李尚志

（北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，北京 100191）

《線性代數(shù)》新教材精彩案例（之二）

李尚志

（北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，北京 100191）

李尚志為非數(shù)學(xué)專業(yè)編寫的《線性代數(shù)》教材于2011年6月由高等教育出版社出版.本文介紹了書中一部分精彩案例.

3 內(nèi)積的推廣

例1研究表明，某種材料在生產(chǎn)過(guò)程中的廢品率y與某種化學(xué)成分的含量百分比x近似地成一次函數(shù)關(guān)系y＝kx＋b.試根據(jù)x，y的如下三組實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)求待定常數(shù)k，b的值.

x（%） 3.7 4.0 4.2 y（%） 0.9 0.6 0.35

分析將x，y的三組對(duì)應(yīng)值代入函數(shù)關(guān)系式kx＋b＝y(tǒng)，得到k，b滿足的方程組

如果方程組（3.1）有解（k，b），就得到了函數(shù)式y(tǒng)＝kx＋b.然而，由于x，y只是近似地而不是完全精確地成一次函數(shù)關(guān)系，實(shí)測(cè)到的（x，y）數(shù)據(jù)也是近似的，方程組（3.1）沒(méi)有精確解.我們求使總體誤差盡可能小的近似解（k，b）.

方程組（3.1）可以寫成向量形式和矩陣形式

其中

取最小值，得到的（k，b）就可以認(rèn)為是（3.1）的最優(yōu)近似解.

圖3－1

可以寫成行向量aT與列向量b的矩陣乘積.因此，（k，b）滿足的條件（3.5）可以寫成

（3.6）可以由（3.3）兩邊同時(shí)左乘AT得到.如果（3.3）有解，一定是（3.6）的解.雖然本例題中的（3.3）無(wú)解，但（3.6）的唯一解是（3.3）的最優(yōu)近似解，最優(yōu)的標(biāo)準(zhǔn)就是使（3.4）中的d2取最小值.

解將x，y的三組對(duì)應(yīng)值代入函數(shù)式kx＋b＝y(tǒng)，得到k，b滿足的方程組AX＝c，即

兩邊同時(shí)左乘AT得到方程組ATAX＝ATc，即

解之得（k，b）＝（－1.09，4.95）.所求函數(shù)為

例2已知某種材料在生產(chǎn)過(guò)程中的廢品率y與某種化學(xué)成分的含量百分比x有關(guān).以下是某工廠在生產(chǎn)過(guò)程中實(shí)測(cè)到的x，y的一些對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：

x（%） 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 y（%） 1.00 0.9 0.9 0.81 0.60 0.56 0.35

試給出x，y之間函數(shù)關(guān)系的一個(gè)近似公式.

解以表中對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)為坐標(biāo)（xi，yi）（1≤i≤7）畫出7個(gè)點(diǎn)（圖3－2）.

觀察發(fā)現(xiàn)，這些點(diǎn)近似地在一條直線上.可將x，y的函數(shù)關(guān)系用一次函數(shù)y＝kx＋b近似地表示.待定系數(shù)k，b滿足方程組

寫成向量形式和矩陣形式，分別是

由圖3－2看出，不可能有一條直線同時(shí)通過(guò)7個(gè)點(diǎn)（xi，yi）（1≤i≤7），方程組（3.1′）沒(méi)有精確解.與例1類似，仍求（3.1′）的近似解（k，b）使

取最小值.仍沿用例1的方法，將AX＝c兩邊同時(shí)左乘AT得到ATAX＝ATc即

因此，與7個(gè)點(diǎn)（xi，yi）總體上最接近的直線是y＝－1.04643x＋4.8125.

用矩陣語(yǔ)言敘述的以上目標(biāo)和解答當(dāng)然可以照搬到例2中，甚至可以照搬到求任意非齊次線性方程組AX＝c的最優(yōu)近似解X使目標(biāo)函數(shù)d2＝（AX－c）T（AX－c）取最小值，d2就是方程組中各方程等式兩邊差的平方和.最優(yōu)解是：X＝（ATA）－1（ATc）.求方程組最優(yōu)近似解的這個(gè)方法稱為最小二乘法.

