高 庚，吳 悠，葛永慧

（太原理工大學(xué) 礦業(yè)工程學(xué)院，太原 030024）

0 引言

在實(shí)際生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，為了闡明多種因素與事件發(fā)生、發(fā)展的關(guān)系，通常采用多元線性回歸分析的方法。多元線性回歸研究的是建立一個(gè)能反映因變量Y與多個(gè)自變量X之間線性關(guān)系的多元回歸方程，利用這個(gè)方程來分析因變量和自變量之間的相互關(guān)系，以及回歸系數(shù)的相關(guān)情況等。為了檢驗(yàn)回歸方程的擬合程度，通常采用復(fù)相關(guān)系數(shù)和復(fù)判定系數(shù)來進(jìn)行判定，復(fù)相關(guān)系數(shù)和復(fù)判定系數(shù)越趨近于1，說明因變量和自變量的線性關(guān)系越密切，回歸方程的擬合程度越高，回歸有效性越好。文獻(xiàn)[1]詳細(xì)敘述了最小二乘法(LS法)在多元線性回歸分析中的應(yīng)用研究，以及相關(guān)系數(shù)等的計(jì)算。文獻(xiàn)[2]運(yùn)用仿真實(shí)驗(yàn)的方法，在多元線性回歸分析中，通過回歸系數(shù)估值的相對(duì)真誤差發(fā)現(xiàn)，在應(yīng)用LS法解算多元線性回歸系數(shù)時(shí)，總會(huì)有回歸系數(shù)估值明顯偏離其真值的現(xiàn)象出現(xiàn)，即估值發(fā)生了顯著漂移。大量模擬實(shí)驗(yàn)表明，即便復(fù)相關(guān)系數(shù)和復(fù)判定系數(shù)都趨近1，也總會(huì)有回歸系數(shù)發(fā)生估值漂移現(xiàn)象，甚至?xí)l(fā)生嚴(yán)重的估值漂移。在多元回歸統(tǒng)計(jì)分析的分支中，如主成分分析、因子分析等，回歸系數(shù)的有效性顯得尤為重要，若其回歸系數(shù)發(fā)生了顯著估值漂移，則將會(huì)產(chǎn)生不可預(yù)知的結(jié)果。

本文以三元線性回歸分析為例，對(duì)回歸系數(shù)中出現(xiàn)的顯著估值漂移現(xiàn)象進(jìn)行了分析與討論，并進(jìn)一步通過二元至五元線性回歸仿真實(shí)驗(yàn)，提出了一種判定多元線性回歸系數(shù)估值漂移的總體指標(biāo)和判定回歸系數(shù)有效性的基本條件。

1 材料與方法

1.1 多元線性回歸的計(jì)算

多元線性回歸方程的一般形式：

誤差方程：

由LS法得多元線性回歸的法方程：

式中，N為法方程系數(shù)矩陣，Q為協(xié)因數(shù)矩陣。

回歸系數(shù)的解：

觀測(cè)值的均方誤差：

觀測(cè)值絕對(duì)值平均值：

相關(guān)系數(shù)、復(fù)相關(guān)系數(shù)和復(fù)判定系數(shù)：

1.2 參數(shù)估值的相對(duì)真誤差與估值漂移

定義：用參數(shù)估計(jì)方法得到的參數(shù)的估值顯著地偏離其真值的現(xiàn)象稱為參數(shù)的估值漂移（Estimated Value Drift，EVD）。當(dāng)dk＞時(shí)就認(rèn)為是“估值顯著地偏離其真值”。不同應(yīng)用可對(duì)賦予不同值。當(dāng)dk＞=50%時(shí)，參數(shù)估值的有效數(shù)字只有1位，而且還是可疑數(shù)字，稱為參數(shù)具有顯著估值漂移。dk表示觀測(cè)值估值的相對(duì)真誤差或回歸系數(shù)估值的相對(duì)真誤差。

