☉浙江省杭州師范大學附屬中學 蘇立標

同根同源的兩道圓錐曲線高考試題的剖析

☉浙江省杭州師范大學附屬中學 蘇立標

每年高考解析幾何試題總是五彩繽紛、精彩不斷，不乏有許多點睛之作，或給人以啟迪，或給人以思考.研究高考試題，這是我們教學研究的一個規(guī)定動作，引導(dǎo)學生剖析試題內(nèi)涵，尋找試題間的聯(lián)系，這是我們教學中不得不停留的地方，所以我們可以從聯(lián)系的角度去審視高考試題，置知識于系統(tǒng)中，著眼于知識之間的聯(lián)系和規(guī)律，從而深入數(shù)學的本質(zhì).

一、試題的剖析

（1）求橢圓E的方程.

（2）設(shè)動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x=4相交于點Q.試探究：在坐標平面內(nèi)是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由.

由于對任意m、k恒成立，所以聯(lián)立解得x1=1.故存在定點M（1，0），符合題意.

剖析：由題意易知動直線l是橢圓的一條切線，直線x=4為橢圓的右準線，定點M（1，0）恰好為橢圓的右焦點，這樣我們就可以把上述高考試題一般化，得到：

如果我們再把上面的試題改為其逆命題，則又得到2012年安徽省高考數(shù)學試題：

故得直線PQ與橢圓C只有一個交點，即直線PQ是橢圓C的切線．

點評：“莫讓浮云遮望眼，撩開霧紗見真顏”，兩道不同省份的高考試題，卻有相同的知識背景，都匯聚了橢圓中重要的幾何元素：焦點、準線、切線，兩個試題互為逆命題，全面考查了解析幾何的基本思想方法．透過紛繁復(fù)雜的數(shù)學表面，看到自然而富有直觀的數(shù)學內(nèi)涵，得到精簡樸實的數(shù)學本質(zhì)．

二、試題的探究

“水石相激而生浪花點點，云天共擁始現(xiàn)蒼穹渺渺”，對于一道高考試題，我們有必要引導(dǎo)學生對此問題進行全方位的引申、探究，剖析其本質(zhì)內(nèi)容，培養(yǎng)學生探究的能力．問題也只有在不斷變式中探究，才能凸現(xiàn)出問題的本質(zhì)，要善于運用辯證的觀點去思考分析，在運動中尋求定點、定值、定直線的“不變”性．引導(dǎo)學生將試題求變可以較好地刺激學生對所學材料的興趣，活躍學生的學習氣氛．改變題目的條件，會推出什么結(jié)論？保留題目的條件，結(jié)論能否進一步加強？條件作類似變換，結(jié)論能否擴大到一般？像這樣富有創(chuàng)造性的全方位思考，常常是學生發(fā)現(xiàn)新知識、認識新知識的重要突破口．

一道成功的高考試題往往意境深遠，具有較強的再生能力與發(fā)展的空間，我們可以把它作為知識與能力的生長點，引導(dǎo)學生探究其中有趣的性質(zhì)，多角度地考慮問題，使思維呈現(xiàn)輻射狀展開，開闊視野，拓展思維．如果我們把試題中的焦點與準線的條件再弱化，變成“類焦點”與“類準線”，引導(dǎo)學生進行探究，又可以得到：

三、試題的反思

“八方聯(lián)系，渾然一體，漫江碧透，魚翔淺底”.通過剖析試題，探討知識聯(lián)系、知識整合、探究規(guī)律等一系列思維活動，讓學生的思維在解題后繼續(xù)飛翔，這是例題教學過程中更高一級的思維活動.為了讓學生思維繼續(xù)飛翔，我們就需要讓學生從整體上把握知識的內(nèi)在規(guī)律，讓學生將自己置于發(fā)現(xiàn)問題或深化探究問題的活動中去.我們不僅讓學生擁有知識，而且讓學生擁有學習知識的智慧.有一個形象的比喻：擁有知識的人只能看到一塊石頭就是一塊石頭，一粒沙子就是一粒沙子.同樣地，擁有智慧的人卻能在一塊石頭里看到風景，在一粒沙子里發(fā)現(xiàn)光輝.有效的變式教學有利于拓寬學生的學習視野，有利于優(yōu)化學生的思維品質(zhì)，而且能激發(fā)學生內(nèi)在的探究熱情，對一道高考試題進行探究、反思與拓展，讓它鏈接更多的精彩，將學生引向理性反思的舞臺——比較聯(lián)系，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，不僅有效地提升學生的思維能力，而且也使我們數(shù)學的課堂充滿活力.