張曉宇，陳美霞，魏建輝

(華中科技大學(xué)，湖北 武漢430074)

0 引 言

對(duì)于彈性體的振動(dòng)研究，例如一塊板在簡(jiǎn)諧力的作用下振動(dòng)，其結(jié)構(gòu)模態(tài)下每一階的輻射聲功率并不是相互獨(dú)立的，在中低頻的情況下，即使降低了最主要的幾階結(jié)構(gòu)模態(tài)的振動(dòng)，其總的輻射聲功率并不一定會(huì)降低。隨著振動(dòng)問題研究的日趨成熟，人們開始意識(shí)到直接用振動(dòng)結(jié)構(gòu)模態(tài)來研究聲輻射問題存在不少的缺陷，因此有必要發(fā)展一種適用于聲輻射問題的模態(tài)。

20世紀(jì)90年代開始，Borgiotti［1］，Curfare［2］，Elliott［3］，Baumann［4］，Synder［5］等首先提出了聲輻射模態(tài)的概念。聲輻射模態(tài)表示結(jié)構(gòu)的固有輻射特性，是結(jié)構(gòu)表面可能的一系列振速分布。根據(jù)聲輻射模態(tài)方法，彈性結(jié)構(gòu)總的輻射聲功率可以看作有限個(gè)輻射模態(tài)的疊加，用聲輻射模態(tài)研究聲輻射問題的優(yōu)點(diǎn)在于消除了結(jié)構(gòu)模態(tài)中復(fù)雜的耦合項(xiàng)，使得計(jì)算和控制聲輻射更為簡(jiǎn)單。李雙和陳克安［6］對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)和聲輻射模態(tài)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系做了研究，給出了主導(dǎo)輻射模態(tài)的概念。姜哲［7-8］提出了對(duì)聲輻射模態(tài)的改進(jìn)方法，對(duì)平板的主動(dòng)控制進(jìn)行了深入研究。吳衛(wèi)國(guó)［9］等基于遠(yuǎn)場(chǎng)的方法，研究了圓板和矩形板的聲輻射模態(tài)特性。代路［10］等采用單元輻射器法和基函數(shù)法，研究了球形和圓柱形結(jié)構(gòu)的聲輻射模態(tài)特性。

單層加筋圓柱殼和圓錐殼是艦艇中的主要結(jié)構(gòu)形式，比較研究二者聲輻射模態(tài)特性的相關(guān)文獻(xiàn)還不是很多，本文以有限元法和邊界元法為指導(dǎo)，對(duì)尺寸相近的圓柱殼和圓錐殼的聲輻射模態(tài)特性進(jìn)行研究，對(duì)于其振動(dòng)和噪聲的有源控制提供了一定的參考和建議。

1 聲輻射模態(tài)基本理論

把結(jié)構(gòu)表面分成面積相等的N 個(gè)面元，各個(gè)面元的表面聲壓構(gòu)成列向量P，面元的法向速度構(gòu)成向量v，則P=Zv。其中Z 表示聲阻抗矩陣，根據(jù)互易性原理，Z 是對(duì)稱矩陣，即Z=ZT。

則結(jié)構(gòu)的輻射聲功率為

“H”表示共軛轉(zhuǎn)置。將P=Zv 代入式(1)得:

由于聲場(chǎng)的互易性，R 為對(duì)稱矩陣，又因?yàn)檩椛渎暪β屎銥檎?，所以R 為正定的對(duì)稱矩陣。矩陣R 可以作如下的特征值分解:

式中:Λ 為矩陣R 的特征值λk(k=1，2…，N)構(gòu)成的對(duì)角陣(根據(jù)正定矩陣的性質(zhì)，故λk均為正數(shù)。);Q 為R 矩陣的特征向量qk(k=1，2…，N)構(gòu)成的矩陣。

則輻射聲功率為:

式中:Q 的列向量表示結(jié)構(gòu)表面可能的振速分布，稱為聲輻射模態(tài);加權(quán)系數(shù)λk為矩陣R 的第k 階特征值，稱為第k 階聲輻射模態(tài)的輻射效率系數(shù)。

聲輻射模態(tài)輻射效率可定義為:

