南京師范大學(xué)地理科學(xué)學(xué)院（210023） 俞肇元 柯文前 王 晗

東北師范大學(xué)城市與環(huán)境科學(xué)學(xué)院（130024） 陳 偉

地理教學(xué)中的數(shù)學(xué)推理與動(dòng)態(tài)模擬應(yīng)用
——以中心地理論為例

南京師范大學(xué)地理科學(xué)學(xué)院（210023） 俞肇元 柯文前 王 晗

東北師范大學(xué)城市與環(huán)境科學(xué)學(xué)院（130024） 陳 偉

克里斯塔勒以德國(guó)南部城鎮(zhèn)聚落分布為例建立的中心地理論，采用數(shù)學(xué)推理與動(dòng)態(tài)模擬的方法揭示出的抽象思維與邏輯思維，是進(jìn)行素質(zhì)教育與提升學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)的理想素材。本文通過(guò)從中心地空間結(jié)構(gòu)的形狀，中心地體系結(jié)構(gòu)的推理過(guò)程與中心地理論地位判別三個(gè)方面以直觀的方式再現(xiàn)中心地等級(jí)體系空間結(jié)構(gòu)的演化生成過(guò)程，對(duì)于地理課堂上有效提升學(xué)生的抽象思維與邏輯推理能力、培養(yǎng)學(xué)生綜合素質(zhì)提供了基于數(shù)學(xué)推理和動(dòng)態(tài)模擬的一種實(shí)現(xiàn)途徑。

地理教學(xué)；中心地理論；數(shù)學(xué)推理；動(dòng)態(tài)模擬

一、引言

克里斯塔勒提出的中心地理論是人文地理學(xué)的理論基石，其通過(guò)精辟的數(shù)學(xué)抽象、嚴(yán)密的邏輯推理給出了在市場(chǎng)、交通和行政原則驅(qū)動(dòng)下中心地等級(jí)體系的形成、體系結(jié)構(gòu)及分布規(guī)律，為現(xiàn)代地理學(xué)的發(fā)展，尤其是城市地理學(xué)和經(jīng)濟(jì)地理學(xué)的發(fā)展提供了可擴(kuò)展的結(jié)構(gòu)性框架。中心地理論很好的體現(xiàn)了地理學(xué)研究中抽象性與實(shí)用性、科學(xué)性與藝術(shù)性、宏觀性與多尺度特性的統(tǒng)一，是進(jìn)行素質(zhì)教育的理想素材，也是提升學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)，加強(qiáng)學(xué)生邏輯思維與獨(dú)立解決問(wèn)題能力的經(jīng)典案例。

中心地理論的提出建立在精密的數(shù)學(xué)抽象和嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)的基礎(chǔ)之上，這與大多數(shù)傳統(tǒng)的人文地理學(xué)理論多通過(guò)歸納、總結(jié)的方式獲得存在明顯的不同。這種數(shù)學(xué)推理與動(dòng)態(tài)模擬方法的應(yīng)用實(shí)際是演繹的邏輯思維方式，具有嚴(yán)謹(jǐn)有序的特征。如何在短暫的課堂教學(xué)中對(duì)中心地理論和核心內(nèi)容進(jìn)行清晰、準(zhǔn)確的梳理，并通過(guò)深入淺出的、直觀性的案例揭示出該理論體系建立過(guò)程中的精辟之處，讓學(xué)生可以感受到該理論在科學(xué)性和藝術(shù)性上的完美統(tǒng)一，是實(shí)現(xiàn)該課程內(nèi)容教學(xué)的重要目標(biāo)。本文結(jié)合作者對(duì)該理論的主要研究工作和教學(xué)實(shí)踐，嘗試在教學(xué)過(guò)程中引入數(shù)學(xué)推理和動(dòng)態(tài)模擬的方法，直觀再現(xiàn)中心地理論的主要結(jié)論構(gòu)建與形成過(guò)程。從而加深學(xué)生對(duì)相關(guān)內(nèi)容的理解，強(qiáng)化學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并有效提升學(xué)生的抽象思維與邏輯推理能力。

二、教學(xué)要點(diǎn)與難點(diǎn)

克里斯塔勒（以下簡(jiǎn)稱克氏）提出的中心地理論以近乎完美的正三角形中心地分布、正六邊形市場(chǎng)區(qū)相互嵌套構(gòu)成的中心地等級(jí)體系是現(xiàn)代人文地理學(xué)的理論基石，其主要思想是根據(jù)市場(chǎng)原則、交通原則或行政原則，中心地服務(wù)范圍由圓形逐漸向正六邊形演化，并最終形成符合仿生學(xué)原理的蜂窩狀構(gòu)造的空間結(jié)構(gòu)（圖1）。目前地理教學(xué)對(duì)于中心地理論概念介紹居多。不同層次中心地形成的最終結(jié)構(gòu)以及不同原則對(duì)中心地體系結(jié)構(gòu)形成的驅(qū)動(dòng)和影響是教學(xué)的難點(diǎn)所在，也是培養(yǎng)地理學(xué)思維和邏輯思維的關(guān)鍵。在教學(xué)過(guò)程中，需要對(duì)如下教學(xué)難點(diǎn)進(jìn)行分解突破：（1）中心地服務(wù)范圍演化的最終空間結(jié)構(gòu)為什么是正六邊形結(jié)構(gòu)？（2）不同原則驅(qū)動(dòng)下的中心地結(jié)構(gòu)為什么存在不同，不同的原則驅(qū)動(dòng)對(duì)最終的中心地結(jié)構(gòu)的影響是怎樣的？（3）為什么中心地理論是人文地理學(xué)的理論基石？

