☉江蘇省常州市新北區(qū)實驗中學(xué) 俞 艷

軸對稱在初中數(shù)學(xué)中的靈活運用

☉江蘇省常州市新北區(qū)實驗中學(xué) 俞 艷

軸對稱是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心知識點，經(jīng)常顯身于歷年的各地中考中，教學(xué)中學(xué)生容易理解，但難以在具體的數(shù)學(xué)問題中靈活運用，也就成了學(xué)生容易失分之處.如何靈活利用軸對稱來解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題呢？下面通過例題就這話題談?wù)勼w會.

一、巧借軸對稱求生活中的最短距離

兩點之間線段最短，這是大家都知道的一個事實.在一些實際問題中，我們會遇到求不在一條直線上的兩條或三條線段和的最小值問題，要解決這類問題，可借助軸對稱的相關(guān)知識，求出距離最短的問題.

例1 如圖1，公路m一旁有兩蔬菜生產(chǎn)基地A、B，現(xiàn)要在公路上建一貨物中轉(zhuǎn)站.

（1）若要中轉(zhuǎn)站到A、B兩蔬菜生產(chǎn)基地的距離相等，中轉(zhuǎn)站應(yīng)建在何處？

（2）若要使中轉(zhuǎn)站到A、B兩基地的距離之和最短，應(yīng)建在何處？

圖1

分析：（1）由“線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等”可知蔬菜基地應(yīng)建在AB的垂直平分線上，又因為貨物中轉(zhuǎn)站要建在公路上，所以AB的垂直平分線與公路m的交點就是中轉(zhuǎn)站應(yīng)建的地點.（2）如果A、B兩點在直線m的兩側(cè)，連接AB與m的交點即為所求，由于現(xiàn)在A、B兩點在m的同側(cè)，因此可考慮作A點關(guān)于m的對稱點C，由軸對稱的性質(zhì)，可知直線m上任意一點到A、C的距離相等，這樣就把直線m上一點到點A的距離轉(zhuǎn)化為到點C的距離，因此連接CB與m的交點即為所求.

解：（1）作AB的垂直平分線交m于點P，點P就是所要求的蔬菜基地的位置.

（2）作點A關(guān)于m的對稱點C，連接BC交m于點D，點D就是所要求的蔬菜基地的位置.

例2 如圖2，已知養(yǎng)牛營地在點M處，每天放牛人要趕著牛群到河邊飲水.

（1）請作出從營地到河邊飲水的最短路線.

（2）如果飲完水后，再到

草地吃草，然后再次回到營地，請作出最短的放牛路線圖.

分析：這是一道生活中的問題，根據(jù)題意抽象出數(shù)學(xué)問題是解題的關(guān)鍵.（1）可抽象出點到直線的最短距離.（2）可抽象出這樣的數(shù)學(xué)模型：直線a、b間有一點M，試分別在a、b上求出一點M，使M點與這兩點構(gòu)成的三角形的周長之和最小，要求周長之和最小，即要求三條線段的和最小，根據(jù)題目意思，可利用軸對稱的有關(guān)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短的問題.

圖2

解：（1）過點M作MP⊥a于A，MP即為最短路線.

（2）分別作點M關(guān)于a、b的對稱點A、B，連接AB分別交a、b于點C、D，則最短的放牛路線為：M→C→D→M.

例3 甲、乙兩個單位分別位于一條河的兩旁，河的兩岸分別為L1、L2，現(xiàn)為了方便兩單位的通行方便，準(zhǔn)備合作修建一座橋.（橋必須與河道垂直）.

（1）橋建在何處能使甲、乙到橋的距離相等？

（2）橋建在何處能使甲到乙的路線最短？

解析：（1）作點B關(guān)于河道的對稱點B1，連接AB1，作AB1的垂直平分線，與街道靠近A的一側(cè)相交于A1，過A1建橋即符合要求.

（2）將點A沿豎直向下的方向平移至點A2，使AA2的長等于河道的寬度，即橋?qū)?，連接A2B與河道靠近B的一側(cè)交于點B2，過B2點建橋即符合要求.

二、靈活運用軸對稱的性質(zhì)求角度、角與角之間的關(guān)系、邊與邊之間的關(guān)系.

圖3

例4 如圖3，把一張矩形紙片ABCD（AD∥BC）沿EF折疊后，點C、D分別落在C′、D′的位置上，EC′交AD于點G．已知∠EFG=58°，那么∠BEG=_________．

分析：根據(jù)折紙的操作原理可知C點與C′點關(guān)于EF對稱，即EC和EC′關(guān)于EF對稱，所以∠CEF＝∠GEF，再根據(jù)∠EFG和∠CEF的關(guān)系即可求得.

解：根據(jù)折疊原理，可知EC和EC′關(guān)于EF對稱.所以∠CEF＝∠GEF.

由AD∥BC，得∠EFG＝∠CEF.

所以∠BEG＝180°－2×∠EFG＝180°－2×58°＝64°.

例5 如圖4，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點A落在四邊形BCDE內(nèi)部時，∠A與∠1+∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請試著找一找這個規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是（ ）.

A.∠A=∠1+∠2 B.2∠A=∠1+∠2

C.3∠A=2∠1+∠2 D.3∠A=2（∠1+∠2）

分析：折疊前后的部分關(guān)于折痕所在直線對稱，分別延長BE、CD相交于點A′，則點A′就是點A的對稱點．連接AA′，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可知直線DE是線段AA′的垂直平分線，所以EA=EA′，DA=DA′.所以∠EAA′=∠EA′A，∠DAA′=∠DA′A.

又因為∠1= ∠EAA′+∠EA′A=2∠EAA′，∠2= ∠DAA′+∠DA′A=2∠DAA′，所以∠1+∠2=2∠EAA′+2∠DAA′=2（∠EAA′+∠DAA′）=2∠DAE.

因此，應(yīng)該選B.

當(dāng)然，軸對稱的運用是多維度的，只要在數(shù)學(xué)教學(xué)中把握好思維解決的支點，就能化難為易，運用自如.

圖4