石向東

（梧州學(xué)院 數(shù)理系，廣西 梧州 543002）

解析幾何教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力

石向東

（梧州學(xué)院 數(shù)理系，廣西 梧州 543002）

空間想象能力是數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)培養(yǎng)的三大能力之一。空間想象能力的特點(diǎn)是對(duì)在人腦中構(gòu)成的研究對(duì)象的空間表象進(jìn)行改造和重新構(gòu)造新的幾何形象，它是形象思維與邏輯思維相結(jié)合而產(chǎn)生的一種能力?；趯?duì)空間想象能力的認(rèn)識(shí)，提出在空間解析幾何中培養(yǎng)空間想象能力的幾點(diǎn)建議：強(qiáng)化空間觀念、掌握系統(tǒng)的幾何基礎(chǔ)知識(shí)、引入多媒體教學(xué)。

空間想象能力；空間表象；多媒體教學(xué)

下面一道空間解析幾何題，對(duì)空間想象能力是很好的說明。

分析：根據(jù)已知條件，易得母線方向數(shù)為1，-2，-2，若能求出圓柱面的準(zhǔn)線圓，就可求出圓柱面的方程。圓柱面的準(zhǔn)線圓可以看作是以軸上的點(diǎn)Q （0，1，-1）為球心、已知點(diǎn)P（1，-2，1）到Q點(diǎn)的距離|PQ|為半徑的球面與過點(diǎn)P且垂直于軸的平面π的交線。

這道題的解法是根據(jù)題意，創(chuàng)造出合乎已知條件的幾何圖形來解題的一個(gè)典型。

筆者在教學(xué)時(shí)，根據(jù)已知條件求出圓柱面。已知垂直于軸的平面與圓柱面的交線圓是準(zhǔn)線。那么在上面的解法中，是怎么想到構(gòu)造一個(gè)球，并用一個(gè)平面去截它，把所得的交線作為準(zhǔn)線呢？這是由于聯(lián)想到球面與平面的交線也是圓，從而可推想到：這個(gè)球面是以Q點(diǎn)為球心、|PQ|為半徑；而截面是過P點(diǎn)且與軸垂直的平面，于是一切問題就迎刃而解了。

由上面的例題，可以看到空間想象能力在解決空間解析幾何問題中有著不可估量的作用。培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，一直是數(shù)學(xué)教學(xué)不斷追求的任務(wù)。

1 對(duì)空間想象能力的認(rèn)識(shí)

1.1 什么是空間想象能力

空間想象能力是數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)培養(yǎng)的三大能力之一，它主要指的是人們對(duì)客觀事物的空間形式進(jìn)行觀察、分析和抽象的能力。它的特點(diǎn)是對(duì)于在人腦中構(gòu)成的研究對(duì)象的空間表象進(jìn)行分割，或加工、改造而創(chuàng)造新的幾何形象。在空間解析幾何中，空間想象能力主要有下面三個(gè)方面的要求： （1）能借助圖形來反映并思考研究對(duì)象的幾何形狀及空間位置關(guān)系。 （2）能在復(fù)雜的圖形中區(qū)分出基本圖形，并分析其中基本圖形和基本元素之間的相互關(guān)系。 （3）能根據(jù)幾何對(duì)象的性質(zhì)及空間位置關(guān)系創(chuàng)造出合乎一定條件的新的幾何體。可以概括地說，空間想象能力的本質(zhì)是思考和創(chuàng)造。

1.2 空間想象能力是形象思維與邏輯思維相結(jié)合而產(chǎn)生的一種能力

幾何對(duì)象的空間關(guān)系有直觀的和抽象的兩種表達(dá)方式，直觀的表達(dá)形式是用圖形符號(hào)來表示，抽象的表達(dá)形式是用文字符號(hào) （概念）表達(dá)。這兩種表達(dá)方式是相匹配的，從某種意義上來講，幾何體的圖形符號(hào)的本質(zhì)意義就是與之相匹配的概念，它們之間是一種等值關(guān)系。

有人認(rèn)為空間想象能力只與形象思維有關(guān)，其實(shí)不然。用圖形符號(hào)表達(dá)的空間關(guān)系雖有立體感、直觀，易于從知覺上加以理解，與表象的形成密切相關(guān)，但它又有不完整、不準(zhǔn)確等局限，在較多部分上不能反映幾何對(duì)象的真實(shí)的空間關(guān)系；而用文字符號(hào)表示的空間關(guān)系，盡管是抽象的，但卻是分析的、邏輯嚴(yán)密的，能直接反映相應(yīng)的本質(zhì)屬性，因而是準(zhǔn)確的。所以在空間想象活動(dòng)中，單純依靠直覺的圖像符號(hào)進(jìn)行思考難以實(shí)現(xiàn)空間想象，必須借助抽象的概念進(jìn)行邏輯思維，這說明了空間想象能力是形象思維與抽象的邏輯思維相結(jié)合后產(chǎn)生的一種能力。

