姚善志

思維的嚴(yán)謹(jǐn)性是數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一.試想如果沒(méi)有嚴(yán)謹(jǐn)性，我國(guó)的“天宮”一號(hào)能成功飛天嗎？它的成功飛天要經(jīng)歷成千上萬(wàn)道程序，若某一道程序出了一點(diǎn)點(diǎn)問(wèn)題，那后果是可想而知的。而江蘇教育出版社出版的《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)選修2-1數(shù)學(xué)》第98頁(yè)例4的解法卻有失嚴(yán)謹(jǐn).

例4：已知E、F分別是正方體ABCD-ABCD的棱BC和CD的中點(diǎn)，求（1）AD與EF所成角的大??；（2）AF與平面BEB所成角的大?。唬?）二面角C-DB-B的大小.

只看第三問(wèn)的解答：平面BDC法向量=（-1，1，1），平面BDC的法向量=（-1，1，0），所以cos＜||，||＞==，由此可得向量與的夾角約為35.26°.根據(jù)圖形可知二面角的平面角與這個(gè)夾角相等或互補(bǔ)，所以二面角C-DB-B約為35.26°.

從上面的解題過(guò)程我們可以歸納出求二面角大小的解題步驟是：（1）分別求出兩個(gè)半平面的法向量；（2）求出兩個(gè)法向量的夾角；（3）根據(jù)圖形判斷所求的二面角的類(lèi)別，是銳角還是鈍角，再根據(jù)判斷寫(xiě)出結(jié)果.根據(jù)圖形判斷出所要求的二面角是銳角，還是鈍角，只是意會(huì)層面的，使學(xué)生難以把握.右圖所示的四面體ABCD中AB=BC=CA=2，BD=1，CD=.通過(guò)計(jì)算不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)AD=時(shí)，二面角A-BC-D是90°.那么當(dāng)AD=2.2或AD=2.4時(shí)二面角A-BC-D大小接近90°.你能通過(guò)肉眼判斷出二面角A-BC-D是銳角還是鈍角？

我認(rèn)為下面的做法是改進(jìn)后的好方法：先來(lái)分析理論基礎(chǔ)：要求二面角A-BC-D的大小，分別過(guò)點(diǎn)A、D作棱BC所在直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為E、F（即AE⊥BC，DF⊥BC），在面BCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)E作直線(xiàn)EG∥DF，交直線(xiàn)BD于G，則：AE⊥BC且EG⊥BC，AEC面ABC，EGC面BCD，則∠AEG就是二面角A-BC-D的平面角.而∠AEG的大小就是與的夾角（注意向量的終點(diǎn)為垂足）.用這種方法解題就避免了“根據(jù)圖形可知”的困惑了.現(xiàn)在讓我來(lái)用這種方法解上述例4題的第3問(wèn)：建立圖示坐標(biāo)系，棱長(zhǎng)為1，過(guò)C、B分另作直線(xiàn)BD的垂線(xiàn)，垂足為G、H，則二面角C-BD-B的大小即為與的夾角.B（1，1，0），B（1，1，1），C（0，1，0），B（0，0，1）?圯=（1，0，1），=（-1，-1，0），設(shè)=λ+（1-λ），?=0得λ=推得=（，-，1）.同理設(shè)=μ+（1-μ）得=（0，0，1）.故cos＜，＞=.此處雖然作了垂足，卻設(shè)而不求.

再舉一例，以示方法的正確性（由2010年高考天津卷改編）：如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-ABCD中，E、F分別是棱BC、CC上的點(diǎn)，CF=AB=2?CE，AB∶AD∶AA=1∶2∶4，求二面角A-ED-F的余弦值（原題是求正弦值）.

分析：不妨設(shè)AB=1，則AD=2，AA=4，CF=1，CE=，分別過(guò)A、F作棱二面角A-ED-F的棱ED所在直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為G、H.A（0，0，4），E（1，，0），D（0，2，0），F(xiàn)（1，2，1）?圯=（1，，-4），=（-1，，0），=（0，2，-4），設(shè)=λ+（1-λ），由?=0得λ=，=（，，-4），同理設(shè)=μ?+（1-μ），由?=0得μ=?圯=（-，-，-1）∴cos＜，||＞==÷（4×）=.

這種新方法的最大好處是：不用判斷原二面角的類(lèi)型（是銳角還是鈍角），在新方法中只要知道二面角大小為兩個(gè)垂向量（指向垂足的兩個(gè)向量）夾角即可，且計(jì)算量較小.