如何使得數(shù)學(xué)問題的解決更為容易，這一直以來都是施教者與受教者不斷探索的一個重要課題，也是提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力的關(guān)鍵。而導(dǎo)數(shù)作為一種研究函數(shù)性質(zhì)以解決其它數(shù)學(xué)問題的重要工具，在高中數(shù)學(xué)的解題中有著廣泛的應(yīng)用。一般而言，在高中數(shù)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)會被運(yùn)用到函數(shù)題目的解析、幾何問題以及不等式問題等的解決之中。本文主要通過一些示例，探討了導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的典型應(yīng)用。

一、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的典型應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)因?yàn)槠涮厥獾男再|(zhì)以及所蘊(yùn)含的意義，被廣泛的運(yùn)用到了各種類型的函數(shù)的解題中，其中最典型的是對于函數(shù)單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間、極值以及最值的求解中。下面我們來通過一些典型的例題進(jìn)行基本的講解：

1.函數(shù)單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

例：已知函數(shù)f（x）=-x3+3x2+9x+a，求f（x）的單調(diào)性以及單調(diào)區(qū)間。

分析：在拿到這樣的一個題目的時候，如果按照常規(guī)的方法求單調(diào)性以及單調(diào)區(qū)間，很難做到，看到函數(shù)是高次冪，并且可導(dǎo)，那么我們就可以考慮到用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性以及單調(diào)區(qū)間。

解：f'（x）=-3x2+6x+9，令f'（x）>0，那么解得x<-1或者x>3，也就是說函數(shù)在（-∞，-1），（3，+∞）這個單調(diào)區(qū)間上單調(diào)遞減。

2.函數(shù)極值最值

例：已知函數(shù)f（x）=-x3+3x2+9x+a，若f（x）在單調(diào)區(qū)間[-2，2]上的最大值為20，那么函數(shù)在這個區(qū)間上的最小值為多少？

分析：通過觀察我們發(fā)現(xiàn)，這個題目給出了函數(shù)在固定區(qū)間上的最大值，讓我們來求其固定區(qū)間上的最小值，由此可知，這是一個逆向思維的題目。需要我們確定函數(shù)的解析式，也就是需要確定a的值，下面我們來看具體的解題步驟。

解：由題意可知：f（-2）=2+a，f（2）=22+a，所以我們可以得出f（-2）0，在區(qū)間[-2，-1]上f'（x）<0，所以函數(shù)在區(qū)間[-1，2]上單調(diào)遞增，在[-2，-1]上單調(diào)遞減，所以在-1處取得最小值，在2處取得最大值。于是可得a=-2，于是f（-1）=-7，也就是本函數(shù)在區(qū)間[-2，2]上的最小值為-7。

二、導(dǎo)數(shù)在不等式中的典型應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用最多的是對于不等式的證明，通過函數(shù)的構(gòu)造，從而對整個函數(shù)進(jìn)行單調(diào)性的判斷，從而使得整個不等式得到有效的證明。下面我們來看看導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的具體的應(yīng)用：

例：已知函數(shù)f（x）=xlnx，其中0

分析：在拿到這個題目的時候，我們往往會被復(fù)雜的需要證明的不等式弄得一頭霧水，似乎無處下手，但是我們?nèi)绻诮忸}中能夠想到導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，那么肯定會事半功倍。通過求導(dǎo)，明確函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而對a、b值做個限定，進(jìn)行分類討論從而證明不等式的成立。

解：函數(shù)求導(dǎo)可得：f'（x）=lnx+1，則可以設(shè)G（x）=f（a）+f（b）-2f[（a+b）/2]，則G'（x）=f'（x）-4{f[（a+x）/2]}'=lnx-ln[（a+x）/2]。

則可知，當(dāng)0

當(dāng)x>a時，G'（x）>0，因此我們可以知道G（x）在區(qū)間（a，+∞）上是增函數(shù)。

以此，我們可以判別，當(dāng)x=a時，b>a，所以G（b）>0，即0

三、導(dǎo)數(shù)在曲線求解中的典型應(yīng)用

在一些曲線中，導(dǎo)數(shù)也得到了很典型的應(yīng)用。比如說求曲線過某一點(diǎn)的切線方程等。其實(shí)這些問題的解決都跟導(dǎo)數(shù)的定義以及一些定理有著密切的關(guān)系。下面我們就導(dǎo)數(shù)在曲線求解中的典型應(yīng)用做一個講解：

例：已知曲線f（x）=x3+x-16，點(diǎn)A（2，-6）是這個曲線上的一點(diǎn)，求f（x）在此處的切線方程。

分析：這是一道很典型的利用導(dǎo)數(shù)知識解決曲線在某點(diǎn)上的切線方程的問題。引用的是導(dǎo)數(shù)的定義。下面我們來看這道題的具體解法：

解：對f（x）=x3+x-16求導(dǎo)可得：f'（x）=3x2+1，由已知可知點(diǎn)（2，-6）在曲線上，那么我們通過導(dǎo)數(shù)的基本定義可知，f'（x）在點(diǎn)（2，-6）處切線的斜率為k=f'（2）=13。

所以，我們可以得出曲線在此點(diǎn)的切線方程為f（x）=13（x-2）+（-6），即f（x）=13x-32。

四、導(dǎo)數(shù)在方程中的典型應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)除了在上面的一些題型中的應(yīng)用，還會被運(yùn)用到研究方程的根的問題之上，這些問題包括對于方程根個數(shù)、近似值等的求解。

例：已知函數(shù)f（x）=x4-4x3+10x2-27，令f（x）=0，那么在區(qū)間[2，10]上這個方程有幾個根？

分析：這是一個高次方程的求根的問題，如果用常規(guī)的解方程的方法來處理，那么對于運(yùn)算能力的要求就會顯得特別高，并且也不易獲得正確答案。但是如果我們能夠利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求根，那么問題會被快速的解決。

解：根據(jù)題意求導(dǎo)可得：f'（x）=4x3-12x2+20x，令f'（x）=0，那么可得4x（x2-3x+5）=0。通過驗(yàn)算可知，x2-3x+5=0沒有實(shí)數(shù)解。所以，x=0，即f（x）的圖像上只有一個駐點(diǎn)，也就是x=0。

且，當(dāng)x>0時，我們可以求得f'（x）>0，也就是f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是一個遞增的函數(shù)，當(dāng)然在區(qū)間[2，10]上也是一個遞增函數(shù)，代入斷點(diǎn)可知f（2）=-3<0，f（10）>0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，10]上有且僅有一個根。