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        在“數(shù)學(xué)分析”中滲透數(shù)學(xué)思想的教學(xué)意義
        ——化歸與轉(zhuǎn)化思想

        2012-08-29 07:03:36覃學(xué)文
        梧州學(xué)院學(xué)報 2012年2期
        關(guān)鍵詞:思想數(shù)學(xué)

        蘇 芳,覃學(xué)文

        (1.2.梧州學(xué)院 數(shù)理系,廣西 梧州 543002)

        在“數(shù)學(xué)分析”中滲透數(shù)學(xué)思想的教學(xué)意義
        ——化歸與轉(zhuǎn)化思想

        蘇 芳1,覃學(xué)文2

        (1.2.梧州學(xué)院 數(shù)理系,廣西 梧州 543002)

        基于數(shù)學(xué)思想的教學(xué)對素質(zhì)教育的重要意義,結(jié)合在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的經(jīng)驗,提出在數(shù)學(xué)分析的教學(xué)中滲透化歸思想的意義和具體的操作方法。

        數(shù)學(xué)思想;化歸思想;轉(zhuǎn)化思想

        從數(shù)學(xué)發(fā)展史來講,微積分的產(chǎn)生標(biāo)志著從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的飛躍,經(jīng)過歷代數(shù)學(xué)家們的努力,微積分發(fā)展成為今天具有廣泛應(yīng)用意義的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科——數(shù)學(xué)分析。數(shù)學(xué)分析理論的每一次發(fā)展,都是由數(shù)學(xué)思想的突破而引起的。可以說數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)分析的發(fā)展與完善中起著重要的作用。

        一、關(guān)于數(shù)學(xué)思想

        數(shù)學(xué)思想是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識之中,經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果。人類在對豐富的、具體的數(shù)學(xué)對象進行研究的過程中,形成了許多思維方式和數(shù)學(xué)方法,這些思維方式和數(shù)學(xué)方法經(jīng)過長期的積累而產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍,上升為數(shù)學(xué)思想。因此數(shù)學(xué)思想比數(shù)學(xué)知識更深刻、更本質(zhì),具有更高的概括水平?;镜臄?shù)學(xué)思想包括:符號化思想、公理化與結(jié)構(gòu)思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、轉(zhuǎn)化思想、整體思想、分類思想、類比思想、歸納思想等等。數(shù)學(xué)思想在某些具體數(shù)學(xué)問題中的體現(xiàn)就是數(shù)學(xué)方法,如換元法、待定系數(shù)法,以及方程中的消元法降階法等等,但任何一種數(shù)學(xué)方法都反映了一定的數(shù)學(xué)思想,如換元法實際上就是轉(zhuǎn)化思想的具體表現(xiàn)。

        二、化歸與轉(zhuǎn)化思想

        化歸與轉(zhuǎn)化思想,就是把未知的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為在已學(xué)知識內(nèi)可能解決的問題的一種思想,其特點就是實現(xiàn)化復(fù)雜為簡單的轉(zhuǎn)化、從不熟悉向熟悉的轉(zhuǎn)化。

        在經(jīng)過多年的“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)實踐中,筆者總結(jié)的經(jīng)驗是:化歸與轉(zhuǎn)化思想是形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的前提。

        三、化歸思想在數(shù)學(xué)分析教材中的作用

        化歸思想在數(shù)學(xué)分析中應(yīng)用十分廣泛,它通過數(shù)學(xué)分析的各種內(nèi)容以及不同的知識點表現(xiàn)出來。化歸思想在數(shù)學(xué)分析中起著如下兩種作用:

        (一)化歸與轉(zhuǎn)化思想對數(shù)學(xué)分析理論起著杠桿放大作用[1]

