☉江蘇省江安高級中學 賈學如

解決導數問題的重要策略
——轉化思想的應用

☉江蘇省江安高級中學 賈學如

函數是高中數學的主干內容，高中數學的函數問題內容多而繁，性質復雜且比較抽象，因而很多同學對函數知識的考查極為畏懼，轉化是解決導數問題的重要策略，特別是對于難度比較大的導數問題，更加彰顯了轉化思想的強大功能，下面談談轉化思想如何在導數解題中實現難點的突破．

一、數與形的轉化

有些問題中給出的是“形”的條件，而有些問題中給出的是“數”的條件，聯想到形與數的密切聯系，可以把問題的形與數結合起來考慮，實施轉化，從而降低原命題的難度，使得問題得以解決．

例1（2012年浙江五校聯考高考模擬）函數f（x）=xex－a有兩個零點，則實數a的取值范圍為________.

分析：通過構造函數，利用導數研究函數的單調性，畫出函數的圖像，利用數形結合思想直觀解決.

解：構造函數y=xex.則y′=ex（x+1）.因為ex＞0，所以由y′=0，解得x=－1.

當x＞－1時，y′＞0，函數為增函數；

當x＜－1時，y′＜0，函數為減函數.

所以當x=－1時函數有最小值－e－1=－畫出函數y=xex的圖像，如圖1所示，顯然當－＜a＜0時，函數f（x）=xex－a有兩個零點.點評：對于本題，如果不能正確畫出函數的圖像，容易得出－＜a的錯誤答案．

圖1

二、函數、方程、不等式的轉化

函數、方程、不等式的關系密切，有意識地利用三者之間的關系對問題進行轉化，從而簡捷的解決問題，轉化的價值是培養(yǎng)學生從不同的角度、不同的側面去觀察問題，產生新的聯想，從而解決問題.

分析：函數g（x）在［1，2］上是減函數，轉化為g′（x）≤0在［1，2］上恒成立，再通過分類討論通過求解函數的最值解決.

點評：本題的解決方法是利用導數與函數單調性的關系，將問題轉化為不等式恒成立問題，然后用函數的思想方法求解．

分析：本題考查恒成立問題，通過對問題的挖掘，實際上是求函數的最值問題，借助導數工具以及不等式恒成立結論解決.0?k≥1.

點評：解決本題的關鍵是轉化思想的應用，求參數k的范圍問題轉化為求函數的最值問題，再通過求最值轉化成利用解不等式來解決.

三、等價轉化

所謂等價轉化，是指通過不斷轉化，將未知解的問題（即不熟悉、不規(guī)范、復雜的問題）轉化為在已有知識范圍內可解的問題（即熟悉、規(guī)范、簡單的問題）的一種思想方法.這種方法注重多種思維的訓練，強調轉化的過程.等價轉化時要求轉化過程必須是充分必要的，才能保證轉化后的結果仍為原問題的結果.它能給人帶來思維的閃光點，找到解決問題的突破口.

例4 若函數f（x）=x3－kx2－k2x+k3在［－1，3］上單調遞減，求k的取值范圍.

分析：本題是非常規(guī)函數以及已知含參數的函數的單調性求參數等逆向問題，適合利用導數解決.

解法1：最值法.

解得k≤－9或k≥3，所以k的取值范圍為（－∞，－9］∪［3，+∞）.

解法2：子區(qū)間法.

點評：求解本題時，可轉化為兩種途徑解：一是最值法，即不等式f′（x）≤0對于一切x∈［a，b］恒成立，先求出f′（x）在［a，b］上的最大值f′（x）max；二是子集法，先解關于x的不等式f′（x）≤0，得到用參數k表示的函數f（x）的單調減區(qū)間U，再令［a，b］?U，從而可以得到關于k的不等式或不等式組，進而得到k的取值范圍.

導數是初等數學與高等數學的重要銜接點，它作為選修部分進入新課程，為研究函數提供了更有力的工具和更廣闊的空間.在今后的學習中要養(yǎng)成使用導數研究函數的習慣.