實(shí)踐表明，在多元線性回歸分析中，當(dāng)觀測(cè)值母體的均方誤差大到一定程度，回歸系數(shù)估值就可能出現(xiàn)估值漂移現(xiàn)象。用σ0表示觀測(cè)值母體的均方誤差，||表示參與回歸計(jì)算的觀測(cè)值絕對(duì)值的平均值，ω表示為均方誤差系數(shù)。對(duì)于給定的估值漂移指標(biāo)，當(dāng)：

就認(rèn)為回歸系數(shù)估值可能產(chǎn)生估值漂移。在實(shí)際應(yīng)用中用觀測(cè)值的驗(yàn)后均方誤差?0代替觀測(cè)值母體的均方誤差σ0。

2 結(jié)果與討論

2.1 算例

三元線性回歸的理論回歸方程：

用觀測(cè)值真值加隨機(jī)誤差生成三組模擬觀測(cè)值（簡(jiǎn)稱為觀測(cè)值），三元線性回歸的理論觀測(cè)值與模擬觀測(cè)值見表1。對(duì)于三組模擬觀測(cè)值分別用LS法計(jì)算回歸方程回歸系數(shù)估值、相對(duì)真誤差及相關(guān)系數(shù)見表2。

2.1.1 回歸系數(shù)估值可能產(chǎn)生估值漂移

表1 三元線性回歸的理論觀測(cè)值和模擬觀測(cè)值

表2 回歸系數(shù)估值、相對(duì)真誤差及相關(guān)系數(shù)

回歸數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)導(dǎo)致了回歸系數(shù)估值可能產(chǎn)生顯著的估值漂移。由于多元線性回歸數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)，導(dǎo)致了用LS法求解時(shí)法方程系數(shù)間的差異很大，例如在本算例中法方程系數(shù)主對(duì)角線Nb0b0=10.000、Nb1b1=1.272×1010、Nb2b2=1.808×108和 Nb3b3=2.871×109。不同的觀測(cè)值誤差會(huì)導(dǎo)致法方程的常數(shù)項(xiàng)有微小的變化，法方程的常數(shù)項(xiàng)的微小變化就有可能導(dǎo)致回歸系數(shù)的顯著變化。

觀測(cè)值估值不會(huì)產(chǎn)生顯著估值漂移。由后文表3可知，A、B和C三組的觀測(cè)值估值的相對(duì)真誤差最大值分別為0.59%、0.29%和0.06%，三組觀測(cè)值估值與其真值的差異均不顯著。

2.1.2 僅用復(fù)相關(guān)系數(shù)和復(fù)判定系數(shù)說明多元線性回歸的有效性有一定局限性

2.2 仿真實(shí)驗(yàn)

理論觀測(cè)值模擬值見表1，仿真實(shí)驗(yàn)方法見文獻(xiàn)[1]。理論觀測(cè)值絕對(duì)值的平均值約為1500。回歸系數(shù)估值相對(duì)真誤差均小于等于給定限值的百分比見表3。回歸系數(shù)估值相對(duì)真誤差平均值和相對(duì)均方誤差平均值的百分比見表4。

表3 回歸系數(shù)估值相對(duì)真誤差均小于等于的百分比（%）

表3 回歸系數(shù)估值相對(duì)真誤差均小于等于的百分比（%）

注：σ0表示觀測(cè)值母體均方誤差，ω表示均方誤差系數(shù)；1表示回歸系數(shù)估值的相對(duì)真誤差均小于等于=50%的百分比，2表示回歸系數(shù)估值的相對(duì)真誤差均小于等于=10%的百分比，表示回歸系數(shù)估值的相對(duì)真誤差均小于等于=1%的百分比。R表示復(fù)相關(guān)系數(shù)的總體平均值，R2表示復(fù)判定系數(shù)的總體平均值。

