiàng)D被排除。

其次，探究當(dāng)x∈(－1，0)時(shí)函數(shù)的圖像。此時(shí)，我們研究函數(shù)在此區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)的極限，即

圖3

分析 四個(gè)選項(xiàng)所提供的信息是:此函數(shù)的圖像是對(duì)稱圖形。因此，可以由函數(shù)的奇偶性先進(jìn)行判斷:由于此函數(shù)是奇函數(shù)，故排除選項(xiàng)A。顯然，我們只要考慮函數(shù)在(0，+∞)上的圖像即可。

探究函數(shù)在(0，+∞)的圖像，我們可以先考慮函數(shù)在區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)的極限，即

二、用極限的手段，探尋參數(shù)的取值范圍

例3 (12年全國(guó)卷第20題) 設(shè)函數(shù)f(x)=ax+cos x，x∈［0，π］;

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)設(shè)f(x)≤1+sin x，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

分析 此處我們僅僅探究實(shí)數(shù)a的取值范圍。

如圖4所示，它表示當(dāng)x∈［0，π］時(shí)，直線y=ax－1始終要在曲線的下方;點(diǎn)A(0，－1)是直線與曲線的交點(diǎn)，且是曲線的最低點(diǎn);在x=π處由aπ－1=1得于是過(guò)A(0，－1)，B(π，1)的直線AB:y=2x－1就是滿足條件的π最上端的直線—極限直線。

圖4

圖5

例4(12年全國(guó)卷第10題)已知函數(shù)f(x)=x3－3x+c的圖像與x軸恰好有兩個(gè)交點(diǎn)

分析 由于f(x)=x3－3x+c的圖像與x軸恰好有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程x3=3x－c恰好有兩個(gè)不同的實(shí)根，也就是曲線y=x3與直線y=3x－c恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。

如圖5所示，由于直線y=3x與曲線y=x3有三個(gè)不同的交點(diǎn)，上下平行移動(dòng)直線y=3x就可得到直線y=3x－c;觀察直線y=3x－c與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，我們不難發(fā)現(xiàn)，只有當(dāng)直線y=3x－c與曲線y=x3相切時(shí)，它們才可能恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即只有當(dāng)直線y=3xc是曲線y=x3的切線時(shí)，才能滿足條件。

由于y'=3x2，所以由3x2=3得切點(diǎn)為(1，1)或(－1，－1);由此可以得到與直線y=3x－c平行的切線的方程為y=3x+2或y=3x－2，從而得到c=±2。

回顧整個(gè)解題過(guò)程，我們可以看到，滿足條件的直線y=3x±2，實(shí)際上就是最極端的直線，它是與曲線相交的最后的直線——極限直線。

圖6

首先，由于點(diǎn)D(0，－2)是動(dòng)直線y=kx－2上的定點(diǎn)，我們先連接AD，則直線AD:y=4x－2就是當(dāng)x→1時(shí)，滿足條件的直線y=kx－2的最上端的直線，即極限直線?，F(xiàn)在，我們把直線AD:y=4x－2圍繞定點(diǎn)D(0，－2)按順時(shí)針?lè)较蚵D(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)，直線A'D始終保持與射線AT和線段BC各有一個(gè)交點(diǎn);但當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)到直線A'D平行已知直線y=x+1時(shí)，即直線A'D的方程為y=x－2時(shí)，直線A'D就不再與射線y=x+1(x＞1)相交，即直線y=x－2是不滿足條件的第一條直線，即極限直線(如圖6A所示);由此，我們得到滿足條件的參數(shù)k的取值范圍:1＜k＜4。

其次，我們繼續(xù)把直線A'D:y=x－2圍繞定點(diǎn)D(0，－2)按順時(shí)針?lè)较蚵D(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)，我們可以看到，直線A″D始終保持與射線BM:y=x+1(x＜－1)和線段BC各有一個(gè)交點(diǎn);顯然，當(dāng)直線A″D通過(guò)線段BC:y=－x－1(－1≤x＜1)的端點(diǎn)C(1，－2)時(shí)，直線DC:y=－2就是不滿足條件的第一條直線，即極限直線(如圖6B所示);由此，我們得到滿足條件的參數(shù)的取值范圍:0＜k＜1。

所以，我們得到滿足條件的參數(shù)k的取值范圍:0＜k＜1或者1＜k＜4。

例6(12年安徽卷第21題)數(shù)列{xn}滿足x1=0，xn+1=－+xn+c(n∈N*)

(1)證明:{xn}是遞減數(shù)列的充分必要條件是c＜0;

(2)求c的取值范圍，使{xn}是遞增數(shù)列。

分析 此處僅僅研究問(wèn)題(2)。

數(shù)列{xn}是遞增數(shù)列的充分必要條件是:xn+1－xn≥0(n∈N*)。

此式說(shuō)明該數(shù)列有上界，從而當(dāng)此數(shù)列是遞增數(shù)列時(shí)，它必有極限。

三、用極限的策略，探究函數(shù)的最值

例7(12年課程標(biāo)準(zhǔn)卷第21題)已知f(x)滿足f(x)

(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;

圖7

圖8

令g(x)=ex，h(x)=(a+1)x+b;則有g(shù)(x)≥h(x)恒成立。它表示，曲線g(x)=ex始終在直線h(x)=(a+1)x+b的上方;如圖7所示。由此我們知道，曲線g(x)=ex上一定存在一個(gè)點(diǎn)P(x，y)，使過(guò)此點(diǎn)的切線PT與已知直線h(x)=(a+1)x+b平行。

顯然，此切線就是滿足條件g(x)≥h(x)的最“高”直線，即極限直線。而由此所確定的直線，自然就是能使(a+1)·b獲得極值的直線，即使(a+1)·b獲得最值的直線。

因?yàn)間'(x)=ex，所以有ex=a+1，即x=ln(a+1)，從而得到切線的方程為

y=(a+1)x+(a+1)［1 － ln(a+1)］，由此得到 b=(a+1)［1 －ln(a+1)］;從而有(a+1)·b=(a+1)2［1 － ln(a+1)］。

令 a+1=t，則(a+1)·b=k(t)=t2(1 － ln t)。

由于 k'(t)=t(1 －2 ln t)，令k'(t)=0，則

即(a+1)·b=k(t)=t2(1－ln t)的最大值為

例8(12年江蘇卷第12題)在直角坐標(biāo)系xoy中，圓C:x2+y2－8x+15=0;若直線y=kx－2上至少存在一點(diǎn)使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最大值為_(kāi)___________。

分析 因?yàn)閳A心P(a，b)在直線y=kx－2上，以P(a，b)為圓心，半徑為1的圓與已知圓C有公共點(diǎn)，所以兩圓心的連線CP不大于兩半徑的和，即|CP|≤2。由于點(diǎn)P(a，b)在直線y=kx－2上，所以，已知圓的圓心C(4，0)到直線y=kx－2的距離也不大于2，即≤2，解此不等式可得，從而得知k的最大值為

例9(12年福建卷第9題)若曲線 y=2x的圖像上存在點(diǎn)(x，y)滿足約束條件，則實(shí)數(shù)m的最大值為_(kāi)___________。

圖9

由于曲線y=2x與可行域邊界的交點(diǎn)為A(1，2)，而它實(shí)際上就是曲線y=2x與可行域的最右端的極限點(diǎn)，由此，過(guò)A(1，2)的直線x=1就是滿足條件的最右端的直線，即極限直線;所以，實(shí)數(shù)m的最大值就是1。