        未學(xué)的、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題,通過轉(zhuǎn)化,歸結(jié)為已學(xué)的或易解決的問題,這是化歸思想的功能。從另一角度來看,可以說化歸思想使舊的知識向新的知識邁進,使低一級知識向高一級知識縱深發(fā)展。例如連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、級數(shù)的收斂等定義都可以歸結(jié)為極限的概念,從某種意義上來看,極限的意義在化歸思想的杠桿放大作用下,向?qū)?shù)、連續(xù)、定積分、級數(shù)等領(lǐng)域發(fā)展,得到了更多新的理論。同樣的曲線積分、曲面積分、二重積分等計算方法都可轉(zhuǎn)化為定積分來計算。

        (二)化歸與轉(zhuǎn)化思想在不同的知識點之間起著橋梁的溝通作用

        對數(shù)學(xué)分析中的不同知識點,化歸思想可使知識交融,從一個領(lǐng)域向另一個領(lǐng)域轉(zhuǎn)化。例如,對一些常用的函數(shù),如指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及物理學(xué)中常用的某些超越函數(shù),當(dāng)求它們的近似值時,要把它們近似地表達成多項式的結(jié)構(gòu),通過計算多項式的值,就可以得到這些超越函數(shù)的近似值。而用多項式近似地表達一個給定函數(shù)的問題,就可以化歸為泰勒級數(shù)。此外,最大最小值問題,可化歸為函數(shù)的駐點問題;而函數(shù)的作圖,也要求學(xué)生具有一定的化歸思想。因為要研究函數(shù)圖像或者要描函數(shù)圖像,一定要掌握圖像的主要特征,而微分學(xué)可以幫助學(xué)生分析函數(shù)圖像的主要特征,其中最主要的特征有:①圖像的極值點,這可轉(zhuǎn)化為求f′(x)=0的點或?qū)?shù)不存在的點;②圖像的單調(diào)性,可轉(zhuǎn)化為一階導(dǎo)數(shù)大于0或小于0的點;③曲線的凹凸性與拐點,可化為f″(x)>0,f″(x)<0或f″(x)=0的問題。從上面的例子可看到化歸思想廣泛地蘊涵在數(shù)學(xué)分析教材之中。

        四、化歸思想對指導(dǎo)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的意義

        (一)化歸思想有效地幫助對數(shù)學(xué)分析理論的理解與知識遷移

        認(rèn)知心理學(xué)表明,學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者自己建構(gòu)的。在認(rèn)知過程中,學(xué)生將概念、公式、定理等知識經(jīng)“同化”或“順應(yīng)”作用,納入自己已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。這個過程,離不開化歸與轉(zhuǎn)化思想的參與。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是一個認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成過程,即新的學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)相互作用,形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。新舊知識互相作用的基本形式是同化與順應(yīng)。所謂同化,就是利用原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)對新知識進行加工處理,經(jīng)加工改造的新知識被納入原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中;所謂順應(yīng),是在原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不能使知識進行同化時,調(diào)整原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)使之適應(yīng)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)過程叫順應(yīng)。

        在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)中,化歸思想是同化或順應(yīng)過程的催化劑。以微分中值定理的學(xué)習(xí)為例。羅爾定理為:“如果函數(shù)f(x)滿足下列條件①在閉區(qū)間[a,b]連續(xù);②在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);③f(a)=f(b),則在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點 ξ,使得 f(ξ)=0”[2]108,其幾何意義是:滿足定理三個條件的曲線f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點 (ξ,f(ξ)),使曲線過點ξ的切線平等于x軸。學(xué)生在學(xué)習(xí)了羅爾定理以后,再學(xué)習(xí)拉格朗日中值定理“如果函數(shù)滿足下列條件①在閉區(qū)間[a,b]連續(xù);②在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ,使得[3]109。其幾何意義是:滿足定理條件的曲線f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ,使曲線過點(ξ,f(ξ))的切線平行于兩端點的弦AB。顯然,拉格朗日中值定理不能納入羅爾定理,即不能同化,經(jīng)分析:兩個定理從形式和結(jié)構(gòu)來看有相同之處,其差異是:羅爾定理比拉格朗日中值定理多一個條件f(a)=f(b),同時從幾何條件來看,羅爾定理是過點(ξ,f(ξ))的切線平等于x軸,而拉格朗日中值定理是過點(ξ,f(ξ))的切線平行于兩端點的弦AB。在轉(zhuǎn)化思想指導(dǎo)下,以消除差異為目標(biāo),在原認(rèn)識結(jié)構(gòu)上對羅爾定理的條件及結(jié)論的表征進行改造而從幾何意義來看,過點(ξ,f(ξ))的切線平等于x軸就是平行于兩端點的弦,從而認(rèn)識到羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情況,這基本上表現(xiàn)為順應(yīng)過程。當(dāng)再學(xué)習(xí)柯西中值定理時,研究分析發(fā)現(xiàn)柯西中值定理與拉格朗日中值定理形式相似,但已知條件的表征上有差異。為了消除差異,在轉(zhuǎn)化思想的指導(dǎo)下,把拉格朗日中值定理中,曲線AB的方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程y=f(x)表示,則直線AB的斜率為,曲線過點C的切線為,在t=ξ的值,這種新的表征與柯西定理中的表述一致,所以它是柯西定理的特殊情況。

