☉北京師范大學出版集團 岳昌慶
為什么討論圓錐曲線的切線問題?一方面,圓內(nèi)已討論切線問題,學生自然就會探索其他圓錐曲線的切線問題;另一方面,導數(shù)知識的加入,也使研究圓錐曲線的切線更成為可能.
本文約定:
圓錐曲線的內(nèi)部:包括焦點(或圓心)的圓錐曲線所圍成的平面區(qū)域;
圓錐曲線的外部:不包括圓錐曲線及圓錐曲線的內(nèi)部的平面區(qū)域.
若自點P0(x0,y0)可作二次曲線的兩切線,兩切點所連線段叫做點P0關(guān)于此曲線的切點弦.
可得以下結(jié)論:
曲線名稱 曲線方程 切點弦方程 點P0位置圓 x2+y2=r2 x0x+y0y=r2 x02+y02>r2橢圓 x2 a 2>1雙曲線 x2 a 2+y2 b2=1(a>b>0) x0x b a2+y0yb2=1 x02 2-y2 2-y0y b a2+y02 b 2=1(a>0,b>0) x0x a 2<1拋物線 y2=2px(p>0) y0y=p(x+x0) y02>2px02=1 x02 a2-y02 b
例2 [2008年高考山東卷(理科)]
設(shè)拋物線方程為x2=2py(p>0),M為直線y=-2p上任意一點,過M引拋物線的切線,切點分別為A、B.
(1)求證:A、M、B三點的橫坐標成等差數(shù)列;
(2)已知當點M的坐標為(2,-2p)時,|AB|=,求此時拋物線的方程;
為保證切點弦的存在,點P0必須在橢圓(或圓)的外部,雙曲線的外部(即不包括雙曲線焦點的平面區(qū)域),拋物線的外部(即不包括拋物線焦點的平面區(qū)域).
下面以圓的切點弦方程為例,證明如下.
設(shè)點P0(x0,y0)在圓x2+y2=r2外,由P0向該圓引兩切線,設(shè)兩切點分別為A、B,則點P0關(guān)于此圓的切點弦AB所在直線方程為x0x+y0y=r2.
由已知可設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),xA≠xB,則:
切線PA所在直線方程為xAx+yAy=r2;
切線PB所在直線方程為xBx+yBy=r2.
由P0(x0,y0)∈PA,得x0xA+y0yA=r2.
同理,x0xB+y0yB=r2.
即點A,B的坐標分別滿足方程x0x+y0y=r2.又過不重合的兩點的直線唯一,所以x0x+y0y=r2即為點P0關(guān)于此圓的切點弦AB所在直線的方程.
例1 [2003年碩士學位研究生入學資格考試(GCT)]
過點P(0,2)作圓x2+y2=1的切線PA、PB,A、B是兩個切點,則A、B所在直線的方程為( ).
(3)略.
【略解】(1)如圖1,由已知可設(shè)M(xM,-2p),顯然點M在拋物線的外部,則點M關(guān)于該拋物線的切點弦所在直線方程為AB:
兩式相減,整理得:(xA-xB)(xA+xB-2xM)=0.
又xA≠xB,所以xA+xB=2xM.故A、M、B三點的橫坐標成等差數(shù)列.
(2)所求拋物線方程為x2=2y或x2=4y.
(3)略.
評注:由霧里看花到水落石出,由遙不可及到快速接近目標.一些結(jié)論能幫助我們用“縮略式”思維方式思考問題,快速接近問題、解決問題,然后再回過頭來補證這一結(jié)論.將一道難題變成跳一跳能夠夠得著的中檔題,何樂而不為?
例3 [2008年高考江西卷(理科)]
(1)略;
(2)求證:A、M、B三點共線.
【略解】(1)略.
(2)如圖2,由已知可設(shè)P(m,y0),顯然點P在雙曲線的外部,則點P關(guān)于該雙曲線的切點弦所在直線方程為AB:mx-y0y=1.
1.丁爾陞主編.中學數(shù)學百科全書·數(shù)學卷.北京:北京師范大學出版社.1994年12月第1版.P98.
2.人民教育出版社等編著.普通高中課程標準實驗教科書.數(shù)學A版選修2-1.北京:人民教育出版社.2007年2月第2版.P75~P76.