☉湖北省襄陽(yáng)市第五中學(xué) 謝 偉

☉湖北省襄陽(yáng)市第四中學(xué)高中部 王 丹

利用三次函數(shù)圖像 破解高考導(dǎo)數(shù)試題

☉湖北省襄陽(yáng)市第五中學(xué) 謝 偉

☉湖北省襄陽(yáng)市第四中學(xué)高中部 王 丹

與三次函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題是歷年高考命題的熱點(diǎn)，三次函數(shù)的圖像是三次函數(shù)性質(zhì)的直觀反映，借助函數(shù)圖像，可以直觀地研究對(duì)應(yīng)函數(shù)的性質(zhì).本文以近年與三次函數(shù)有關(guān)的高考試題為例，分析如何結(jié)合三次函數(shù)的圖像解決這類(lèi)問(wèn)題．

一、求解單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)的問(wèn)題

例1（2012年重慶文17）已知函數(shù)f（x）=ax3+bx+c在x=2處取得極值為c－16．

（1）求a、b的值.

（2）若f（x）有極大值28，求f（x）在［-3，3］上的最小值．

解析：（1）a=1，b=－12（過(guò)程略）；

（2）f′（x）=3x2－12．令f′（x）=0，得x=±2．當(dāng)x∈（－3，－2）∪（2，3）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（－2，2）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（－3，－2）和（2，3）上遞增；f（x）在（－2，2）上遞減．結(jié)合圖1知，f（x）在［-3，3］上的最大值是f（－2）和f（3）中的較大者，即最大值為f（－2）=c+16=28，即c=12．由于f（x）在［-3，3］上的最小值是f（-3）和f（2）中的較小者，因此，最小值為f（2）=－4．

評(píng)注：本題利用三次函數(shù)的圖像，直觀揭示了函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性與極值，并能夠便捷地確定函數(shù)f（x）在［－3，3］內(nèi)的最大值和最小值．這樣能夠快速解題，避免出錯(cuò)．

圖1

二、分析兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題

例2 （2012年全國(guó)理10）已知函數(shù)y=x3－3x+c的圖像與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則c＝（ ）.

A.－2或2 B.－9或3

C.－1或1 D.－3或1

解析：依題設(shè)，方程x3－3x=－c有兩個(gè)不等實(shí)根．設(shè)f（x）=x3－3x，則f′（x）=3x2－3，令f′（x）=0，得x=±1.當(dāng)x∈（－∞，－1）∪（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（－1，1）時(shí)，f′（x）＜0.即f（x）在（－∞，－1）和（1，+∞）上遞增，在（－1，1）上遞減，極大值是f（－1）=2，極小值是f（1）=－2．結(jié)合圖2可知，若f（x）=x3－3x和y=－c的有兩個(gè)交點(diǎn)，則c=±2時(shí)．選A．

圖2

評(píng)注：本題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)f（x）=x3－3x和y=－c的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)c的值．觀察圖像可知，y=－c經(jīng)過(guò)曲線(xiàn)的極值點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)．利用圖像解題思路清晰，容易理解.

三、解決含參數(shù)函數(shù)的討論的問(wèn)題

例3（2012年北京理18）已知函數(shù)f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx.

（1）若曲線(xiàn)y=f（x）與曲線(xiàn)y=g（x）在它們的交點(diǎn)（1，c）處具有公共切線(xiàn)，求a、b的值.

（2）當(dāng)a2=4b時(shí)，求函數(shù)f（x）+g（x）的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間（－∞，－1］上的最大值．

解析：（1）a=3，b=3（過(guò)程略）.

圖3-1

圖3-2

圖3-3

評(píng)注：本題結(jié)合圖像可知，按照－1與x1和x2之間的大小關(guān)系分3類(lèi)討論，結(jié)合圖像有助于便捷地找到分類(lèi)討論的標(biāo)準(zhǔn)，使得分類(lèi)清楚、條理清晰，為解決問(wèn)題提供了方便．

四、研究與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的其他問(wèn)題

例4 （2010年天津文20）已知函數(shù)f（x）=ax3－1.5x2+1（x∈R），其中a＞0．

（1）若a=1，求曲線(xiàn)f（x）在（2，f（2））處的切線(xiàn)方程.

（2）若在區(qū)間［－0.5，0.5］上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

解析：（1）y=6x－9.

圖 4－1

圖 4－2

高考導(dǎo)數(shù)試題除了考查三次函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題以外，還考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決其他函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題，我們同樣可以利用函數(shù)圖像便捷地解決這類(lèi)問(wèn)題．

解析：（1）f′（x）=x（4x2－10x+4）．令f′（x）=0，得x1=0，x2=0.5，x3=2．當(dāng)x∈（－∞，0）∪（0.5，2）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（0，0.5）∪（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，如圖5中C1.f（x）在（0，0.5）和（2，+∞）上遞增，在（－∞，0）和（0.5，2）上遞減．

圖5

評(píng)注：本題涉及四次函數(shù)的單調(diào)性和最值，在四次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程有三個(gè)不同實(shí)根的條件下，若四次項(xiàng)系數(shù)大于0，則圖像呈單峰雙谷的W型；若四次項(xiàng)系數(shù)小于0，則圖像呈雙峰單谷的M型．當(dāng)導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根的情況變化時(shí)，單調(diào)性、極值和最值會(huì)隨之變化．

如果我們能夠熟練掌握三次函數(shù)的圖像，充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，就能夠準(zhǔn)確快速地解題，破解相關(guān)導(dǎo)數(shù)試題．同時(shí)也能夠用類(lèi)似的方法研究其他函數(shù)的的相關(guān)問(wèn)題．