陳 紅，黃 勁

（1.2.梧州學(xué)院 數(shù)理系，廣西 梧州 543002）

提高線性代數(shù)課堂教學(xué)效果的幾點體會

陳 紅1，黃 勁2

（1.2.梧州學(xué)院 數(shù)理系，廣西 梧州 543002）

線性代數(shù)是理工科重要的基礎(chǔ)課程，結(jié)合教學(xué)實踐以及一些思考，從線性代數(shù)的課程主線、概念教學(xué)、技能培養(yǎng)、思想方法等方面，就如何提高線性代數(shù)課程教學(xué)效果的談幾點體會。

線性代數(shù)；課程主線；概念；技能；思想方法

線性代數(shù)是理工科和部分文科專業(yè)重要的基礎(chǔ)課程，它是自然科學(xué)和社會科學(xué)的基本工具，它的理論和方法無論是對學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的完善還是對學(xué)生綜合素質(zhì)的提高以及創(chuàng)新能力的培養(yǎng)都有著十分重要的作用。線性代數(shù)教學(xué)效果直接影響著學(xué)生在實踐中應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。

線性代數(shù)課程的特點是學(xué)時少、概念多、抽象度高、思維方式獨特。由于該課程理論性強,技能性強，教師在教學(xué)過程中既要保證數(shù)學(xué)原理的傳授，又要使學(xué)生及時掌握主要的解題方法，兩者往往難以平衡。特別是某些章節(jié)由于理論多、晦澀難懂，學(xué)生感到學(xué)線性代數(shù)像是“讀天書”，甚至有些老師在有關(guān)這些內(nèi)容講授時采取只介紹結(jié)論,不去講授其原理的短平快教學(xué)模式，從而影響了教學(xué)效果，也達(dá)不到教學(xué)的目的,以至于學(xué)生陷入迷茫之中。本文以同濟大學(xué)編寫的《線性代數(shù)》[1]教材為研究對象，結(jié)合教學(xué)實踐以及一些思考，就如何提高線性代數(shù)的教學(xué)效果談幾點體會。

一、以線性方程組解的理論為課程主線，以線性空間、線性變換為方向組織教學(xué)

“線性代數(shù)”是一門“空間為體，矩陣為用”（即用矩陣?yán)碚撗芯肯蛄靠臻g及其線性變換）的課程[2]。如果從主攻課題和研究方法的角度來分析,線性代數(shù)是以線性方程組解的理論和方法為起點,研究線性空間及其上線性變換的不變量理論的課程，其主要工具是矩陣?yán)碚摗，F(xiàn)行主流的線性代數(shù)課程大抵包括以下一些內(nèi)容：行列式、矩陣、向量、線性方程組、特征值特征向量、二次型、線性空間和線性變換。線性代數(shù)每一章研究的對象、概念不能在前一章的基礎(chǔ)上建立起來，從這個角度來說各章之間的關(guān)聯(lián)性不強，學(xué)生每一章都要重新學(xué)習(xí)新概念的定義、性質(zhì)、相關(guān)計算及一系列結(jié)論。造成學(xué)生感覺剛剛初步熟習(xí)一個內(nèi)容，接著又出現(xiàn)了新的研究對象，一個難題接一個難題，沒有一個課程主線，這是線性代數(shù)難學(xué)的原因之一。根據(jù)線性代數(shù)這一特點，確定以線性方程組解的理論為課程主線，以線性空間、線性變換為方向組織教學(xué)。該方法避免了學(xué)生學(xué)習(xí)的盲目性,帶著問題看每一個新的研究對象，知道為什么要引進這個概念及研究這個概念的數(shù)學(xué)背景，這樣新的概念就變得似曾相識了，提高了教學(xué)效果。

1．以線性方程組解的理論為課程主線組織教學(xué)客觀世界的數(shù)量關(guān)系中線性問題（即均勻化的問題）可以列出線性方程組求解。計算機的迅速發(fā)展使得成千上萬個未知量的線性方程組也有可能求解，這需要給出統(tǒng)一的、機械的求解線性方程組的算法。含n個未知量的線性方程組稱為n元線性方程組，它的一般形式為：

