向昭銀， 黃廷祝

（電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，成都 611731）

研究型教學(xué)融入數(shù)學(xué)分析習(xí)題課的教學(xué)原則

向昭銀， 黃廷祝

（電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，成都 611731）

結(jié)合教學(xué)實踐，從7個方面論述了研究型教學(xué)融入數(shù)學(xué)分析習(xí)題課的教學(xué)原則.

研究型教學(xué)；數(shù)學(xué)分析；習(xí)題課；教學(xué)原則

數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)最重要的基礎(chǔ)課之一，而習(xí)題課是數(shù)學(xué)分析教學(xué)過程中的重要環(huán)節(jié).但是，近年來這一環(huán)節(jié)的優(yōu)勢在逐漸削弱，許多教師錯誤地將習(xí)題課教學(xué)簡單地理解為講解課后練習(xí)題.事實上，數(shù)學(xué)分析習(xí)題課教學(xué)的基本目的是幫助學(xué)生加深對教學(xué)內(nèi)容的理解并掌握一些常用的方法和技巧，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.電子科技大學(xué)的目標(biāo)是建設(shè)研究型的大學(xué)，而研究型大學(xué)在人才培養(yǎng)方面比普通大學(xué)具有更高的目標(biāo)和要求：培養(yǎng)研究型人才.因此，將研究型教學(xué)引入到數(shù)學(xué)分析習(xí)題課教學(xué)中是必須的.事實上，研究型教學(xué)是一個已取得廣泛共識的課題.在某種程度上，數(shù)學(xué)分析習(xí)題課在研究型教學(xué)方面比其他課程具有更大的優(yōu)勢，更容易使學(xué)生達(dá)到我們的培養(yǎng)目標(biāo)和要求.本文擬結(jié)合筆者的教學(xué)實踐，就研究型教學(xué)融入到數(shù)學(xué)分析習(xí)題課的教學(xué)原則談?wù)勛约旱拇致钥捶?

1 數(shù)學(xué)統(tǒng)一性的原則

數(shù)學(xué)是一個統(tǒng)一的整體.雖然在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中出現(xiàn)了許多分支，但這些分支之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，使得數(shù)學(xué)在本質(zhì)上仍然是一個統(tǒng)一的整體.但是，不少學(xué)生在四年的數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)習(xí)之后仍不能認(rèn)識到各門數(shù)學(xué)課程之間的相互聯(lián)系，所學(xué)到的僅僅是一些零碎的知識.在數(shù)學(xué)分析習(xí)題課研究型教學(xué)中，堅持?jǐn)?shù)學(xué)的統(tǒng)一性有助于幫助學(xué)生更好的掌握相關(guān)的學(xué)科知識，加深對數(shù)學(xué)的理解.雖然在低年級教學(xué)中所涉及的專業(yè)課程較少，但我們?nèi)阅芘e出許多能夠?qū)⑦@些課程聯(lián)系在一起的例子.比如，重積分的計算中例子：

通過此例的研究，可以將數(shù)學(xué)分析中的廣義球坐標(biāo)變換等基本技巧與高等代數(shù)中的正定矩陣、正交變換和行列式等重要概念有機(jī)的結(jié)合起來，使學(xué)生對數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)學(xué)的認(rèn)識在解決問題的過程中得以提高.

2 數(shù)學(xué)與應(yīng)用實際密切聯(lián)系的原則

這類來自于生活實際的問題在培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力的同時，也可以進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生加強(qiáng)對數(shù)學(xué)理論的學(xué)習(xí).

3 滲透后繼課程數(shù)學(xué)思想的原則

由于重點院校的學(xué)生具有良好的基礎(chǔ)，因此，在數(shù)學(xué)分析習(xí)題課的教學(xué)當(dāng)中可以適當(dāng)?shù)囊牒罄^課程中的一些基本數(shù)學(xué)思想，偶爾向?qū)W生提及一些與當(dāng)前內(nèi)容有關(guān)的后繼課程中的概念與方法.這可以拓展學(xué)生的知識面和激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也有助于學(xué)生在后繼課程的學(xué)習(xí)中對基本概念與知識體系有更深刻的認(rèn)識.對于基礎(chǔ)特別好的學(xué)生，還可以使其明白自己自學(xué)的問題與方向所在.例如，在關(guān)于連續(xù)函數(shù)基本定理的教學(xué)當(dāng)中，我們一般會介紹類似于如下的例子：

例3設(shè)f（x）在［－1，1］上連續(xù)且－1≤f（x）≤1，證明：存在ξ∈［－1，1］使得f（ξ）＝ξ.