序號(hào)1 2 3 R R2 0.4942 0.9450 0.9855 0.9994 0.9998 1.0000 1.0000 1.0000 12345678 σ0(ω)75.00(5.00%)15.00(1.00%)7.50(0.50%)1.50(0.10%)0.75(0.05%)0.15(0.01%)0.075(0.005%)0.015(0.001%)0.3 9.1 23.2 89.3 99.9 100.0 100.0 100.0 0.0 0.3 1.5 24.9 49.1 99.9 100.0 100.0 0.0 0.0 0.0 0.2 1.7 23.5 47.1 100.0 0.7030 0.9721 0.9927 0.9997 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000

表4回歸系數(shù)估值相對(duì)真誤差平均值和相對(duì)均方誤差平均值的百分比（%）

2.2.1 回歸系數(shù)估值的估值漂移

由表3可知，當(dāng)ω=5%時(shí)，回歸系數(shù)估值的相對(duì)真誤差均小于等于=50%的百分比是0.3%，當(dāng)ω=1%時(shí)，回歸系數(shù)估值的相對(duì)真誤差均小于等于1=50%的百分比是9.1%，當(dāng)ω=0.5%時(shí)，回歸系數(shù)估值的相對(duì)真誤差均小于等于1=50%的百分比是23.2%，即回歸系數(shù)估值漂移的顯著程度隨著均方誤差系數(shù)ω的增大而增大。對(duì)于2=10%和2=1%具有相同的結(jié)果。

2.2.2 僅用復(fù)相關(guān)系數(shù)和復(fù)判定系數(shù)說明多元線性回歸的有效性有一定局限性

由表3可知，當(dāng)ω=1%時(shí)，復(fù)相關(guān)系數(shù)和復(fù)判定系數(shù)總體平均值分別是0.9721和0.9450,回歸系數(shù)估值的相對(duì)真誤差均小于等于=50%的百分比是9.1%；當(dāng)ω=0.5%時(shí)，復(fù)相關(guān)系數(shù)和復(fù)判定系數(shù)總體平均值分別是0.9927和0.9855,回歸系數(shù)估值的相對(duì)真誤差均小于等于=50%的百分比是23.2%。由此可見，即使復(fù)相關(guān)系數(shù)和復(fù)判定系數(shù)滿足要求，回歸系數(shù)的估值也可能產(chǎn)生顯著的估值漂移。

2.2.3 回歸系數(shù)估值的有效性和均方誤差系數(shù)ω的選取

由表3可知，當(dāng)ω=0.10%時(shí)，回歸系數(shù)的相對(duì)真誤差均小于等于=50%的百分比是89.3%；即當(dāng)ω≈0.10%或ω＜0.10%時(shí)，回歸系數(shù)估值的相對(duì)真誤差小于等于=50%，回歸系數(shù)估值具有1位有效數(shù)字。當(dāng)ω=0.01%時(shí)，回歸系數(shù)估值的相對(duì)真誤差均小于等于=10%的百分比是100%；即當(dāng)ω≈0.01%或ω＜0.01%時(shí)，回歸系數(shù)估值的相對(duì)真誤差小于等于=10%，回歸系數(shù)估值具有2位有效數(shù)字。當(dāng)ω=0.001%時(shí)，回歸系數(shù)估值的相對(duì)真誤差均小于等于=1.0%的百分比是100%；即當(dāng)ω≈0.001%或ω＜0.001%時(shí)，回歸系數(shù)估值的相對(duì)真誤差小于等于=1.0%，回歸系數(shù)估值具有3位有效數(shù)字。

2.2.4 回歸系數(shù)估值有效性的判定方法

由表4可知，對(duì)于相同的均方誤差系數(shù)ω，回歸系數(shù)的相對(duì)真誤差均值和相對(duì)均方誤差均值的各種百分比均接近。比如，在三元仿真實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)ω=0.10%時(shí)，回歸系數(shù)的相對(duì)真誤差均小于等于=50%的百分比是89.3%，其相對(duì)均方誤差均小于等于=50%的百分比是88.3%，兩者同時(shí)小于等于=50%的百分比是82.3%，數(shù)據(jù)差距不大，對(duì)于相同的均方誤差系數(shù)和其相應(yīng)給定的限值也具有相同的結(jié)果。即用回歸系數(shù)估值的相對(duì)均方誤差和用回歸系數(shù)估值的相對(duì)真誤差對(duì)回歸系數(shù)估值的有效性判定基本等價(jià)，可用回歸系數(shù)估值的相對(duì)均方誤差代替回歸系數(shù)估值的相對(duì)真誤差對(duì)回歸系數(shù)估值的有效性進(jìn)行判定。