這里有一個(gè)漏洞需要彌補(bǔ)：例1中由三維空間中的幾何知識(shí)得到的“｜CD｜最短”?“CD⊥平面OA1A2”為什么也適用于例2中的7維空間R7中的向量a1，a2，c？

為了彌補(bǔ)這個(gè)漏洞，需要將R3中的內(nèi)積及其相關(guān)性質(zhì)推廣到任意n維實(shí)向量空間Rn.

定義3.1設(shè)Rn是實(shí)數(shù)域上n數(shù)組空間.對(duì)Rn中的任意兩個(gè)向量a＝（a1，…，an）與b＝（b1，…，bn），定義它們的內(nèi)積a·b＝a1b1＋…＋anbn.

如果a，b寫成列向量，則a·b＝aTb.

當(dāng)a·b＝0時(shí)稱a與b垂直，記為a⊥b.

根據(jù)矩陣運(yùn)算的性質(zhì)容易驗(yàn)證Rn中的內(nèi)積具有我們熟知的性質(zhì)：

定理3.1對(duì)任意a，a1，b，b1∈Rn，λ∈R，有

由以上性質(zhì)容易推出熟知的完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋b2＋2a·b.

如果a·b＝0，則完全平方公式成為（a＋b）2＝a2＋b2，即｜a＋b｜2＝｜a｜2＋｜b｜2.這就是勾股定理.

三維幾何空間中，為什么點(diǎn)C到平面π的線段CD當(dāng)CD⊥π時(shí)最短？如圖3－1，設(shè)P是平面π內(nèi)另外任意一點(diǎn)，我們證明垂線段CD比斜線段CP短.連接DP，則∠CDP是直角.由勾股定理立即得

既然勾股定理已經(jīng)推廣到Rn，以上推理也適用于Rn.因此例1的推理和結(jié)論適用于例2以及任意的非齊次線性方程組AX＝c.不過(guò)，要使ATAX＝ATc有唯一解X＝（ATA）－1（ATc），需要ATA可逆.可以證明ATA可逆?A的各列線性無(wú)關(guān).（證明過(guò)程略）

圖3－3

由（3.8）到（3.9）的推理過(guò)程對(duì)Rn中任意兩個(gè)向量a，b（a≠0）成立，得到的不等式（3.9）也對(duì)Rn中任意a＝（a1，…，an），b＝（b1，…，bn）都成立，也就是

這稱為柯西不等式.等號(hào)成立?（3.7）中的等號(hào)成立?a與b共線?（a1，…，an）與（b1，…，bn）成比例.

按照這個(gè)定義，兩向量a，b之差的完全平方展開式（a－b）2＝a2＋b2－2a·b成為

4 特征向量與相似矩陣

圖4－1

（解答敘述過(guò)程略）.

如果先經(jīng)過(guò)變換σ將面積或體積放大或縮小到λ＝detA倍，再經(jīng)過(guò)變換大或縮小到μ＝detB倍，復(fù)合變換τσ∶的放縮倍數(shù)就應(yīng)當(dāng)是

更一般地，對(duì)任意兩個(gè)n階方陣A，B有det（AB）＝det（A）det（B）.

例2平面直角坐標(biāo)系中，方程x2＋2xy＋5y2＝4的圖象是否為封閉曲線？如果是，試求它圍成的面積.

原方程x2＋2xy＋5y2＝4經(jīng)過(guò)可逆線性變換

變成新方程x′2＋y′2＝4，它的圖象C1是圓心在原點(diǎn)、半徑為2的圓，面積S1＝4π.

圓是封閉曲線，經(jīng)過(guò)可逆線性變換σ－1∶得到的原方程x2＋2xy＋5y2＝4的圖象C仍應(yīng)是封閉曲線.線性變換σ將所有圖形的面積變到原來(lái)面積的detA＝2倍，將C所圍面積S變成圓C1的面積S1＝2S，因此

例3平面直角坐標(biāo)系中的線性變換

是否將某些非零向量X變到自己的實(shí)數(shù)倍？

解設(shè)非零向量X被σ變到自己的實(shí)數(shù)倍AX＝λX.即

齊次線性方程組（4.1）有非零解X?系數(shù)行列式｜λI－A｜＝0.解方程

得λ＝1或2.

圖4－2左邊的圖形被σ變成右邊的圖形.X1＝（1，0）T的實(shí)數(shù)倍（水平方向的向量）都被σ映到自己的1倍，保持不變；X2＝（1，1）T的實(shí)數(shù)倍都被σ拉長(zhǎng)到自己的2倍.左圖中x2＋2xy＋5y2＝4的圖象曲線C看起來(lái)像是橢圓，被σ斜著拉伸成為圓C1.