1.3 良好的空間想象能力是空間思維的導(dǎo)向

空間想象活動(dòng)過程是這樣進(jìn)行的：在頭腦中再現(xiàn)過去感知的、現(xiàn)實(shí)中存在的幾何形象的記憶原材料，利用這些已有表象進(jìn)行加工、改造，創(chuàng)造出新的幾何形象，想象是以形象作為活動(dòng)的主要形式。而空間思維則是反映出事物的表象的內(nèi)在聯(lián)系的必然，它是以概念為主要活動(dòng)形式。豐富的空間想象能力有利于提高學(xué)生的空間思維水平，良好的空間想象能力對(duì)空間思維活動(dòng)起著導(dǎo)向性的作用。

例如，在空間解析幾何的教學(xué)中，往往要求作出由幾個(gè)曲面或平面圍成的立體圖，作圖的關(guān)鍵在于兩曲面相交的曲線的畫法，也就是如何根據(jù)空間曲線的方程來畫曲線圖形的方法。

對(duì)多數(shù)曲面來說，作曲面的圖形比較難，畫出它們的交線就更難。但是，空間曲線L作為兩曲面的交線，如果它是由F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0相交而成，也必定能找到另外兩個(gè)曲面M(x,y,z)=0和N(x,y,z)=0，使它們的交線也是L。所以產(chǎn)生空間曲線的曲面不是唯一的。為此，對(duì)于空間曲線我們可以創(chuàng)造出與之等價(jià)的、且容易作圖的曲面，比如母線平行于坐標(biāo)軸的柱面，也就是射影柱面，即只要把空間曲線看作是兩個(gè)射影柱面的交線，則作圖就簡單多了。這種把曲線方程中的兩個(gè)曲面方程變換成與之等價(jià)的柱面方程的思路，便是空間想象能力的結(jié)果。

2 空間想象能力在解析幾何學(xué)科中的培養(yǎng)

空間想象能力是有效地處理幾何圖形，對(duì)其表象進(jìn)行加工、整合、創(chuàng)新的一種特殊的數(shù)學(xué)能力。良好的空間想象能力有助于學(xué)生掌握高效的學(xué)習(xí)方法，提高 “數(shù)學(xué)素養(yǎng)”，反之，有些學(xué)生空間想象能力較差，這往往是他們學(xué)習(xí)解析幾何的絆腳石。在解析幾何教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，可以從下面三方面進(jìn)行。

2.1 在建立解析幾何基本概念的教學(xué)中培養(yǎng)空間想象能力

圖形給人的信息是直覺的，在空間想象活動(dòng)中，學(xué)生必須憑借分析圖形，識(shí)別圖形表達(dá)形式的“廬山真面目”，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，聯(lián)想到與圖形匹配的概念——即與圖形有關(guān)的知識(shí)點(diǎn)?？梢?，幾何對(duì)象空間的形與識(shí)的表象即直觀圖以及直觀圖所對(duì)應(yīng)的空間概念，是想象的材料，這些材料的數(shù)量和質(zhì)量直接影響到空間想象的水平，學(xué)生頭腦中積累的幾何知識(shí)越豐富，想象就越深刻、準(zhǔn)確，否則就導(dǎo)致想象的膚淺和錯(cuò)誤。

在解析幾何基本概念，包括空間平面、曲面、空間直線、曲線等幾何形體的教學(xué)中，必須摒棄過去那種只著重曲線、曲面方程知識(shí)的教學(xué)方式，而要重視學(xué)生空間知覺的獲得。例如在 “柱面”定義的教學(xué)中 “平行的直線族”、 “準(zhǔn)線”這兩個(gè)概念的理解是學(xué)生掌握柱面特征的關(guān)鍵，也是形成空間曲面概念的開始。教學(xué)時(shí)，教師在引導(dǎo)學(xué)生觀察柱面形成動(dòng)態(tài)過程的基礎(chǔ)上,使學(xué)生獲得 “平行的直線族”、 “與直線族相關(guān)的定曲線” （準(zhǔn)線）的空間知覺、建立具有這種特征的空間曲面——柱面的表象，以確立對(duì)柱面形成的空間想象為進(jìn)一步學(xué)習(xí)錐面等空間曲面打下基礎(chǔ)。