        在學(xué)習(xí)過程中,無論是對學(xué)習(xí)者頭腦中原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進行調(diào)整,還是對新知識進行加工改造,都是在轉(zhuǎn)化思想指導(dǎo)下進行的,可見轉(zhuǎn)化思想有利于學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的組織化水平的提高。

        (二)化歸思想為學(xué)生提供思維策略

        作為一種數(shù)學(xué)思想方法,化歸思想在解題中可為學(xué)生提供化難為易、化繁為簡的思維策略,使學(xué)生學(xué)得更深刻更靈活。一般步驟是根據(jù)題目提供的信息,分析轉(zhuǎn)化目標(biāo),然后利用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識和技能去探索轉(zhuǎn)化方向,從而到達化歸目標(biāo)。

        例如,牛頓—萊布尼茲公式、格林公式、奧斯特洛格拉德斯基公式,是同一類關(guān)系在不同維的空間的表現(xiàn)形式。牛頓—萊布尼茲公式把一個區(qū)間上的定積分同這個區(qū)間端點的原函數(shù)值聯(lián)系起來,格林公式把一個平面區(qū)域上的二重積分和沿該區(qū)域邊界的第二型曲線積分聯(lián)系起來,奧氏公式把一個空間區(qū)域上的三重積分和沿該區(qū)域邊界的第二型曲面積分聯(lián)系起來,因此上述公式是解決某些定積分計算問題時實施轉(zhuǎn)化的有效途徑。例:計算,S是四面體O-ABC所成的曲面(如圖4),且設(shè)積分是沿曲面的外側(cè)而取的。

        但利用奧氏公式,改變積分路線,使這難求的第二型曲面積分轉(zhuǎn)化為一個空間區(qū)域上的三重積分,從而化難為易,使計算簡捷得多。

        五、小結(jié)

        經(jīng)驗證明,學(xué)生一旦掌握了數(shù)學(xué)思想,便是一個具有“數(shù)學(xué)頭腦”的人,即使在以后的學(xué)習(xí)和生活中忘記了概念、定理、公式等具體的數(shù)學(xué)知識,但他們運用數(shù)學(xué)思想方法思考問題的能力永遠(yuǎn)存在,他們在分析問題、解決問題的各個環(huán)節(jié)中都打上鮮明的“數(shù)學(xué)烙印”,達到素質(zhì)人才的最高境界。

        [1]張偉平.從基本不等式中談中學(xué)生對等價思想的理解[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2009(2).

        [2]劉書田.微積分[M].北京:高等教育出版社,2004.

        G642.4

        A

        1673-8535(2012)02-0101-04

        蘇芳(1977-),女,廣西藤縣人,梧州學(xué)院數(shù)理系講師,研究生,研究方向:函數(shù)論和微分方程。

        覃學(xué)文(1975-),女,廣西橫縣人,梧州學(xué)院數(shù)理系講師,研究生,研究方向:函數(shù)論和微分方程。

        (責(zé)任編輯:高 堅)

        2012-02-24

        新世紀(jì)教改工程2010年項目(2010JGA078)

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