圖4－2

定義4.1（特征值，特征向量） 設(shè)A是n階方陣.如果存在n維非零列向量X使AX＝λX對(duì)某個(gè)常數(shù)λ成立，則稱λ是A的特征值，X是屬于特征值λ的特征向量.

設(shè)σ是數(shù)域F上向量空間V上的線性變換，如果某個(gè)非零向量u∈V被σ送到自己的常數(shù)倍σ（u）＝λu，則稱常數(shù)λ∈F是σ的特征值，向量u是屬于特征值λ的特征向量.

例2中求出的X1，X2就是方陣A的特征向量，也是線性變換σ：X→AX的特征向量，所屬的特征值分別是1，2.

例2中求特征向量的方法可以推廣到一般的方陣A：

X與λ滿足的條件AX＝λX可以變形為（λI－A）X＝0，看成關(guān)于X的齊次線性方程組，有非零解X的條件是系數(shù)行列式｜λI－A｜＝0.設(shè)A＝（aij）n×n，則行列式

是λ的n次多項(xiàng)式φA（λ），一元n次方程φA（λ）＝0的每個(gè)根λi就是一個(gè)特征值.對(duì)每個(gè)特征值λi解齊次線性方程組（λiI－A）X＝0求出的非零解X就是屬于特征值λi的特征向量.

例4方程x2＋2xy＋5y2＝4的圖象是什么曲線？

則Q1（ξ）＝λ1x′2＋λ2y′2，曲線的新方程為λ1x′2＋λ2y′2＝4，容易化成橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

A與對(duì)角陣B的關(guān)系B＝U－1AU可以寫成AU＝UB即

也就是Ae′1＝λ1e′1，Ae′2＝λ2e′2.因此e′1，e′2是A的特征向量.

由此得到本題的解法：求A的兩個(gè)特征向量e′1，e′2使它們是相互垂直的單位向量，且det（e′1，e′2）＝1，以e′1，e′2作為新坐標(biāo)軸Ox′，Oy′上的單位向量建立新坐標(biāo)系，則曲線方程化為λ1x′2＋λ2y′2＝4進(jìn)而化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

是相互垂直的單位向量，但det（P1，P2）＝－1.e′1＝P1，e′2＝－P2仍是相互垂直的單位向量，且det（e′1，e′2）＝1.分別以e′1，e′2為Ox′，Oy′軸正方向上的單位向量可以建立直角坐標(biāo)系O－x′y′.任一點(diǎn)在原坐標(biāo)系與新坐標(biāo)系O－x′y′中的坐標(biāo)X＝（x，y）T與ξ＝（x′，y′）T之間滿足變換公式X＝Uξ，其中U＝（e′1，e′2）.我們有

引起的變換σ∶是繞某個(gè)軸的旋轉(zhuǎn).求旋轉(zhuǎn)軸l.

解旋轉(zhuǎn)軸l上每個(gè)點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)變換σ∶下保持不動(dòng)，滿足條件AX＝X.當(dāng)X≠0時(shí)，X就是屬于特征值1的特征向量，也就是方程組（A－I）X＝0的非零解.解此方程組求得基礎(chǔ)解X1＝（1，1，1）T.旋轉(zhuǎn)軸就是直線l＝｛（λ，λ，λ）｜λ∈R｝.

怎樣判定A引起的線性變換σ∶是空間的旋轉(zhuǎn)？易驗(yàn)證ATA＝I，A是正交方陣，它的各列σ（e1），σ（e2），σ（e3）組成三維幾何空間中的標(biāo)準(zhǔn)正交基.由detA＝1還可知σ（e1），σ（e2），σ（e3）成右手系，這決定了σ是空間繞某條過(guò)原點(diǎn)的軸的旋轉(zhuǎn).

變換σ∶將空間所有的點(diǎn)繞Oz′軸沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°.設(shè)A是原坐標(biāo)系中坐標(biāo)為（1，1，1）的點(diǎn)，則σ是繞有向直線OA沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°（正對(duì)OA的方向看去是沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°）.

既然表示旋轉(zhuǎn)的矩陣A可以被正交方陣U相似到

2011－04－08