2.2 在解題教學(xué)中進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的空間想象能力

當(dāng)幾何基礎(chǔ)知識(shí)的積累達(dá)到一定程度，空間想象能力就能從形象的水平提高到抽象的文字符號(hào)水平，即無圖想象的境界。為了到達(dá)這一境界，還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生在運(yùn)用解析幾何知識(shí)去解決問題的訓(xùn)練中，進(jìn)一步發(fā)展空間想象能力。

在解題的思維訓(xùn)練中，可從如下兩個(gè)層面上展開對(duì)學(xué)生的空間想象能力的提升。

第一個(gè)層面是必須緊扣解析幾何的基本知識(shí)。因?yàn)橄到y(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)是空間想象能力的基礎(chǔ)，面對(duì)題目提供的信息，學(xué)生必須憑著對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的準(zhǔn)確理解，聯(lián)想到與概念匹配的圖形信息，使空間想象達(dá)到方向的準(zhǔn)確性，以及理解的深刻性。

例2.作兩柱面x2+y2=1與y2+z2=1在第一卦限內(nèi)的交線。

在上面的解法中，想象出用一系列平行于xoz平面的平面去截這兩個(gè)柱面，是來自于對(duì)柱面的幾何性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，就是：①柱面可以看作是由平行直線族所生成的，因此兩柱面的交線上的點(diǎn)就是兩柱面的母線的交點(diǎn)。②圓柱面x2+y2=1的母線平行于oz軸，圓柱面y2+z2=1的母線平行于ox軸?；趯?duì)上述兩點(diǎn)性質(zhì)的深刻理解，才能想象出一系列矩形。這種無圖想象是憑籍豐富的、系統(tǒng)的幾何知識(shí)才得以進(jìn)行。

第二個(gè)層面是在解題訓(xùn)練中要做到形象思維與邏輯思維有機(jī)的結(jié)合。數(shù)學(xué)的抽象性與邏輯嚴(yán)密性，使教師在傳統(tǒng)教學(xué)方法中容易進(jìn)入過分強(qiáng)調(diào)答案的推理性和邏輯性的思維誤區(qū)，而忽略了形象思維較容易進(jìn)入直覺感知這個(gè)角度和方向。筆者在解析幾何教學(xué)中根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的具體特點(diǎn)，采用以形象思維與邏輯思維相結(jié)合的解題訓(xùn)練方法。

對(duì)空間想象能力的培養(yǎng)離不開畫圖與用圖。如果題目給出的空間關(guān)系的信息是用圖形表示的，那么學(xué)生在接受到這一視覺信息，并將圖形分析、整理后，根據(jù)圖形特征，就會(huì)在記憶系統(tǒng)中再現(xiàn)某個(gè)可利用的基本圖形，然后再進(jìn)一步喚起直觀圖符號(hào)意義的回憶，由空間形式的圖形符號(hào)轉(zhuǎn)換到其語言符號(hào)，這就是用圖。如果題目提供的空間關(guān)系是用文字符號(hào)表示的，那么學(xué)生在得到這一信息時(shí)，就要恢復(fù)語言文字符號(hào)的圖形面貌，即將概念轉(zhuǎn)換成與它相匹配的直觀圖形，這就是畫圖。無論用圖還是畫圖，都是幾何對(duì)象的空間關(guān)系的抽象與直觀這兩種表達(dá)方式的轉(zhuǎn)換。

在空間想象活動(dòng)中，一方面是知覺直觀圖，直覺地獲得圖形的符號(hào)意義，憑借圖形反映并思考幾何對(duì)象的空間形式和位置關(guān)系，這是形象思維活動(dòng)。另一方面，再通過對(duì)知覺的內(nèi)容進(jìn)行整理、修改、補(bǔ)充等認(rèn)知活動(dòng)，并把知覺的符號(hào)意義與個(gè)體認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念、知識(shí)聯(lián)系起來，用文字或列式來表達(dá)空間形狀與位置關(guān)系，這是抽象的邏輯思維活動(dòng)過程。可見，在空間想象活動(dòng)過程中，形象思維能力與抽象的邏輯思維能力同時(shí)發(fā)揮作用。

