☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 徐章韜

挖掘趙爽弦圖的導(dǎo)入功能：信息技術(shù)使數(shù)學(xué)史熠熠生輝的一則案例

☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 徐章韜

*本文系中國(guó)博士后科學(xué)基金第五批特別資助 “信息技術(shù)推動(dòng)數(shù)學(xué)歷史文化走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂之研究”（編號(hào)：2012T50656）的部分成果.

一、引言

最近，張奠宙先生指出：導(dǎo)入和創(chuàng)設(shè)情境是有區(qū)別的，不可能在每堂課都創(chuàng)設(shè)情境，創(chuàng)設(shè)情境不能天天搞.而導(dǎo)入則是每堂課都能進(jìn)行的.導(dǎo)入的價(jià)值和實(shí)行的辦法是要思考的問(wèn)題.導(dǎo)入強(qiáng)于創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入作為藝術(shù)在中國(guó)已經(jīng)成形了，導(dǎo)入的價(jià)值和施行方法應(yīng)該立起來(lái).每節(jié)課都要引入［1］.張先生的話從大處著眼，高屋建瓴.要把張先生的思想落到實(shí)處，就要從小處著手，從近處著手.用數(shù)學(xué)史作課堂教學(xué)的引子是個(gè)不錯(cuò)的主張.但數(shù)學(xué)史的運(yùn)用絕不僅僅限于用有趣的歷史故事吸引學(xué)生，而是要充分挖掘歷史文化的底蘊(yùn).若能用信息技術(shù)使數(shù)學(xué)史的文化底蘊(yùn)動(dòng)態(tài)地、形象地揭示出來(lái)，將是一件“錦上添花”的事情：濃郁的歷史文化氛圍與現(xiàn)代文明跨時(shí)空地交織在一起，歷史文化使思想更深邃，信息技術(shù)使思想更完美.本文在吃透趙爽弦圖的基礎(chǔ)上，深入挖掘趙爽弦圖的導(dǎo)入功能，以期拋磚引玉，以期在信息技術(shù)的支持下，更多的歷史文化能更好地融入到課堂教學(xué)之中.

二、吃透歷史：以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一的趙爽弦圖

三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽是最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的人.趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”（如圖1），用形數(shù)結(jié)合得到方法，并給出了勾股定理的詳細(xì)證明.在“勾股圓方圖”中，以弦為邊長(zhǎng)的正方形ABDE是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的小正方形組成的.每個(gè)直角三角形的面積為ab；中間的小正方形邊長(zhǎng)為b－a，面積為（b－a）2.于是便可得如下的式子+（b－a）2=c2，化簡(jiǎn)即得，a2+b2=c2.

圖1 勾股圓方圖

趙爽的證明別具匠心，極富創(chuàng)新意識(shí)：用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)來(lái)證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，既具嚴(yán)密性，又具直觀性，為中國(guó)古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨(dú)特風(fēng)格樹(shù)立了一個(gè)典范.以后的數(shù)學(xué)家大多繼承了這一風(fēng)格并且屢有發(fā)展.例如，稍后一點(diǎn)的劉徽在證明勾股定理時(shí)用的也是以形證數(shù)的方法，只是具體圖形的分、合、移、補(bǔ)略有不同而已.

中國(guó)古代數(shù)學(xué)家們對(duì)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位.尤其是其中體現(xiàn)出來(lái)的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義.事實(shí)上，“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法正是數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)極其重要的條件.正如吳文俊先生所說(shuō)：“在中國(guó)的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中，數(shù)量關(guān)系與空間形式往往是形影不離地并肩發(fā)展著的……十七世紀(jì)笛卡兒解析幾何的發(fā)明，正是中國(guó)這種傳統(tǒng)思想與方法在幾百年停頓后的重現(xiàn)與繼續(xù).”

華羅庚先生指出：“數(shù)形本是相倚依，焉能分作兩邊飛；數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休.”形數(shù)結(jié)合，讓抽象的數(shù)棲居在形之上，用解析的數(shù)描述形的特征，堅(jiān)持抽象性與直觀性的統(tǒng)一其實(shí)是一條教學(xué)原則.

