【摘 要】 新實(shí)施的高中數(shù)學(xué)課程改革綱要提出，要利用數(shù)學(xué)學(xué)科問題內(nèi)在特性，發(fā)揮教師主導(dǎo)和學(xué)生主體作用，引導(dǎo)和指導(dǎo)學(xué)生開展問題解答活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)問題解答策略的運(yùn)用和掌握，促進(jìn)學(xué)生解題素養(yǎng)的有效提升。

【關(guān)鍵詞】 高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)問題；解題策略；素養(yǎng)培養(yǎng)

“解決問題”是學(xué)生開展學(xué)習(xí)活動(dòng)的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)素養(yǎng)提升和發(fā)展的重要途徑。數(shù)學(xué)問題作為數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)教學(xué)和能力培養(yǎng)的重要途徑之一，是數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)體系內(nèi)涵要義的集中展示，也是學(xué)生學(xué)習(xí)能力素養(yǎng)鍛煉培養(yǎng)的重要平臺(tái)。當(dāng)前“題海式”的傳統(tǒng)教學(xué)方式，以其在教學(xué)方式的單一性、教學(xué)理念的落后性以及能力培養(yǎng)上的消極性，已不能適應(yīng)新課改的需要。讓學(xué)生在問題分析、探究、解答中，領(lǐng)會(huì)和掌握問題解答的策略和方法，已成為有效問題教學(xué)的重要目標(biāo)和要求，也成為高中生解題素養(yǎng)樹立的必然途徑。本人現(xiàn)結(jié)合教學(xué)實(shí)踐體會(huì)，就高中生所應(yīng)掌握的常見解題策略進(jìn)行簡(jiǎn)要論述。

一、利用知識(shí)遷移特性，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化（化歸）思想

數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)內(nèi)容之間相互聯(lián)系，是一個(gè)既相互獨(dú)立又密切聯(lián)系的有機(jī)整體。學(xué)生解答問題的過程，實(shí)際上就是利用現(xiàn)有知識(shí)內(nèi)容，將需要解決問題轉(zhuǎn)化為現(xiàn)有知識(shí)的過程。在問題教學(xué)中，教師可以利用數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)之間的前后聯(lián)系和內(nèi)在關(guān)系，將數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變繁為簡(jiǎn)、變抽象為生動(dòng)、變復(fù)雜為簡(jiǎn)單，實(shí)現(xiàn)隱性問題形象化、抽象問題具體化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化。

問題：如圖所示，在△ABC中，∠B=90°，AC=3，BC=4，一條直線分△ABC的面積為相等的兩部分，且夾在AB、BC之間的線段最短，求此線段的長(zhǎng)。

分析：本題是考查基本不等式與函數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，本題的解題關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)剡x取變量表示夾在AB與BC之間的線段EF，同時(shí)考慮到題設(shè)中的等量關(guān)系，即S△BEF=1/2S△ABC，另外，所選變量還應(yīng)便于求兩個(gè)三角形的面積，于是考慮設(shè)BE=x，BF=y。再根據(jù)余弦定理公式從而得到線段EF的長(zhǎng)度為2。其解題過程略。

歸納總結(jié)：根據(jù)上述問題的解題思路，可以發(fā)現(xiàn)，該問題解答實(shí)際上是將求線段長(zhǎng)度的問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問題。而求函數(shù)最值是不等式的重要應(yīng)用，當(dāng)解析式比較復(fù)雜時(shí)，可以利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，利用數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)點(diǎn)的巧妙聯(lián)系，求等量關(guān)系并合理變形轉(zhuǎn)化，從而進(jìn)行問題的有效解答。

二、利用數(shù)學(xué)直觀特性，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)是由數(shù)字符號(hào)和圖形符號(hào)，根據(jù)知識(shí)點(diǎn)之間的密切聯(lián)系，所組成的學(xué)科知識(shí)體系。這就為引導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想提供了條件和基礎(chǔ)。而數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)問題解答策略的重要組成部分，它借助于數(shù)字的精準(zhǔn)性和圖形的直觀性等特點(diǎn)，將二者進(jìn)行有效融合，把抽象的數(shù)轉(zhuǎn)化為直觀的形，把復(fù)雜的形轉(zhuǎn)化具體的數(shù)，從而達(dá)到簡(jiǎn)捷解題的教學(xué)目的。