分析：利用圓柱面上的點(diǎn)到軸的距離為定值（等于準(zhǔn)線圓的半徑），所以要先求出軸的方程及準(zhǔn)線圓的半徑、圓心。

因?yàn)辄c(diǎn)B（0，0，2） 在l2上，令過B且垂直于l2的平面為π，即y+z-2=0，求得π與l1的交點(diǎn)D（0，2，0），π與l3的交點(diǎn)E（，1，1），由B、D、E三點(diǎn)可求得圓心M0（0，1，1） 和半徑 ，再利用圓柱面上任一點(diǎn)到軸的距離等于，從而得出圓柱面方程。

但若不作分析，而是根據(jù)l1上的點(diǎn)A（0，1，-1）、l2上的點(diǎn)B（0，0，2） 和l3上的點(diǎn)C（，1，1）來求圓心和半徑，就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的解法，這是因?yàn)檫^A、B、C三點(diǎn)的平面與軸并不垂直，這個(gè)平面與圓柱面的交線是橢圓而不是圓。錯(cuò)誤解法產(chǎn)生的原因是，在解題過程的空間想象活動(dòng)中，對(duì)過A、B、C三點(diǎn)的平面與軸的位置關(guān)系沒有進(jìn)行分析，而僅是憑借知覺想象出過A、B、C的平面去截圓柱面所得的曲線是圓。因此空間解析幾何中對(duì)幾何對(duì)象的分析過程是形象思維與邏輯思維相結(jié)合的過程。

2.3 多媒體教學(xué)有助于空間想象能力的提高

強(qiáng)化空間觀念是培養(yǎng)空間想象能力的前提?？臻g觀念是指在空間知覺的基礎(chǔ)上形成的關(guān)于幾何對(duì)象的形狀、大小和相互位置關(guān)系的表象，它是隨著空間解析幾何的教學(xué)逐步發(fā)展起來的。在學(xué)習(xí)空間解析幾何的初始階段，為使學(xué)生具有豐富的空間表象，就離不開對(duì)實(shí)物模型的觀察，以幫助學(xué)生理解它們的本質(zhì)特征，從而較好地掌握抽象的幾何概念，這個(gè)階段是看型識(shí)圖。

但直觀教具的使用不是目的，而是輔助手段，因此要盡快使學(xué)生擺脫對(duì)實(shí)物和模型的過分依賴，必須緊扣幾何的有關(guān)概念、定理等基礎(chǔ)知識(shí)，根據(jù)一定的邏輯推理去展開充分的想象，也就是脫型識(shí)圖。

多媒體教學(xué)是培養(yǎng)空間想象能力的有效途徑?？臻g知覺、空間觀念、空間想象能力三者之間的關(guān)系是：空間觀念是在空間知覺的基礎(chǔ)上形成的，而空間觀念又是空間想象能力的基礎(chǔ)，學(xué)生從空間知覺到空間想象能力的發(fā)展中，是以空間觀念為表象的?？臻g觀念的形成，是一個(gè)長期培養(yǎng)、積累的過程，但在實(shí)際的學(xué)習(xí)中，學(xué)生往往不易建立空間的概念，在頭腦中難以形成較準(zhǔn)確的幾何形象，為了化解這一難點(diǎn)，可使用多媒體進(jìn)行空間解析幾何的教學(xué)。實(shí)踐證明，多媒體教學(xué)是幫助學(xué)生形成良好的空間觀念、發(fā)展學(xué)生的空間想象能力的有效途徑。多媒體展示的圖形，使學(xué)生從多方位、多角度地觀察、認(rèn)知幾何體，從而在頭腦中建立起準(zhǔn)確的、豐富的表象，在感受知識(shí)形成的過程中培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。

總之，空間想象能力的培養(yǎng)是教學(xué)中的一項(xiàng)長期任務(wù)，必須在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)上長期堅(jiān)持，并且與空間解析幾何的基本理論的教學(xué)以及邏輯思維能力的培養(yǎng)有機(jī)地結(jié)合起來，才能取得較好的效果。

[1]石志群.談培養(yǎng)空間想象能力的層次性及操作程式[J].數(shù)學(xué)通報(bào),1996(4).

[2]季素月.關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的幾個(gè)問題的分析[J].數(shù)學(xué)教學(xué),1997(2).

[3]呂林根，許子道.解析幾何[J].北京：高等教育出版社，2006.

G642.4

A

1673-8535（2012）02-0097-04

石向東（1961-），男，廣西梧州人，梧州學(xué)院數(shù)理系講師，研究方向：數(shù)學(xué)教育、微分方程。

（責(zé)任編輯：高 堅(jiān)）

2012-02-20