沙元霞

(大慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江 大慶 163712)

0 引言

人口預(yù)測(cè)是指根據(jù)現(xiàn)有的人口狀況測(cè)算未來(lái)某個(gè)時(shí)間的人口規(guī)模、水平和趨勢(shì)?？刂迫丝谝?guī)模是城市規(guī)劃和土地利用規(guī)劃中的一個(gè)重要指標(biāo)，不但會(huì)影響到未來(lái)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和社會(huì)動(dòng)態(tài)的發(fā)展，而且還會(huì)影響到可持續(xù)發(fā)展的生態(tài)環(huán)境[1]。 建立數(shù)學(xué)模型對(duì)人口發(fā)展過(guò)程進(jìn)行描述、分析和預(yù)測(cè)，并進(jìn)而研究控制人口增長(zhǎng)和老化的生育策略，以引起社會(huì)各方面的極大關(guān)注，是數(shù)學(xué)在社會(huì)發(fā)展中的重要應(yīng)用領(lǐng)域[2]。

本文將黑龍江省2001年至2007年人口數(shù)據(jù)作為依據(jù)(來(lái)源于“黑龍江統(tǒng)計(jì)年鑒”數(shù)據(jù))，利用統(tǒng)計(jì)回歸的方法進(jìn)行建模，并對(duì)黑龍江人口進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)；最后對(duì)2012年至2016年黑龍江省的未來(lái)人口數(shù)和人口發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行了預(yù)測(cè)。

1 構(gòu)建統(tǒng)計(jì)回歸模型

表1數(shù)據(jù)來(lái)源于《黑龍江省統(tǒng)計(jì)年鑒——2007》，本文應(yīng)用此數(shù)據(jù)構(gòu)建統(tǒng)計(jì)回歸模型。

表1 2001—2007年黑龍江省人口 (單位：萬(wàn)人)

1.1 散點(diǎn)圖

為了研究這些數(shù)據(jù)中所蘊(yùn)含的規(guī)律性，首先將數(shù)據(jù)用散點(diǎn)圖的形式表現(xiàn)出來(lái)，把各個(gè)年份作為橫坐標(biāo)，將2001—2007年每年總?cè)丝跀?shù)作為縱坐標(biāo)，將這些數(shù)據(jù)點(diǎn)標(biāo)在平面直角坐標(biāo)圖上，分析點(diǎn)的分布情況，如圖1所示。

1.2 直觀判斷

在圖1中可以看出，數(shù)據(jù)點(diǎn)得分布較有規(guī)律，既可看做分布在一條直線周圍，又可看做分布在一條二次的拋物線附近。所以，為了使模型更加精確，我們將擬合出兩條線，即構(gòu)造兩個(gè)回歸模型，通過(guò)對(duì)比分析的方式，選取其中誤差較小的回歸模型。

圖1 2001—2007年每年總?cè)丝跀?shù)散點(diǎn)圖

1.3 模型一

1)假設(shè)。假設(shè)變量x和y滿足如下關(guān)系式：y=β0+β1x+ε，其中，β0和β1是未知常數(shù)；ε是隨機(jī)誤差，滿足E(ε)=0，var(ε)=σ2。

3)檢驗(yàn)。一般我們采用統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法檢驗(yàn)，如F檢驗(yàn)，如果F和y有線性關(guān)系，則

在給定顯著水平α下，上述F值應(yīng)大于F分布表中的臨界值Fα。進(jìn)行檢測(cè)有F=82.59849≥0.00000=F0.05(1,10)，這表明x與y有十分顯著的線性相關(guān)關(guān)系，這說(shuō)明時(shí)間對(duì)人口總數(shù)有顯著影響，回歸系數(shù)效果顯著。

1.4 模型二

1)假設(shè)。假設(shè)變量x和y滿足如下二元關(guān)系式：y=β0+β1x+β2x2+ε，其中，β0,β1,β2為回歸系數(shù)；ε是隨機(jī)誤差。

2)擬合回歸參數(shù)。當(dāng)所設(shè)回歸模型是二次時(shí)，仍可以采用最小二乘法去計(jì)算，但考慮到計(jì)算量相對(duì)于一元模型來(lái)說(shuō)非常大，故采用Matlab軟件編程[2]求解。

程序如下：X=[1,1,1;1,2,4;1,3,9;1,4,16;1,5,25;1,6,36;1,7,49]

Y=[3811;3813;3815;3816.8;3820;3830.8;3848.8]

[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X)

運(yùn)行結(jié)果為：b=3818.3,；-6.6；1.5

bint=[3804.8,3831.8],[-14.3,1.2],[0.6,2.5]

stats=0.9638,53.2075,0.0013

3)將上述得到的回歸系數(shù)帶入所設(shè)模型中得：y=3818.3-6.6x+1.5x2+ε。

4)檢驗(yàn)及分析

①模型所得相關(guān)系數(shù)的平方為0.9638，說(shuō)明因變量y的96.38%可由此模型確定。

②模型的F檢驗(yàn)值為53.2075，遠(yuǎn)超過(guò)F檢驗(yàn)的臨界值。

③p=0.0013遠(yuǎn)小于α=0.05。

④回歸系數(shù)β1的置信區(qū)間包含零點(diǎn)，說(shuō)明變量x的效果不顯著，但考慮到β2的置信區(qū)間較好，所以保留一次項(xiàng)。

1.5 模型一與模型二比較

將以上兩個(gè)模型的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值進(jìn)行比較，得2001—2007年的相對(duì)誤差率，如下表所示：

表2 模型一與模型二比較

通過(guò)表中數(shù)據(jù)我們得到：二次回歸模型平均相對(duì)誤差率為0.05%，而一次線性回歸模型的平均相對(duì)誤差率為0.76%，說(shuō)明這兩種模型相比二次回歸模型能做到更好、更準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)。

2 應(yīng)用模型做人口預(yù)測(cè)

應(yīng)用二次回歸模型預(yù)測(cè)2012年至2016年黑龍江省的人口數(shù)目，如下表所示：

表3 2012—2016年黑龍江省人口的預(yù)測(cè)值 (單位：萬(wàn)人)

3 結(jié)束語(yǔ)

上述數(shù)據(jù)表明未來(lái)幾年我省人口的增長(zhǎng)有較穩(wěn)定的狀態(tài)，這一結(jié)果可為政府相關(guān)部門制定政策提供參考依據(jù)。同時(shí)可以看到，按此模型隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，人口的增長(zhǎng)率越來(lái)越大，說(shuō)明我們的模型還存在改進(jìn)的空間，可以將人口老齡化的比率等因素加進(jìn)去，構(gòu)造多元統(tǒng)計(jì)回歸模型[3]，以達(dá)到更好的結(jié)果。

[參考文獻(xiàn)]

[1] 劉鑫,徐世英.基于組合預(yù)測(cè)模型的西藏人口分析[J].中央民族大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008(3):22-24.

[2] 楊松,曾永年,吳桂平,等.改進(jìn)的最優(yōu)組合人口預(yù)測(cè)模型及其應(yīng)用[J].長(zhǎng)江流域資源與環(huán)境,2008(3):14-17.

[3] 宋洪文.應(yīng)用統(tǒng)計(jì)[M].北京:高等教育出版社,2003.