例3在幾何直觀是很容易理解的，學(xué)生也可以利用零點定理給出其嚴(yán)格證明.為了使學(xué)生認(rèn)識到例題中ξ的重要性，我們可以引出拓?fù)鋵W(xué)與泛函分析中重要的基本概念：不動點.借助于中學(xué)階段對二維和三維歐氏空間的簡單認(rèn)識，還可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生得到例3在高維情形的版本：若f（x）是從n維空間的單位球Bn＝｛x＝（x1，x2，…xn）∈Rn｜＋…＋≤1｝到Bn的連續(xù)映射，則存在ξ∈Bn使得f（ξ）＝ξ.這在幾何直觀上是顯然的，但它卻是拓?fù)鋵W(xué)或者泛函分析中著名的Brouwer不動點定理.為滿足學(xué)生的求知欲，也可建議其閱讀Milnor對此定理的簡潔而漂亮的證明.

4 引入研究型問題的原則

研究型人才必須有較強(qiáng)的研究能力，而研究能力的培養(yǎng)需要合適的研究型題目作為基礎(chǔ)訓(xùn)練.因此，研究型問題的引入在研究型教學(xué)中具有重要的作用.在通常的教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生自己研究教材的基本內(nèi)容，定理及例題和習(xí)題的條件與結(jié)論，嘗試深入改進(jìn)相關(guān)的問題等.特別是對于一些基本的定理與結(jié)論，在習(xí)題課上更應(yīng)該充分利用，進(jìn)一步作合適的設(shè)計，讓學(xué)生加以研究.這樣有助于強(qiáng)化知識的理解與研究能力的培養(yǎng).例如，在通常關(guān)于Rolle定理的教學(xué)中，分析完定理的條件和給出證明之后都直接轉(zhuǎn)入了Lagrange中值定理的教學(xué).為了進(jìn)一步加強(qiáng)對Rolle定理的認(rèn)識和理解，在習(xí)題課教學(xué)中除了討論Rolle定理的應(yīng)用之外，可引導(dǎo)學(xué)生自己建立并證明此定理在無窮區(qū)間情形的版本.

例4 設(shè)f（x）在［a，＋∞）上連續(xù)，在（a，＋∞）上可導(dǎo)，且，證明：存在ξ＞a使得f＇（ξ）＝0.

從有限到無窮是一種本質(zhì)的飛躍.將Rolle定理從有界區(qū)間的情形推廣到無界區(qū)間的情形，無論是結(jié)論的得出還是其證明都不是一種簡單的推廣，需要作細(xì)致的分析.這是一種典型的科學(xué)研究過程，值得引起我們在教學(xué)中的重視.

5 引入開放型問題的原則

許多科學(xué)問題的結(jié)論與形式并不確定.開放型問題的引入就是為了培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)自尋找合適的結(jié)論與解決方式.由于這類問題沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)答案，學(xué)生對題目的完成必須做出自己的思考，學(xué)生是問題的研究者以及知識的主動發(fā)現(xiàn)者.因此，這類問題可以使學(xué)生能更積極主動地參入到教學(xué)活動當(dāng)中，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)研究精神.

當(dāng)然，學(xué)生只要能夠找到特殊的函數(shù)φ（x）使得結(jié)論成立，就可以認(rèn)為是基本解決了上述例題，但是，在教學(xué)中我們可以讓學(xué)生盡量尋找φ（x）應(yīng)滿足的一般條件，使其研究能力得到進(jìn)一步提高.

6 對問題再思考的原則

“即使是相當(dāng)好的學(xué)生，當(dāng)他得到問題的解答，并且很干凈利落地寫下論證后，就會合上書本，找點別的事來干干.這樣做，他們就錯過了解題的一個重要而有教益的方面.通過回顧所完成的解答，通過重新考慮與重新檢查這個結(jié)果和得出這一結(jié)果的路子，學(xué)生們可以鞏固他們的知識和發(fā)展他們解題的能力”［1］.對于研究型的人才，更應(yīng)該學(xué)會對問題的再思考.一方面，沒有一個解答是十全十美的，需要再次思考以改進(jìn)已有的解答；另一方面，再次思考可以深入挖掘問題之后的本質(zhì)，提高對問題的理解水平，并發(fā)現(xiàn)新的問題.當(dāng)回顧問題解答的時候，可以設(shè)想在哪些情況下能再一次利用所使用的辦法或者應(yīng)用所得到的結(jié)果，以及思考能否把這結(jié)果或這方法用于某個其它問題.這種思維訓(xùn)練可以使我們認(rèn)識到數(shù)學(xué)問題之間經(jīng)常是相互有聯(lián)系的.因此，在數(shù)學(xué)分析習(xí)題課的研究型教學(xué)中，必須引導(dǎo)學(xué)生在解題之后對問題作進(jìn)一步的深入思考.例如，在對例1進(jìn)行研究之后，可引導(dǎo)學(xué)生思考如下問題：

