☉湖北省孝感高級(jí)中學(xué) 張新平

活用通項(xiàng)比較法簡(jiǎn)證數(shù)列不等式

☉湖北省孝感高級(jí)中學(xué) 張新平

在近年的各省市高考數(shù)學(xué)試卷中，有一類與數(shù)列有關(guān)的不等式證明的問(wèn)題頻繁出現(xiàn)，由于這類題型綜合性較強(qiáng)，能力要求較高，知識(shí)涵蓋面較廣而倍受命題者們的青睞.這類問(wèn)題的常用證法是數(shù)學(xué)歸納法，由于思維難度較大，證明過(guò)程較繁，放縮技巧較強(qiáng)等而不易被學(xué)生掌握.本文以課本題及高考題為例，擬就由數(shù)列的前n項(xiàng)之和或前n項(xiàng)之積構(gòu)成的“求和型”或“求積型”數(shù)列不等式的證明，給出一種較為簡(jiǎn)捷、快速的方法——通項(xiàng)比較法.

一、“求和型”數(shù)列不等式的證法

這是人教版數(shù)學(xué)選修4—5中的習(xí)題，觀察結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，適當(dāng)構(gòu)造新數(shù)列并求和，就有下面證法：

將k=1，2，3，…，n時(shí)的n個(gè)不等式相加，

評(píng)注：“通項(xiàng)比較法”證明“求和型”數(shù)列不等式的關(guān)鍵，是觀察結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，適當(dāng)構(gòu)造數(shù)列.這種證法的實(shí)質(zhì)，是“裂項(xiàng)法求和”：將新數(shù)列的通項(xiàng)公式分裂成為兩項(xiàng)之差，在求和過(guò)程中，前項(xiàng)與后項(xiàng)之間，有許多同類項(xiàng)可以合并，從而求出新數(shù)列的和．

（1）用a表示出b，c；

（2）若f（x）≥lnx在［1，+∞）上恒成立，求a的取值班范圍；

將k=1，2，…，n時(shí)的n個(gè)不等式相加，

二、“求積型”數(shù)列不等式的證法

評(píng)注：本題將幾何與代數(shù)有機(jī)地融為一體，既考查曲線與方程，導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，曲線的切線，數(shù)學(xué)歸納法，三角函數(shù)及其單調(diào)性，數(shù)列不等式的證明等，又考查待定系數(shù)法、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法等，較好地考查了抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用創(chuàng)新意識(shí).該題構(gòu)思新穎，設(shè)計(jì)精巧，是考基礎(chǔ)、出活題，以能力立意，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處命題的典范！

由上可見(jiàn)，“通項(xiàng)比較法”的基本思想，是將不等式兩邊各看成一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)之和或前n項(xiàng)之積，通過(guò)比較兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)表達(dá)式的大小，采用累加法或累乘法而使原數(shù)列不等式獲證，規(guī)律性較強(qiáng)，學(xué)生容易掌握，并且靈活運(yùn)用通項(xiàng)比較法，可使證明過(guò)程簡(jiǎn)捷、快速、高效.

1.楊仁寬.巧裂項(xiàng)求數(shù)列的和，妙放縮證明不等式——淺談一類高考數(shù)列不等式問(wèn)題的求解策略［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2008，4.

2.周偉志.數(shù)列不等式證明方法比較［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2008，4.

3.楊仁寬.構(gòu)建高效課堂，提高教學(xué)效率——淺談“目標(biāo)引領(lǐng)，活學(xué)巧用”高效課堂中的難點(diǎn)突破［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2011，12.