問題：線性方程組是否有解？有解時，有多少個解？如何求線性方程組的解？線性方程組的解不止一個時，這些解之間有什么關(guān)系？

特殊情形:當(dāng)方程個數(shù)與未知量個數(shù)相等時，即m=n時，從二元、三元線性方程組入手，得出它們的公式解，引出二階、三階行列式。對于n個方程的n元線性方程組有沒有類似的結(jié)論呢？引出n階行列式的概念，最后得到克萊姆法則：如果系數(shù)行列式，則方程組有唯一解。

克萊姆 (Cramer)法則直接從線性方程組的系數(shù)和常數(shù)項求出方程組的解。

問題：（1）當(dāng)D=0時，克萊姆法則失效，無法判定無解和有無窮多解的情形，如何求解？

（2） 當(dāng)方程個數(shù)與未知量個數(shù)不相等時，即m≠n時，克萊姆法則失效，因此需要進一步研究一般的線性方程組如何直接從它的系數(shù)和常數(shù)項判斷它有沒有解，有多少解，有解時如何求出它的解？

解決方法：分析解線性方程組的Gauss消元法，我們看到求解過程中只是對線性方程組的系數(shù)和常數(shù)項進行了運算，于是利用矩陣、矩陣的初等行變換來解線性方程組，從而引出了矩陣的內(nèi)容。下面通過例子說明如何從“矩陣”過渡到“向量”。

問題：線性方程組的有無窮多解時，解與解之間有什么關(guān)系？其解集的結(jié)構(gòu)如何？

解決方法：引入向量，定義向量的線性運算。討論向量之間的關(guān)系，即向量組、向量的線性表示、向量組的線性相關(guān)性、最大無關(guān)組、向量空間的概念。

齊次線性方程組的解集 S｛x｜Ax＝0｝是一個向量空間（稱為齊次線性方程組的解空間，它是Rn的子空間），解向量組的一個最大無關(guān)組稱為方程組的基礎(chǔ)解系，它即是解空間的基。由此得到齊次線性方程組的解集的結(jié)構(gòu)，從而得到非齊次線性方程組的解集的結(jié)構(gòu)，到此，線性方程組的問題得到徹底解決。

接下來特征值、特征向量是解線性方程組的應(yīng)用，二次型是行列式、矩陣、解線性方程組的綜合應(yīng)用。

以如何解線性方程組為主攻課題組織教學(xué)，重現(xiàn)了線性方程組理論問題的研究過程和創(chuàng)新過程，隨著問題的討論深入，不斷地引進新的概念及相關(guān)理論，使學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的過程中搭建起線性代數(shù)的知識結(jié)構(gòu)，學(xué)習(xí)并逐漸掌握行列式、矩陣、向量空間的理論和方法。實踐表明這種以問題為中心組織教學(xué)的方法，能夠引起學(xué)生的注意，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，有利于在教學(xué)過程中促進學(xué)生的泛參與，取得了較好的教學(xué)效果。

2．以線性空間、線性變換為方向組織教學(xué)

研究線性方程組的解法、解的情況的判別和解集的結(jié)構(gòu)時，貫穿了研究n維向量空間Rn及其子空間這條主線。為使向量及向量空間的概念更具一般性，于是引入了線性空間的概念。

問題：如何在n維向量空間Rn的基礎(chǔ)上研究Rn維線性空間Vn？

解決方法：引入線性空間的維數(shù)、基、坐標(biāo)及同構(gòu)的概念。

設(shè) α1,α2,…,αn是 n 維線性空間 Vn的一組基，在這組基下，Vn中每一個向量都有唯一的坐標(biāo) (x1,x2,…xn)T，因此Vn與Rn之間就建立了一一對應(yīng)關(guān)系。設(shè) α=x1α1+x2α2+…xnαn+，β＝y(tǒng)1α1+y2α2+…ynαn，即α，β的坐標(biāo)分別是 (x1,x2,…xn)T， (y1,y2,…yn)T，那么

于是 α+β，kα 的坐標(biāo)分別是 （x1+y1，x2+y2，…，xn+yn），（kx1，kx2，…，kxn）T這表明向量用坐標(biāo)表示后，Vn中的抽象的線性運算可轉(zhuǎn)化為Rn中的線性運算，Vn的討論就可歸結(jié)為Rn的討論。給出線性空間同構(gòu)的概念，得到任何一個n維線性空間Vn都與Rn同構(gòu)，即維數(shù)相等的線性空間都是同構(gòu)的。