如果對例1的本質(zhì)有充分的理解，或者再次思考例1的解答過程，將發(fā)現(xiàn)這是一個簡單的例子，很容易給出其證明，但在教學(xué)中應(yīng)該堅持培養(yǎng)學(xué)生的這種科學(xué)思維過程.

7 對數(shù)學(xué)問題直觀感覺培養(yǎng)的原則

研究型人才對某些問題通常會在尚未嚴(yán)格分析證明的情況下便已經(jīng)具有較強(qiáng)的直觀感覺.雖然這種直觀感覺未必正確，但在很大程度上能引導(dǎo)思考和幫助分析、指出整個或部分解題或研究的途徑，具有特別重要的作用.直觀感覺的形成在于平時形成的自覺深入思考習(xí)慣和感性認(rèn)識.在研究型的習(xí)題課教學(xué)中，應(yīng)該創(chuàng)造條件引導(dǎo)學(xué)生細(xì)致觀察和深入思考，使其逐步形成自己的直觀感覺和自覺的研究習(xí)慣.比如，在函數(shù)一致連續(xù)性的教學(xué)中，教材［2］中有例題“函數(shù)f（x）＝x2在［1，＋∞）上不一致連續(xù)，但函數(shù)f（x）＝在［1，＋∞）上一致連續(xù)”.另一方面，顯然f（x）＝x在［1，＋∞）上一致連續(xù).基于前面提到的對問題再思考的原則，可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)函數(shù)圖像直觀上分析得出結(jié)論：

例7冪函數(shù)f（x）＝xα當(dāng)α＞1時在［1，＋∞）上不一致連續(xù)，當(dāng)0＜α≤1時在［1，＋∞）上一致連續(xù).

如果對上述問題進(jìn)一步的思考.還可以在直觀上得到：如果一個函數(shù)在［1，＋∞）上一致連續(xù)，則它應(yīng)該和函數(shù)f（x）＝x“差不多”，即

例8若函數(shù)f（x）在［1，＋∞）上一致連續(xù)，證明：存在M＞0使得｜f（x）｜≤Mx，?x≥1.

這種直觀感覺解決與此概念相關(guān)的很多問題時都會有著重要的作用.

以上的部分例題選自［3，4］中的例題和習(xí)題，能夠充分體現(xiàn)研究型教學(xué)的思想.對學(xué)生而言，這幾個例題也許具有一定難度，但是即使是通常習(xí)題課教學(xué)中的問題以及作業(yè)講評中的問題也可以適當(dāng)做修改、精心設(shè)計，使其符合研究型教學(xué)的需要.從這些例題還可以看出，以上提出的研究型教學(xué)融入到數(shù)學(xué)分析習(xí)題課的教學(xué)原則并不是獨(dú)立的，而是相互交織在一起的.在實踐中，應(yīng)該將這些原則有機(jī)的結(jié)合起來指導(dǎo)我們的教學(xué)，因為教學(xué)的根本目的是致力于學(xué)生研究能力的培養(yǎng)與提高.

［1］Polya G..怎樣解題［M］.閻育蘇譯.北京：科學(xué)出版社，1982.

［2］陳紀(jì)修，於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析［M］.2版.北京：高等教育出版社，2004.

［3］謝惠民，錢定邊，惲自求，易法槐.數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［4］周民強(qiáng).數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練［M］.北京：高等教育出版社，2006.

The Didactical Principles of the Research Teaching in the Exercises Lecture of Mathematical Analysis

XIANGZhao－yin，HUANGTing－zhu
（School of Mathematical Sciences，University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu 611731，China）

The didactical principles of the research teaching in the exercises lecture of mathematical analysisare discussed from seven aspects with the authors’didactical experience.

research teaching；mathematical analysis；exercises lecture；didactical principle

O172

C

1672－1454（2012）04－0151－04

2010－01－03