問題：已知sin（5π-α）=√2cos（7/2π+β）和√3cos（-α）=-√2cos（π+β），且0<α<π，0<β<π，求α和β的值。

分析：這是一道關(guān)于三角函數(shù)綜合運(yùn)用的數(shù)學(xué)問題案例，而三角函數(shù)章節(jié)知識(shí)實(shí)際上是圖形和數(shù)字有效結(jié)合的知識(shí)內(nèi)容，數(shù)形結(jié)合思想在該章節(jié)有著深刻的實(shí)踐和應(yīng)用。因此，在解答上述問題案例時(shí)，可以根據(jù)問題條件畫出相應(yīng)的圖形，然后運(yùn)用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及消元法等方法進(jìn)行問題的解答。

解：由已知得sinα=√2sinβ①

√3cosα=√2cosβ ②

由①2+②2得sin2α+3cos2α=2。

即sin2α+3（1-sin2α）=2，解得sinα=

±√2/2，由于0<α<π

所以sinα=√2/2，故α=π/4或3π/4。

當(dāng)α=π/4時(shí)，cosβ=√3/2，又0<β<π，∴β=π/6

當(dāng)α=3π/4時(shí)，cosβ=-√3/2，又0<β<π，∴β=5π/6。

綜上可得：α=π/4，β=π/6或α=3π/4，β=5π/6。

三、利用數(shù)學(xué)發(fā)展特性，培養(yǎng)運(yùn)動(dòng)變化思想

數(shù)學(xué)學(xué)科作為一門不斷發(fā)展、不斷豐富的基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)科，它的研究對(duì)象不僅僅是處于靜止?fàn)顟B(tài)下的問題。同時(shí)，在實(shí)際問題解答中，學(xué)生不僅僅要回解答靜止?fàn)顟B(tài)下的數(shù)學(xué)問題，還要解答處于運(yùn)用過程中的問題案例。對(duì)于此類型的問題案例，解答時(shí)就要運(yùn)用到運(yùn)動(dòng)變化思想，化靜為動(dòng)，動(dòng)中寓靜，動(dòng)靜轉(zhuǎn)化。

問題：已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A（1，

2），B（4，1），C（3，4）。（1）求AB邊上的中線CM的長(zhǎng)；（2）在AB上取一點(diǎn)P，使過P且平行與BC的直線PQ把△ABC的面積分成4︰5兩部分，求P點(diǎn)的坐標(biāo)。

上述“平面向量”問題案例中，第二個(gè)小問題中關(guān)于點(diǎn)P的坐標(biāo)求取，就蘊(yùn)含了運(yùn)動(dòng)變化思想，在解答該問題時(shí)，就可以采用動(dòng)中寓靜的方法，利用平面向量的性質(zhì)內(nèi)容，設(shè)定P的坐標(biāo)為（x，y），由面積分成4︰5兩部分這一條件得到 結(jié)果，然后建立（x-1，y-2）=2/3（3，-1）這一等量關(guān)系式，從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，3/4）。

四、利用數(shù)學(xué)周密特性，培養(yǎng)學(xué)生分類討論思想

分類討論思想，就是在解答問題的過程中，出現(xiàn)條件或結(jié)論不是唯一的情況下，對(duì)可能出現(xiàn)的各種情況進(jìn)行討論辨析，得出周全嚴(yán)密的解題答案。此種方法能夠有效防止學(xué)生考慮問題不周，保證解題全面，科學(xué)、合理。

問題：解關(guān)于x的不等式：12x2-ax-a2<0。

這是有關(guān)“含參數(shù)的一元二次不等式的解法”數(shù)學(xué)問題，該題主要是考查一元二次不等式的解法及分類討論思想的應(yīng)用。對(duì)于一元二次不等式，應(yīng)先判別△的符號(hào)，若△≥0，求出對(duì)應(yīng)方程的根，若△中有字母系數(shù)，需要進(jìn)行分類討論，然后進(jìn)行解答。解題過程略。

誠(chéng)然，數(shù)學(xué)解題過程中各種解題策略相互包容。高中數(shù)學(xué)教師在問題教學(xué)中，要發(fā)揮學(xué)生主體特性，提供自主合作解題時(shí)機(jī)，讓學(xué)生自己探究、分析、思考、解答、體悟問題解答策略，實(shí)現(xiàn)解題素養(yǎng)的有效鍛煉和樹立。