【摘要】平方差公式在七—九年級階段的教學(xué)中具有重要的地位，根據(jù)新課程理念，結(jié)合平方差公式的特殊結(jié)構(gòu)特征以及推出公式的過程來談?wù)務(wù)n堂中的教與學(xué)。

【關(guān)鍵詞】平方差公式 特殊一般 面積

【中圖分類號】G623.5【文獻標識碼】A【文章編號】2095-3089（2012）11-0156-01

新課程要求在數(shù)學(xué)新課的傳授時，應(yīng)該在教材基礎(chǔ)上對教法有新的突破。只有通過一些靈活多樣的形式體現(xiàn)，就可以使學(xué)生迅速進入學(xué)習(xí)意境，使教與學(xué)能夠有機結(jié)合，達到事半功倍的效果，現(xiàn)結(jié)合平方差公式的教與學(xué)作一些探索性的分析研究，僅供大家參考。

本節(jié)教學(xué)的重點是掌握公式的結(jié)構(gòu)特征及正確運用公式。難點是公式推導(dǎo)的理解及字母的廣泛含義。平時的平方差公式的教學(xué)往往是簡單的引入，重點放在練習(xí)上，這有違教材的初衷。教材的重點推導(dǎo)是為了培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想、總結(jié)的能力，可以從已經(jīng)學(xué)習(xí)的多項式乘法入手，做相應(yīng)的題目，從中總結(jié)推導(dǎo)出平方差公式。而對于平方差公式的應(yīng)用，是為了使學(xué)生熟練、準確地應(yīng)用這個公式，可以選取有代表性的題目，進行相應(yīng)的練習(xí)，當(dāng)然，在練習(xí)的過程中，為了調(diào)動學(xué)生的積極性，可以比賽的形式進行練習(xí)。對于平方差公式幾何背景的了解，是為了培養(yǎng)學(xué)生的動手能力和實踐能力，可以采用親手剪拼圖形的方法。

一、引入推導(dǎo)

引入：過程在教學(xué)中首先采用比賽速算的方法：看誰先計算出結(jié)果：9998×10002，通過比賽來提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，增強獲得新知識的欲望。

（一）觀察與思考1： 左 右

（2+1）（2-1） 22-1

（3+2）（3-2） 32-22

（-2+1）（-2-1） （-2）2-1

看看上面每行的左右兩列的結(jié)果大小關(guān)系，你能得出怎樣的規(guī)律？（提示：把括號內(nèi)的數(shù)用字母表示） 如何證明你的結(jié)論？（提示：用多項式的乘法。）

觀察與思考2： 左 右

（a+b）（a-b） a2-b2

（3x＋2 ）（ 3x－2 ） （3x）2-22

看看上面每行的左右兩列的結(jié)果大小關(guān)系，你能得出怎樣的規(guī)律？如何驗證。請同學(xué)寫出來，由學(xué)生得出結(jié)論平方差的公式。

逐漸由特殊到一般，找到規(guī)律。這一公式的結(jié)構(gòu)特征：左邊是兩個二項式相乘，這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)；右邊是乘式中兩項的平方差，即相同項的平方與相反項的平方差。

3.計算下列各題，看誰做得又快又準？

（1）（a+b）（a-b） （2）（x+y）（x-y）

（3）（x＋4）（x－4） （4）（1＋2a）（1－2a）

（5）（m＋6n）（m－6n） （6）（5y＋z）（5y－z）

（7）（2a+b）（2a-b） （8）（2m+3）（2m-3）

在這里抓住學(xué)生的好勝性，放手讓學(xué)生練，凸顯學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位，讓學(xué)生暴露學(xué)習(xí)這個公式時遇到的各種情況。通過練習(xí)。剖析公式，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，強調(diào)公式的左右兩邊的特征，解決學(xué)生中的典型錯誤。在認清公式的結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，進一步剖析a、b的廣泛含義，抓住概念的核心，使學(xué)生在公式的運用中能得心應(yīng)手，起到事半功倍的效果。比如：在運用公式的過程中，有時需要變形，例如（a+b+c）（a-b-c），變形為，兩個數(shù)就可以看清楚了。

強化訓(xùn)練，突出本質(zhì)。

4.指出下列計算中的錯誤：

（1） （1+2x）（1-2x）=1-2x2

（2） （2a2+b2）（2a2-b2）=2a4-b4

（3） （3m+2n）（3m-2n）=2m2-2n2

再次通過典型錯誤的突出公式的特征。由學(xué)生總結(jié)：

①什么是平方差公式？

②運用公式要注意什么？從下面兩個方面回答：

a.要符合公式特征才能運用平方差公式；

b.有些式子表面不能應(yīng)用公式，但實質(zhì)能應(yīng)用公式，要注意變形。

二、幾何解釋

1.活動探究：將長為（a+b），寬為（a－b）的長方形，剪下寬為b的長方形條，拼成有空缺的正方形，并請用等式表示你剪拼前后的圖形的面積關(guān)系（a>b>0）。

■

通過學(xué)生小組合作，完成剪拼游戲活動，利用這些圖形面積的相等關(guān)系，進一步從幾何角度驗證了平方差公式的正確性，滲透了數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生體會到代數(shù)與幾何的內(nèi)在聯(lián)系。引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從多角度、多方面來思考問題。對于任意的a、b，由學(xué)生運用多項式乘法計算：（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2，驗證了其公式的正確性。使學(xué)生看到數(shù)學(xué)中的公式反映了實際問題中的客觀關(guān)系，是看得見摸得著的，糾正 “數(shù)學(xué)只是一些枯燥的公式、規(guī)定，沒有什么實際的意義”這樣的偏見，初步感受數(shù)形結(jié)合的例子。再讓學(xué)生觀察課本P79頁的圖形自行給出過程，同學(xué)之間交流。

2.學(xué)生練習(xí)：某住宅小區(qū)的花園，起初被設(shè)計為邊長為 米的正方形，后因道路的原因，設(shè)計修改為：北邊往南平移2.5米，而東邊往東平移2.5米. 試問修改后的花園面積和原先設(shè)計的花園面積相差多少？

解：如圖（1），原花園的面積S=a2.

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（1） （2）

修改后的花園如圖（2）所示，其面積S后=（a+2.5）×（a-2.5）=a2-2.52

所以， S-S后（m）=a2-（a2-2.52）=2.52=6.252

答：修改后的花園面積比修改前少了6.25平方米。

通過此例讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)是生活中無處不在的，只要我們有心，便能在生活實踐中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，使用數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)成為我們解決的實際問題的工具，而不是單純的、枯燥的。平方差公式這一內(nèi)容屬于數(shù)學(xué)再創(chuàng)造活動的結(jié)果，它在整式乘法，因式分解，分式運算及其它代數(shù)式的變形中起著十分重要的作用，因此，它是構(gòu)建學(xué)生有價值的數(shù)學(xué)知識體系并形成相應(yīng)數(shù)學(xué)技能的重要內(nèi)容，它是讓學(xué)生感悟換元思想，由一般到特殊的思想，初步體會數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)形結(jié)合的方法，感受數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造性的好教材。在教學(xué)中應(yīng)突出教的主導(dǎo)與學(xué)的主體的和諧統(tǒng)一達到事半功倍的效果。