在線性空間的抽象討論中，不考慮線性空間的元素是什么，也不考慮其中的運算是怎樣定義的，而只涉及線性空間在所定義的運算下的代數(shù)性質(zhì)，從這個觀點來看，同構(gòu)的線性空間可以不加區(qū)別，因此，維數(shù)是有限維線性空間的唯一本質(zhì)特征，是有限維線性空間的不變量。特別地，每一個n維線性空間Vn都與Rn同構(gòu)，而同構(gòu)的線性空間有相同的線性性質(zhì)，由此可知我們前面對Rn的研究中，凡是只涉及線性運算的性質(zhì)及有關(guān)結(jié)論（如線性組合、線性相關(guān)、線性無關(guān)、最大無關(guān)組、向量空間的基和維數(shù)、向量的坐標(biāo)、基變換、坐標(biāo)變換、過渡矩陣等）在一般的n維線性空間Vn都是成立的。因此，n維向量空間Rn是n維線性空間Vn的一個具體模型，因此，有限維線性空間的結(jié)構(gòu)可以認(rèn)為是完全清楚了。

矩陣的研究為線性變換的研究打下了基礎(chǔ)。

問題：如何用矩陣研究線性變換？

解決方法：引入線性變換的矩陣的概念，線性變換與n階方陣之間建立一一對應(yīng)關(guān)系。

在n維線性空間Vn中取定一組基后，線性變換可用矩陣表示，線性變換與n階方陣之間就建立了一一對應(yīng)關(guān)系，且這個對應(yīng)保持運算，即線性變換的和、乘積、數(shù)量乘積、分別對應(yīng)于矩陣的和、乘積，數(shù)量乘積，且可逆線性變換對應(yīng)于可逆矩陣，逆變換對應(yīng)于逆矩陣。線性變換的核心問題是尋找一組合適的基，在這組基下線性變換的矩陣具有最簡單的形式，其本質(zhì)上就是研究相似矩陣的問題。線性變換的值域的維數(shù)就是其對應(yīng)的矩陣的秩，以線性變換對應(yīng)的矩陣為系數(shù)矩陣的n元齊次線性方程組的解空間的維數(shù)公式本質(zhì)上線性變換的核與值域的維數(shù)公式。

數(shù)學(xué)問題解決是一種研究性教學(xué)模式。學(xué)習(xí)者首先面對問題，教師引導(dǎo)學(xué)生以問題為中心或者誘因，選用解決問題的策略，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識，提高數(shù)學(xué)能力。學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)過程中能夠獲得更為豐富的建立在更科學(xué)的基礎(chǔ)上的經(jīng)驗，從而產(chǎn)生更多的體驗,有利于學(xué)生感悟如何提出問題，知道何時對問題進行分析,如何尋求幫助,并且收集足夠的信息來解決問題；這種學(xué)習(xí)方式有利于學(xué)生養(yǎng)成一種主動探究和解決問題的習(xí)慣[3]。事實上，科學(xué)研究往往是先確定要做什么？然后考慮如何做？通過引入重要概念搭橋，最終對問題加以解決。

以線性方程組解的理論為課程主線，以線性空間、線性變換為方向組織線性代數(shù)的教學(xué)，能使學(xué)生在獲得知識、技能的同時體會到數(shù)學(xué)的思想方法，培養(yǎng)了學(xué)生的問題意識、創(chuàng)新意識，增強了學(xué)生探索問題、解決問題的能力。

二、注重關(guān)鍵概念的教學(xué)

關(guān)鍵概念指的是通過對教學(xué)內(nèi)容的理解提煉出某章或某節(jié)的能貫穿教學(xué)內(nèi)容的概念。線性代數(shù)知識點多、抽象性強、概念關(guān)系錯綜復(fù)雜，只有在正確理解概念的基礎(chǔ)上才能更好地理解線性代數(shù)的思想方法，從而掌握線性代數(shù)的重要定理和結(jié)論。因此，教學(xué)中更要重視基本概念的教學(xué)，特別是加強關(guān)鍵概念的教學(xué)。

