徐文海

【摘要】反比例函數(shù)是初中函數(shù)部分的重要教學(xué)內(nèi)容，函數(shù)題目里有一種專門的題型就是有關(guān)面積問題的：有已知，求面積；有面積，求未知；探索型面積問題等。這種題型難度相對(duì)較大，需要綜合運(yùn)用知識(shí)，所以在課堂教學(xué)中，教師要注重方法的傳授，提高學(xué)生解答有關(guān)面積問題題目的能力。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；反比例函數(shù)；面積

根據(jù)反比例函數(shù)的定義我們知道，如果兩個(gè)變量間的關(guān)系可以表示成y=kx（k為常數(shù)，k≠0）的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù)，它的圖像是雙曲線，可以稱為“雙曲線y=kx”。當(dāng)k>0時(shí)，它的兩個(gè)分支分別在第一象限和第三象限內(nèi)無限伸展；在每一象限內(nèi)，y隨x值的增大而減小。當(dāng)k<0時(shí)，它的兩個(gè)分支分別在第二象限和第四象限內(nèi)無限伸展；在每一象限內(nèi)，y隨x值的增大而增大。近年來，為了提高中學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，反比例函數(shù)題目里往往加入有關(guān)面積問題的求解，這部分題型難度較大，筆者總結(jié)分析了這類題型的特點(diǎn)和出題規(guī)律，試將這類題目的解答方法介紹如下。

一、有已知，求面積

這一類題型就是給出已知的條件，或點(diǎn)的坐標(biāo)，或函數(shù)解析式等，然后根據(jù)題意求三角形或其他形狀的圖形面積。

例1 如圖，Rt△ABO的頂點(diǎn)A是雙曲線y=kx與直線y=-x+(k+1)在第四象限的交點(diǎn)，AB⊥x軸于B，且S△ABO=32。

（1）求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；

（2）求直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)A，C的坐標(biāo)和△AOC的面積。

分析 （1）要求函數(shù)的解析式關(guān)鍵是求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，于是設(shè)A（x,y），然后將線段OB,AB的長度表示出來，根據(jù)S△ABO=12×OB×AB=32，可以求出k=-3，從而得到反比例函數(shù)的解析式為y=-3x,一次函數(shù)的解析式為y=-x-2。

（2）求交點(diǎn)的坐標(biāo)就是聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)式y(tǒng)=-3x，y=-x-2，將其組成方程組，再解出方程組的解x1=-3,y1=1;x2=1,y2=-3，得到交點(diǎn)的坐標(biāo)A(1,-3),C(-3,1)。而△AOC的面積一般不能夠直接求出，而是轉(zhuǎn)化為有一邊在坐標(biāo)軸上的三角形的面積的和或差。設(shè)直線AC與y軸交于點(diǎn)D，則D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2)，所以O(shè)D=2，于是△AOD和△DOC的面積之和就是△AOC的面積，S△AOC=S△AOD+S△DOC=12×2×1+12×2×3=4。

一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像中的面積問題一般轉(zhuǎn)化為三角形的面積來求，而且這樣的三角形通常至少有一邊在坐標(biāo)軸上，三角形的高就是另一點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的絕對(duì)值。

二、有面積，求未知

這一類題型往往給出一個(gè)三角形的面積，而要求某個(gè)數(shù)的值，比如求k值或者解析式的值。學(xué)生可先用帶有某個(gè)未知數(shù)的式子表示三角形的面積，通過面積求出未知數(shù)，從而使問題得以解決。

例2 如圖，已知一次函數(shù)y=-x+8和反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖像在第一象限內(nèi)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)A，B。

（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）若△AOB的面積S=24，求k的值。

分析 （1）因?yàn)椋?，B兩點(diǎn)是一次函數(shù)y=-x+8和反比例函數(shù)y=kx的交點(diǎn)，所以可以把這兩個(gè)解析式結(jié)合起來組成方程組，消去y，得x2-8x+k=0，又Δ=64-4k＞0，k＜16。設(shè)兩個(gè)公共交點(diǎn)的坐標(biāo)A（x1,y1），B（x2,y2），又x1＞0，x2＞0，所以，x1+x2=8＞0，x1x2=k＞0（或者從圖像可知k＞0），所以，0＜k＜16。

（2）在y=-x+8中，令x=0，得y=8，所以可以得出ＯＣ＝８，S△AOＢ=S△ＣOＢ-S△ＣOＡ=12OC?x2-12OC?x1=24，又x2-8x+k=0，用k代替里面的x1與x2等值，可以求出k=7。

這道題需要先把兩個(gè)解析式組成方程組，得出一個(gè)二元一次方程，利用兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定k的取值范圍。在第二問中已知△AOB的面積S=24，而△AOB可以轉(zhuǎn)化成兩個(gè)小三角形來表示，這樣就順利地把面積與函數(shù)聯(lián)系起來，從而輕松地求出k的值。

三、關(guān)于探索型面積問題

所謂探索型面積問題是指有些題目中的已知量并不是常量，往往是一個(gè)動(dòng)態(tài)變化的過程，或分成幾種情況討論，或其值為一個(gè)固定常數(shù)等。

總之，初中反比例函數(shù)有關(guān)面積問題的題目無外乎以上三種類型，當(dāng)然在具體的試題當(dāng)中也有許多變形和衍化，這就需要學(xué)生靈活運(yùn)用，融會(huì)貫通，通過勤練習(xí)，一定能夠掌握解答這類題型的方法和技巧。

【參考文獻(xiàn)】

［1］肖建祥。淺談反比例函數(shù)圖像中的面積問題。讀與寫（教育教學(xué)刊），2009(3)。

［2］王濤。與反比例函數(shù)有關(guān)的面積問題解析。資治文摘(管理版)，2009(7)。