式中:ρ 為流體介質(zhì)密度;c 為流體介質(zhì)中的聲速;S為結(jié)構(gòu)的表面積。

由式(4)可知，各階聲輻射模態(tài)對(duì)輻射聲功率的貢獻(xiàn)是獨(dú)立的，所以降低聲輻射模態(tài)一定可以減小輻射聲功率。由于輻射阻抗矩陣R 只與結(jié)構(gòu)的形狀、尺寸和激勵(lì)頻率有關(guān)，所以聲輻射模態(tài)也僅僅與結(jié)構(gòu)形狀、尺寸和激勵(lì)頻率相關(guān)。

2 算例分析

本文的研究對(duì)象為單層加筋圓錐殼和圓柱殼。圓錐殼小圓半徑r=1.25 m，大圓半徑R=4 m，長(zhǎng)L=9.6 m，厚度d=0.03 m，肋距為0.6 m，肋骨為T 型材。圓柱殼圓半徑為R1=4 m，其他尺寸跟圓錐殼相同。結(jié)構(gòu)材料屬性:密度為7 850 kg/m3，楊氏模量E=210 GPa，泊松比μ=0.3。流體屬性:密度為1 000 kg/m3，聲速為1 500 m/s。

2.1 聲輻射模態(tài)輻射效率比較

在用邊界元方法計(jì)算該單層殼的聲阻抗矩陣時(shí)，由于兩端處節(jié)點(diǎn)的法向不好確定，所以采用延長(zhǎng)肋位的方法，先將兩端分別延長(zhǎng)2 個(gè)肋位，然后對(duì)計(jì)算出的結(jié)果只取有用節(jié)點(diǎn)處的值即可計(jì)算頻率為10 ～600 Hz，頻率間隔為10 Hz。圓柱和圓錐的有用節(jié)點(diǎn)數(shù)都為1 584 個(gè)，其邊界元模型如圖1所示。

圖1 邊界元模型Fig.1 Boundary element model

繪制前10 階聲輻射模態(tài)的輻射效率隨著激勵(lì)頻率的變化曲線，如圖2所示。

由圖2 可知，不論是圓柱殼還是圓錐殼，其輻射效率曲線的趨勢(shì)都是一樣的:對(duì)于每一階聲輻射模態(tài)，輻射效率都是隨著頻率的升高而升高，最后曲線會(huì)逐漸趨于平緩。聲輻射模態(tài)的一個(gè)重要特點(diǎn)是在中、低頻段聲輻射模態(tài)對(duì)應(yīng)的輻射效率隨著階數(shù)的增加急劇降低，因此在中、低頻段根據(jù)式(4)計(jì)算結(jié)構(gòu)的輻射聲功率時(shí)，只需要通過測(cè)量數(shù)據(jù)得到前幾階聲輻射模態(tài)參與系數(shù)就可以較準(zhǔn)確地得出殼體的輻射聲功率。進(jìn)行主動(dòng)控制時(shí)，只需要考慮前幾階聲輻射模態(tài)就可以了。本文界定前10 階聲模態(tài)輻射效率占主導(dǎo)地位時(shí)的頻率為f0，也就是在f0的范圍內(nèi)，利用前10 階聲輻射模態(tài)計(jì)算輻射聲功率就可以有很好的精度;對(duì)于前10 階聲模態(tài)進(jìn)行控制就可以達(dá)到很好的降噪效果。

圖2 聲模態(tài)輻射效率曲線Fig.2 Acoustic modes radiation efficiency curve

分別觀察圓錐殼和圓柱殼每一頻率下輻射效率隨階數(shù)的變化，找出各自的頻率f0如圖3所示。

由圖3 可以看出，圓錐殼的頻率f0比圓柱殼的頻率f0要大一些，對(duì)于本文中的圓錐殼和圓柱殼而言，各自的頻率f0分別為120 Hz 和80 Hz。也就是說，相同尺寸的圓錐殼聲模態(tài)輻射效率隨階數(shù)的衰減要比圓柱殼的衰減快。