例如：向量組的線性相關(guān)性這一章主要圍繞五個關(guān)鍵概念展開：向量組的線性相關(guān)性（線性相關(guān)、線性無關(guān)）、向量組的最大無關(guān)組、向量組的秩、矩陣的秩、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。這五個關(guān)鍵概念環(huán)環(huán)相扣，把這一章的教學(xué)內(nèi)容串聯(lián)起來。其中向量組的最大無關(guān)組是連接其他四個概念紐帶，它的定義如下：

定義 設(shè)有向量組A，如果在A中能選出r個向量 α1,α2,…,αr，滿足

（i）向量組A0：α1,α2,…,αr線性無關(guān)；

（ii）向量組A中任意r+1個向量（如果A中有r+1個向量的話）都線性相關(guān)。

則稱向量組A0是向量組A的一個最大線性無關(guān)向量組（簡稱最大無關(guān)組）。

由此看到，最大無關(guān)組是向量組線性相關(guān)性的核心。另一方面，最大無關(guān)組給出了向量組的秩和矩陣的秩含義，向量組的秩等于向量組的最大無關(guān)組所含的向量個數(shù)，矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩。齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系即是它的解向量組（或解空間）的最大無關(guān)組。

教學(xué)中，對每個關(guān)鍵概念都要使學(xué)生深刻理解概念的內(nèi)涵，理清它與其他概念的區(qū)別與聯(lián)系，及時建立概念體系。如向量組的線性相關(guān)、線性無關(guān)定義如下：

定義 給定向量組 A：α1,α2,…,αs，如果存在不全為零的數(shù) k1,k2,…,ks使 k1α1+k2α2+…+ksαs=0，則稱向量組A是線性相關(guān)的，否則稱向量組A線性無關(guān)。

這是形式化語言給出的定義，學(xué)生感覺抽象難學(xué)。首先可以通過簡單的例子理解概念的內(nèi)涵。

向量組 α1,α2,…,αs是線性無關(guān)如果從 k1α1+k2α2+…+ksαs=0 可以推出系數(shù) k1=k2=…=ks=0。

然后把線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念與其他概論和知識點聯(lián)系起來，多角度多方面思考問題，使得對這個概念的理解逐步完善和充實，并獲得其它判斷和求解方法。

（1） 從齊次線性方程組的角度α1,α2,…,αs線性相關(guān)齊次線性方程組 x1α1+x2α2+…+ksαs=0 有非零解。α1,α2,…,αs線性相關(guān)齊次線性方程組 x1α1+x2α2+…+ksαs=0 只有零解。

（2） 從線性組合的角度α1,α2,…,αs線性相關(guān)存在不全為零的組合系數(shù)使得線性組合等于零向量。α1,α2,…,αs線性無關(guān)只有組合系數(shù)全為零的線性組合才能等于零向量。

（3）線性表示的角度

向量組 α1,α2,…,αs線性相關(guān)其中至少有一個向量可以由其余向量線性表示。

向量組 α1,α2,…,αs線性無關(guān)其中每一個向量都不能由其余向量線性表示。

（4）從行列式的角度

n 個 n 維列 （行） 向量 α1,α2,…,αn線性相關(guān)以 α1,α2,…,αn為列 （行） 向量組的矩陣的行列式等于零。

n 個 n 維列 （行） 向量 α1,α2,…,αn線性無關(guān)以 α1,α2,…,αn為列 （行） 向量組的矩陣的行列式不等于零。

（5）從矩陣的秩的角度

α1,α2,…,αs線性相關(guān)以 α1,α2,…,αs為列向量組構(gòu)成的矩陣的秩小于S

α1,α2,…,αs線性無關(guān)以 α1,α2,…,αs為列向量組構(gòu)成的矩陣的秩等于S

如果一個向量組的一個部分組線性相關(guān)，那么整個向量組也線性相關(guān)。

如果向量組線性無關(guān)，那么它的任何一個部分組也線性無關(guān)。

采用這樣的教學(xué)方法，加深了學(xué)生對概念的理解，培養(yǎng)了學(xué)生全面思考、多方位、多角度看待事物的能力，同時把盡可能多的知識聯(lián)系起來，便于學(xué)生記憶和理解更多的知識。

