上海市松江一中(201600)

董頂國(guó)●

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不容忽視的基本概念—單位向量

上海市松江一中(201600)

董頂國(guó)●

一、運(yùn)用單位向量性質(zhì)破解與角平分線相關(guān)問題

單位向量如下性質(zhì):對(duì)于兩不平行的向量，其單位向量的和向量與兩個(gè)向量夾角相等.較為典型的是對(duì)三角形內(nèi)心性質(zhì)的證明.

說明 妙用單位向量的性質(zhì)，避繁就簡(jiǎn)，一氣呵成.

上述問題亦可拓展為一般：

類似的問題在近幾年高考中也時(shí)常出現(xiàn).

A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

則△ABC為( ).

A.三邊均不相等的三角形 B.直角三角形

C.等腰非等邊三角形 D.等邊三角形

點(diǎn)評(píng) 兩個(gè)單位向量和的形式往往與三角形中角平分線密切關(guān)聯(lián)，通過聯(lián)系構(gòu)造，問題變得簡(jiǎn)單明了，是解題的有效途徑.

二、簡(jiǎn)捷求垂線段的長(zhǎng)度

即Ax1+By1+C=0.點(diǎn)P到直線的距離即為

類似的，也可導(dǎo)出其它相關(guān)距離問題.

再如例3.O為等邊三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，從O點(diǎn)分別向BC、CA、AB作垂線，垂足分別為D、E、F,求證AF+BD+CE為定值.

AF+BD+CE

三、簡(jiǎn)化使用向量的夾角公式

例5 如果四邊形ABCD的對(duì)角互補(bǔ)，且AB與CD交角的平分線為l1,AD與BC交角的平分線為l2,求證l1⊥l2.

分析 本題從題設(shè)與求證看，只與角有關(guān)，而與線段的長(zhǎng)度無關(guān)，故可考慮通過單位向量的運(yùn)算求解.

∴cos∠DCB+cos∠DAB=0.∵cos∠DCB=-e1·e4，cos∠DAB=-e3·e2,

∴e1·e4+e3·e2=0,同理e1·e3+e2·e4=0.

∴l(xiāng)1⊥l2.

四、簡(jiǎn)捷證明教材中的若干定理

華師大版教材在向量運(yùn)用一節(jié)，構(gòu)造單位向量對(duì)兩角和的余弦公式進(jìn)行過證明.實(shí)質(zhì)上不少的定理也可運(yùn)用單位向量給出簡(jiǎn)潔證明.

例6 證明正弦定理及射影定理.

即c=acosB+bcosA.同理a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA.

∴射影定理得證.

單位向量在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用廣泛，除以上應(yīng)用外，還常構(gòu)造單位向量解決三角求值，探求函數(shù)的最值及值域等問題，其特點(diǎn)是方法新穎、運(yùn)算簡(jiǎn)捷.總之，向量是“數(shù)”與“形”的最佳載體，而適當(dāng)挖掘單位向量的潛在功能，無論對(duì)解題還是對(duì)教材的處理都大有裨益.

[1]劉紅雷.單位向量的應(yīng)用例說[J].新課程,2010(5):50.

[2]毛慶華.例談單位向量的一張亮麗“名片”[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué),2011(11):28.

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