三、技術(shù)使歷史熠熠生輝：趙爽弦圖是很好的導(dǎo)入載體

1.完全平方和公式、完全平方差公式的導(dǎo)入

人教社的教材先舉出計(jì)算幾個(gè)整式的乘法的實(shí)例，然后歸結(jié)出完全平方和、完全平方差公式.接著教材又給出圖2說(shuō)明完全平方和公式.

圖2 人教社教材中的完全平方和（差）公式的說(shuō)明圖

這是從代數(shù)的角度來(lái)引入的，圖形起輔助說(shuō)明.其優(yōu)點(diǎn)在于和前面的整式乘法的知識(shí)銜接緊密，不足之處是文化味兒少了一點(diǎn)兒，沒(méi)有充分體現(xiàn)“以形證數(shù)，形數(shù)統(tǒng)一”的思想.

趙爽弦圖是我國(guó)古代的優(yōu)秀文化遺產(chǎn)，其中閃爍著智慧的光芒迄今仍不過(guò)時(shí).我們?cè)O(shè)想，在介紹一個(gè)公式、定理之前，先要讓學(xué)生直觀感知，然后再讓學(xué)生形式化地證明，可能更符合認(rèn)知規(guī)律.基于上述認(rèn)識(shí)，用超級(jí)畫(huà)板制作了下面的動(dòng)畫(huà)（如圖3）.

圖3 趙爽弦圖背景中的平方差公式和重要不等式

點(diǎn)擊動(dòng)畫(huà)，還可以看到下面的情形（如圖4）.

圖4 趙弦弦圖背景中的平方和公式

這里，一幅圖的兩種狀態(tài)分別表征了平方和公式與平方差公式，這表明這兩個(gè)公式其實(shí)是一回事！這是從圖形連續(xù)變化角度得出來(lái)的結(jié)論，從代數(shù)的角度看，更是如此！初學(xué)代數(shù)的同學(xué)不容易看到這一點(diǎn)，不能把－b看做b，不能理解代數(shù)的精髓，現(xiàn)代信息技術(shù)使我們慢慢地接受這種觀點(diǎn)，信息技術(shù)能改變同學(xué)們對(duì)數(shù)學(xué)的看法.

因此，完全平方和、平方差公式的導(dǎo)入流程可以是：演示動(dòng)畫(huà)——計(jì)算面積關(guān)系——得到公式——驗(yàn)證公式.這樣，學(xué)生經(jīng)歷感知——觀察——說(shuō)理——直觀論證這樣一個(gè)完整的學(xué)習(xí)路線.這種引入法完全符合新課程理念.整個(gè)過(guò)程如圖5所示.

圖5 引入過(guò)程和學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程

2.重要不等式的引入

人教社教材是由直接展開(kāi)（a－b）2=a2+b2－2ab，再利用平方數(shù)的非負(fù)性得到重要不等式的.并由圖6給出了重要不等式的圖解.

圖6

而從趙爽導(dǎo)出重要不等式，既為重要不等式配置了圖形背景，也為重要不等式注入了文化的氣息，而且趙爽弦圖美于圖6.

圖7 趙爽弦圖背景中重要不等式取等號(hào)的情形

四、一點(diǎn)看法

教育理念上說(shuō)“不是教教材，而是用教材教”.從人教社教材的編排來(lái)看，是先得出數(shù)量關(guān)系（相等關(guān)系或不等關(guān)系），然后再用圖形作補(bǔ)充說(shuō)明.而我們的導(dǎo)入是先給出圖形直觀，然后再觀察得到初步的結(jié)論，最后再進(jìn)行嚴(yán)密的論證.這兩種做法孰優(yōu)孰劣，教師自有選擇.現(xiàn)在教育取向的數(shù)學(xué)史日益引起廣大一線教師的濃厚興趣，我們想，如果能用信息技術(shù)把史料中閃爍智慧光芒的思想充分挖掘出來(lái)，而不是簡(jiǎn)單地復(fù)古，使課堂教學(xué)既有文化底蘊(yùn)，又有現(xiàn)代信息社會(huì)的氣息，那么教育取向的數(shù)學(xué)史將在信息技術(shù)的支持下大放異彩.這是我們的愿景.

1.代欽，李春蘭.對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)教育的歷史和發(fā)展之若干問(wèn)題的理性思考——對(duì)張奠宙先生的訪談錄 ［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，（1）：21-25.