線性方程組一章中，五個關(guān)鍵概念之間的關(guān)系是：向量組的線性相關(guān)性→向量組的最大無關(guān)組→向量組的秩→矩陣的秩→線性方程組的基礎(chǔ)解系。其中最大關(guān)組是連接其他關(guān)鍵概念的紐帶。教學(xué)中結(jié)合例題，培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用概念解決問題的能力。例如，有關(guān)矩陣的秩的證明題，由于其太抽象學(xué)生往往無從下手，但若利用矩陣的秩與向量組的最大無關(guān)組這兩個關(guān)鍵概念的關(guān)系來證明則可使思路清晰。

例 證明 R（A+B）≤R（A）+R（B）

證明 設(shè)A、B的列向量組分別為：α1，α2，…，αn；β1，β2，…，βn，則 A+B 的列向量組為 α1+ β1，α2+β2，…，αn+βn，設(shè) αi1，αi2，…，αir是向量組 α1，α2，…，αn的一個最大無關(guān)組；設(shè) βj1，βj2，…，βjt是向量組 β1，β2，…，βn的一個最大無關(guān)組。則 α1+ β1，α2+β2，…，αn+βn可由向量組 αi1，αi2，…，αir，βj1，βj2，…，βjt線性表出。因此

于是 R（A+B）≤R（A）+R（B）。

例題的證明過程中運用了最大無關(guān)組的性質(zhì)、矩陣的秩與構(gòu)成它的列向量組的秩的關(guān)系，以及向量組的秩與其最大無關(guān)組所含向量個數(shù)之間的關(guān)系，使問題通過最大無關(guān)組這個紐帶得以證明。

三、注重培養(yǎng)學(xué)生的“線性代數(shù)”技能

數(shù)學(xué)技能是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中通過訓(xùn)練而形成的一種心智活動方式[4]。

教學(xué)過程中，要重視計算行列式、求矩陣的秩、求逆矩陣、解方程組、討論向量組的線性相關(guān)性、求方陣的特征值和特征向量等線性代數(shù)基本技能的訓(xùn)練，及時總結(jié)解題方法和解題步驟。數(shù)學(xué)技能的形成必須以良好的知識結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，以對知識的理解為前提。而學(xué)生在數(shù)學(xué)技能學(xué)習(xí)和熟練的過程中又可以加深對知識的理解，促進知識結(jié)構(gòu)的進一步完善。

例如學(xué)生要熟練掌握求矩陣的特征值和特征向量的技能。首先，必須理解矩陣的特征值、特征向量、特征多項式和特征方程的概念，確定求矩陣的特征值和特征向量的解題步驟：（1） 寫出｜λEA｜特征多項式 ； （2） 求出｜λE-A｜＝0 的特征方程的全部根，即得矩陣A的全部特征值λ1，λ2，…，λn；（3） 將每個特征值 λ＝λi代入齊次線性方程組（λE-A）x＝0，求其基礎(chǔ)解系，基礎(chǔ)解系的線性組合（零向量除外） 就是A對應(yīng)于特征值λi的全部特征向量。其次，根據(jù)教師對例題的講解示范，模仿著寫出求一個矩陣的特征值和特征向量的過程；然后根據(jù)模仿和自己的理解，重復(fù)例題的過程；并在這個過程中逐漸體會和加深理解特征多項式、特征方程、特征值、特征向量等概念和具體的解題步驟；最后通過一定量的課后練習(xí)達(dá)到熟練掌握的程度。

四、注重突出“線性代數(shù)”思想方法

數(shù)學(xué)思想方法包含在數(shù)學(xué)知識之中，是數(shù)學(xué)知識發(fā)生過程的提煉、抽象和概括，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的認(rèn)識。所以應(yīng)該把數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)與數(shù)學(xué)知識的教學(xué)融為一體。教學(xué)中不僅要傳授線性代數(shù)的知識和技能，還要幫助學(xué)生逐漸掌握具有“線性代數(shù)”特點的思想方法，如矩陣法、變換法、向量法等思想方法，了解影響代數(shù)學(xué)發(fā)展的全局性方法：公理化方法、結(jié)構(gòu)化方法和等價分類方法。