分別取圓錐殼和圓柱殼的前6 階聲模態(tài)輻射效率，在此中、低頻段進(jìn)行比較，如圖4所示。

由圖4 可以看到，在本文研究的中、低頻段，圓錐殼和圓柱殼的輻射效率曲線走向趨勢(shì)是一致的。對(duì)于第一階聲模態(tài)，在整個(gè)頻段內(nèi)圓錐殼的輻射效率都高于圓柱殼的輻射效率;對(duì)于第二、三階聲模態(tài)，在0 ～90 Hz 圓柱殼輻射效率高于圓錐殼輻射效率，但二者差別不是很大，90 ～600 Hz 圓錐殼輻射效率高于圓柱殼的輻射效率;對(duì)于第四、五階聲模態(tài)，在0 ～150 Hz 圓柱殼輻射效率高于圓錐殼輻射效率，但二者差別不是很大，150 ～600 Hz 圓錐殼輻射效率高于圓柱殼的輻射效率;對(duì)于第六階聲模態(tài)，在0 ～170 Hz 圓柱殼輻射效率高于圓錐殼輻射效率，但二者差別不是很大，170 ～600 Hz 圓錐殼輻射效率高于圓柱殼的輻射效率。這里的輻射效率是根據(jù)式(5)計(jì)算的，其中輻射效率系數(shù)來自聲輻射阻抗矩陣的特征值分解，本來圓柱殼的表面積要比圓錐殼的表面積大，但是此聲阻抗矩陣是與表面形狀、尺寸和激勵(lì)頻率密切相關(guān)的，所以二者的輻射效率曲線會(huì)如此變化。并且隨著階數(shù)的增加，頻率轉(zhuǎn)折點(diǎn)的值越來越大。

圖3 輻射效率隨階數(shù)的變化Fig.3 Radiation efficiency changes with the order

2.2 聲輻射模態(tài)形狀比較

聲輻射模態(tài)有一個(gè)重要的性質(zhì)，那就是在中、低頻段，聲輻射模態(tài)的形狀隨著頻率的變化差別不大。本文分別取圓錐殼和圓柱殼各自特征頻率下的前6 階聲輻射模態(tài)云圖進(jìn)行比較，如圖5 ～圖10所示。

對(duì)于聲輻射模態(tài)，采用m 表示軸向半波數(shù)，n 表示周向波數(shù)，將以上云圖結(jié)果歸納到如表1所示。

對(duì)于圓錐殼和圓柱殼來說，聲輻射模態(tài)的振速分布都是一樣的:第一階為軸向和周向都分布均勻的活塞狀模態(tài)，此輻射效率最高;第二、三階為軸向均勻、周向?qū)ΨQ的偶極子模態(tài);第四階為分布均勻的軸向偶極子模態(tài);第五、六階為周向四極子模態(tài)。對(duì)于圓錐殼和圓柱殼這2 種形狀相近的回轉(zhuǎn)體來說，其聲輻射模態(tài)有著一樣的規(guī)律，在主動(dòng)控制的時(shí)候可以歸為一類來考慮。

表1 圓錐殼和圓柱殼前6 階聲輻射模態(tài)形狀比較Tab.1 Comparison of the first 6 acoustic modes shapes between conical shell and cylindrical shell

3 結(jié) 語

本文采用有限元法和邊界元法的理論，在中、低頻段對(duì)比了水中單層加筋圓錐殼和圓柱殼的聲輻射模態(tài)特性，得出以下結(jié)論:

1)對(duì)于相同尺寸的圓錐殼和圓柱殼而言，二者的聲模態(tài)輻射效率曲線走勢(shì)都是一樣的，圓錐殼前10 階模態(tài)占主導(dǎo)地位時(shí)的頻率f0高于圓柱殼的f0，圓錐殼輻射效率隨著階數(shù)的衰減要比圓柱殼的衰減更快;

2)在本文研究的中、低頻段范圍內(nèi)，對(duì)于每一階聲模態(tài)而言都存在一個(gè)頻率轉(zhuǎn)折點(diǎn)。低于該頻率時(shí)，圓柱殼的輻射效率高于圓錐殼的輻射效率，但二者相差不是很大;高于該頻率時(shí)，圓錐殼的輻射效率高于圓柱殼的輻射效率。并且隨著階數(shù)的增加，該頻率轉(zhuǎn)折點(diǎn)的值越來越大;

3)圓錐殼和圓柱殼的聲輻射模態(tài)振速云圖分布都遵循一樣的規(guī)律，為殼體的主動(dòng)控制研究提供了一些參考。

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