按照三元線性回歸仿真實(shí)驗(yàn)的方法，本文模擬了二元至五元線性回歸的五組實(shí)驗(yàn)，每組至少整理了五個(gè)線性回歸方程來進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，根據(jù)每個(gè)回歸方程觀測(cè)值絕對(duì)值均值來模擬觀測(cè)值母體均方誤差的大小，從而判斷回歸系數(shù)的估值中是否可能會(huì)出現(xiàn)估值漂移,并確定判定多元線性回歸系數(shù)估值漂移的總體指標(biāo)。對(duì)于不同元的線性回歸方程，則有不同的回歸系數(shù)估值漂移總體指標(biāo),二元至五元線性回歸系數(shù)的估值漂移總體指標(biāo)見表5。

表5 二元至五元線性回歸系數(shù)估值漂移總體指標(biāo)(%)

3 結(jié)論

多元線性回歸中回歸系數(shù)的估值可能產(chǎn)生估值漂移，隨著觀測(cè)值均方誤差的增大，回歸系數(shù)估值漂移的可能性增大。

在二元線性回歸中，當(dāng)均方誤差系數(shù)ω≈1.0%或ω＜1.0%時(shí)，回歸系數(shù)估值的相對(duì)真誤差小于等于=50%（=50%是本文所采用的回歸系數(shù)估值漂移的臨界值，根據(jù)不同的應(yīng)用情況可做適當(dāng)?shù)恼{(diào)整），回歸系數(shù)估值具有1位有效數(shù)字；當(dāng)ω≈0.1%或ω＜0.1%時(shí)，其相對(duì)真誤差小于等于=10%，具有2位有效數(shù)字；當(dāng)ω≈0.01%或ω＜0.01%時(shí)，其相對(duì)真誤差小于等于=1.0%，具有3位有效數(shù)字。為了確保二元線性回歸系數(shù)的有效性，至少應(yīng)當(dāng)使ω≈0.1%或ω＜0.1%。

在三元至五元線性回歸中，當(dāng)均方誤差系數(shù)ω≈0.10%或ω＜0.10%時(shí)，回歸系數(shù)估值的相對(duì)真誤差小于等于=50%，回歸系數(shù)估值具有1位有效數(shù)字；當(dāng)ω≈0.01%或ω＜0.01%時(shí)，其相對(duì)真誤差小于等于=10%，具有2位有效數(shù)字；當(dāng)ω≈0.001%或ω＜0.001%時(shí)，其相對(duì)真誤差小于等于=1.0%，具有3位有效數(shù)字。為了確保三元至五元線性回歸系數(shù)的有效性，至少應(yīng)當(dāng)使ω≈0.01%或ω＜0.01%。

用回歸系數(shù)估值的相對(duì)均方誤差和用回歸系數(shù)估值的相對(duì)真誤差對(duì)回歸系數(shù)估值的有效性判定基本等價(jià)，可用回歸系數(shù)估值的相對(duì)均方誤差代替回歸系數(shù)估值的相對(duì)真誤差對(duì)回歸系數(shù)估值的有效性進(jìn)行判定。當(dāng)回歸系數(shù)估值的相對(duì)均方誤差大于50%時(shí)，就認(rèn)為回歸系數(shù)產(chǎn)生了顯著估值漂移。相對(duì)于僅用復(fù)相關(guān)系數(shù)和復(fù)判定系數(shù)確定多元線性回歸有效性，增加回歸系數(shù)估值漂移的確定，對(duì)多元線性回歸特別是回歸系數(shù)的有效性確定具有更高的可靠性。