例如：矩陣是研究向量空間及其線性變換的主要工具，在教學(xué)中一方面要使學(xué)生學(xué)會把各種問題轉(zhuǎn)化成矩陣問題，另一方面要教會學(xué)生熟練掌握矩陣?yán)碚摵头椒ǎ貏e是矩陣的初等變換和矩陣的乘法。

再例如：數(shù)、多項式、矩陣、向量等具體的數(shù)學(xué)對象構(gòu)成的集合，關(guān)于各自加法和數(shù)乘都滿足的八條運算律，都構(gòu)成代數(shù)體系。把這種具有共同本質(zhì)的代數(shù)體系集中起來，抽掉它們的元素所表示的具體含義，抽象出統(tǒng)一的代數(shù)結(jié)構(gòu)，尋找它們的共同規(guī)律。于是用公理化方法，把八條運算律作為公理給出線性空間的定義。對于剛?cè)氪髮W(xué)的學(xué)生來說，線性空間是他們遇到的第一個用公理來定義的抽象概念，同時也是他們接觸到的第一個代數(shù)結(jié)構(gòu)。采用結(jié)構(gòu)化方法，依據(jù)線性空間的公理化定義來研究線性空間中元素之間的關(guān)系、線性空間和它的子空間的關(guān)系、線性空間的生成方法、線性空間的分類等問題。經(jīng)過研究我們發(fā)現(xiàn)，同一數(shù)域F上的線性空間可以有不同的代數(shù)結(jié)構(gòu)，這里的本質(zhì)是線性空間的維數(shù)。對于同一數(shù)域F上的線性空間而言，在同構(gòu)意義下維數(shù)相同的線性空間有相同的代數(shù)結(jié)構(gòu)，“同構(gòu)”是線性空間之間的一個等價關(guān)系，用這個關(guān)系可以按“維數(shù)相等”把線性空間進行分類。因此，在同構(gòu)的意義下數(shù)域F上的n維線性空間只有一個。

這種把具有共同本質(zhì)的代數(shù)體系集中起來，抽象出它們共同的代數(shù)結(jié)構(gòu)，統(tǒng)一用代數(shù)結(jié)構(gòu)的思想、方法、語言去研究和描述客觀世界的方法是代數(shù)學(xué)中常用的方法。另一方面，研究線性空間中筆者用了公理化方法、結(jié)構(gòu)化方法和等價分類方法，這種宏觀性的數(shù)學(xué)方法貫穿于代數(shù)學(xué)各分支的始終，在教學(xué)中要明確告訴學(xué)生。

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室．工科數(shù)學(xué)：線性代數(shù)[M]．5版．北京：高等教育出版社，2007．

[2]李尚志．線性代數(shù)教學(xué)改革漫談[J].教育與現(xiàn)代化，2004(1):30-33．

[3]褚小婧,程向陽.大學(xué)數(shù)學(xué)研究性教學(xué)的實質(zhì)及探索[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2011(1):16-20

[4]馬忠林.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論[M].南寧:廣西教育出版社,1997:16.

On Im proving Teaching Effectiveness of Linear Algebra Course

Chen Hong1，Huang Jin2
(1.2.Department of Physics and M athematics,W uzhou University,W uzhou 543002,China)

Linear Algebra course is one of the basic courses for science and engineeringmajors.Based on the author's own teaching experience and reflection,the paper discusses how to improve the teaching effectiveness of the linear algebra course in the aspects of themain thread of the course,concept teaching,skills development,ways of thinking,etc.

linear algebra;main thread of the course;concept;skills;ways of thinking

G642.4

A

1673-8535（2012）02-0087-06

陳紅（1962-），女，梧州學(xué)院副教授，碩士，研究方向：組合數(shù)學(xué)。

黃勁（1964-），男，梧州學(xué)院數(shù)理系講師，研究方向：概率論與數(shù)理統(tǒng)計。

（責(zé)任編輯：高 堅）

2012-02-12

新世紀(jì)廣西高等教育教學(xué)改革工程項目(2011JGB128)；梧州學(xué)院教育教學(xué)改革工程資助項目(WyjgB002，Wyjg2010A008)