王春樣

抽象函數(shù)是指沒有給出具體表達式，規(guī)定了若干邏輯規(guī)則的函數(shù)。近幾年，全國各地高考中幾乎都設置了有關抽象函數(shù)的試題，主要考查抽象函數(shù)思維能力、分析問題能力及創(chuàng)新能力。抽象函數(shù)是高中數(shù)學函數(shù)部分的難點，因為抽象函數(shù)無具體解析式，所以研究起來往往困難重重。本文就抽象函數(shù)的解題技巧作了如下歸納。

一、賦值法

賦值法是處理抽象函數(shù)問題最基本的技巧。賦值規(guī)律一般可以從以下方面考慮：（1）令x=…，-3，-2，-1，0，1，2，3…等特殊值求抽象函數(shù)的函數(shù)值；（2）令x=x1，y=x1或y=，且x1

例1 定義在R上的函數(shù)y=f（x），f（0）≠0，當x>0時，f（x）>1，且對任意的a，b∈R，有f（a+b）=f（a）?f（b）。證明：（1）f（0）=1；（2）對任意x∈R，恒有f（x）>0；（3）f（x）是R上的增函數(shù)。

證明：（1）令a=b=0，則f（0）=f2（0），又f≠0，∴f（0）=1。

（2）當x<0時，-x>0，∴f（0）=f（x）?f（-x），∴f（-x）=>0。

又x?莛0時，f（x）?莛1>0，所以x∈R時恒有f（x）>0。

（3）設x10，

∴f（x2）=f（x2-x1+x1）=f（x2-x1）?f（x1）。

∵x2-x1>0，f（x2-x1）>1，

又f（x1）>0，f（x2-x1）?f（x1）>f（x1）。

∴f（x2）>f（x1），所以f（x）是R上的增函數(shù)。

二、轉化為具體函數(shù)

抽象函數(shù)的問題要充分利用函數(shù)的性質，想辦法去掉函數(shù)符號“f”，使抽象函數(shù)轉化為具體函數(shù)，然后求解。

例2 f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，且f（）=f（x）-f（y）。

（1）求f（1）的值；（2）若f（6）=1，解不等式f（x+3）-f（）<2。

解：（1）令x=y，得f（1）=0。

（2）由x+3>0及>0，得x>0。

由f（6）=1及f（x+3）-f（）<2，得f[x（x+3）]<2f（6），即f[x（x+3）]-f（6）

因為f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，所以<6，解得

綜上所述，不等式的解集是x｜0＜x<。

三、區(qū)間轉換

運用奇、偶函數(shù)的性質及其與單調性的關系進行區(qū)間轉換是解決抽象函數(shù)問題的一種有效手段。奇函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有相同的單調性，偶函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有相反的單調性。

例3 已知f（x）是偶函數(shù)，而且在（0，+∞）上是減函數(shù)，判斷在f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并加以證明。

解：f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，證明如下：設x1

f（x）是偶函數(shù)，所以f（-x1）=f（x1），f（-x2）=f（x2） ①

由設可知-x1>-x2>0，又f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，于是有

f（-x1）

把①代入②得f（x1）

由此可得在（-∞，0）上是增函數(shù)。

四、數(shù)形結合

有此抽象函數(shù)的問題用常規(guī)方法解難于奏效，但若把抽象問題圖形化，利用對稱性，數(shù)形結合，則可使問題迎刃而解。

例4 定義在R上的奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，又

f（-2）=0，則不等式的解集為（）。

A.（-2，0）∪（0，2）B.（-∞，-2）∪（2，+∞）

C.（-∞，-2）∪（2，+∞）D.（-2，0）∪（2，+∞）

解：因為定義在R上的奇函數(shù)，所以f（0）=0，且f（x）關于原點對稱。

根據題設條件作出函數(shù)在R上的大致圖像（如圖）。

由xf（x）<0，知x與f（x）異號。

由圖可知，解集為（-2，0）∪（0，2）。

故選A。

五、正難則反

當面臨的數(shù)學問題從下面入手求解難度較大時，可以考慮從反面入手解決。

例5 已知函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，a，b∈R，若f（a）+f（b）?蕎f（-a)+f（-b）。求證：a+b?蕎0。

證明：欲證上述命題，正向推理題設條件不容易使用，轉而逆向思考，利用反證法。

假設a+b>0，則a>-b，b>-a。

根據單調性可知f（a）>f（-b），f（b）>f（-a），f（a）+f（b）>f（-a)+

f（-b），這與已知矛盾。

所以a+b>0不成立，即a+b?蕎0。

函數(shù)的特征是通過函數(shù)的性質（如奇偶性、單調性、周期性、對稱性等）反映出來的，抽象函數(shù)也不例外。因此，只有充分利用題設條件所表明（或隱含）的函數(shù)性質，靈活、綜合運用上述解技巧，抽象函數(shù)問題才能峰回路轉，柳暗花明。

（龍川縣麻布崗中學）