圖1 蜂窩狀的正六邊形中心地等級(jí)體系

三、教學(xué)過(guò)程對(duì)于中心地理論的宏觀把握

1. 對(duì)中心地空間結(jié)構(gòu)形狀的教學(xué)

中心地空間結(jié)構(gòu)教學(xué)的入口點(diǎn)是不同等級(jí)中心地服務(wù)范圍的確定。在教學(xué)過(guò)程中，我們通過(guò)案例引入，同時(shí)結(jié)合課堂提問(wèn)的方式，讓學(xué)生在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上理解中心地正六邊形空間結(jié)構(gòu)的由來(lái)。首先通過(guò)引入自然界中蜂巢、雪花形狀與龜背圖案的案例，向?qū)W生充分展示六邊形的特點(diǎn)；另外，通過(guò)圓形、正三角形、正方形與正六邊形的對(duì)比，理解正六邊形的優(yōu)勢(shì)所在。然后在學(xué)生有一定感性認(rèn)識(shí)后，從幾何學(xué)角度出發(fā)，講解正六邊形是除了正三角形、正方形外，其頂點(diǎn)到幾何中心等距的多邊形中，能夠完整（無(wú)重疊）覆蓋某一區(qū)域，且相比于其他所有多邊形，具有面積最大，周長(zhǎng)最小的優(yōu)勢(shì)。

同樣從幾何學(xué)視角出發(fā)，對(duì)不同等級(jí)的城市進(jìn)行抽象成點(diǎn)后，引入服務(wù)區(qū)范圍的問(wèn)題。通過(guò)課堂教學(xué)提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生思考中心地理論空間結(jié)構(gòu)的核心是每一個(gè)城市服務(wù)區(qū)范圍動(dòng)態(tài)競(jìng)爭(zhēng)進(jìn)而達(dá)到穩(wěn)定平衡態(tài)的問(wèn)題，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在給定的地點(diǎn)上如何最優(yōu)化地對(duì)空間進(jìn)行剖分是中心地理論的核心?？臻g上不同的點(diǎn)在利益最大化原則基礎(chǔ)上，不考慮與鄰近點(diǎn)的相互作用關(guān)系，將各自形成圓形的服務(wù)區(qū)范圍，然而在考慮要素流動(dòng)的空間相互作用情況下，圓形服務(wù)區(qū)勢(shì)必產(chǎn)生相互影響與空間疊加，從而不同中心地服務(wù)范圍在空間布局上產(chǎn)生不優(yōu)化的現(xiàn)象。在系統(tǒng)自組織性的條件下，根據(jù)威爾遜最大熵原理，為了使全局與個(gè)體達(dá)到效益最大化，尋求由圓形服務(wù)區(qū)向最優(yōu)化的空間結(jié)構(gòu)模式演變成為動(dòng)態(tài)競(jìng)爭(zhēng)結(jié)果的必然，而正六邊形結(jié)構(gòu)不僅在空間上具有完好的無(wú)縫彌合性，同時(shí)又是一種高效的空間配置模式，因此成為中心地體系空間結(jié)構(gòu)演化的最終選擇[1]。

2. 對(duì)中心地體系結(jié)構(gòu)推理過(guò)程的教學(xué)

根據(jù)不同邊界條件與優(yōu)化函數(shù)的設(shè)定，引入影響中心地結(jié)構(gòu)的市場(chǎng)原則、交通原則與行政原則。在教學(xué)過(guò)程中可通過(guò)對(duì)不同原則形成的不同類型的六邊形結(jié)構(gòu)進(jìn)行可視化，讓學(xué)生對(duì)不同原則下的空間結(jié)構(gòu)有直觀的感性認(rèn)識(shí)。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)引入空間模擬的方法，在不同原則的作用下，由于優(yōu)化方向與目標(biāo)不同，使得中心地空間結(jié)構(gòu)演化路徑不同，從而導(dǎo)致空間優(yōu)化下的布局位置、形式也發(fā)生相應(yīng)的改變。如圖2所示，將通過(guò)展示不同原則下中心地等級(jí)的演化過(guò)程，讓學(xué)生理解不同路徑下的六邊形分布特征及對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)體系的影響。

圖2 基于三原則下中心地等級(jí)體系演化（1-4級(jí)）

如上圖（2-1），在K=3市場(chǎng)原則主導(dǎo)下，中心地最優(yōu)化的空間布局為：次一級(jí)中心地分布于高一級(jí)中心地所組成的正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)上；在市場(chǎng)區(qū)域最優(yōu)分配下，市場(chǎng)區(qū)的空間分布為：原有同一級(jí)中心地的服務(wù)區(qū)將由圓形逐步向六邊形過(guò)渡，并最終使每個(gè)中心地成為比自己高一級(jí)中心地所組成的六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，高一級(jí)中心地市場(chǎng)區(qū)域內(nèi)包含著3個(gè)次一級(jí)中心地市場(chǎng)區(qū)域的多級(jí)六邊形空間模型，從而使得中心地系統(tǒng)達(dá)到空間均衡，且從區(qū)域內(nèi)次級(jí)中心地開始，中心地的數(shù)量關(guān)系為：低級(jí)中心地為高一級(jí)中心地?cái)?shù)量的3倍（1-2-6-18-54……）。

如上圖（2-2），在市場(chǎng)原則基礎(chǔ)上，疊加交通原則，在K=4交通原則主導(dǎo)下，中心地最優(yōu)化的空間布局為：次一級(jí)中心地分布于正六邊形邊的中點(diǎn)，即如果同一級(jí)的中心地間鋪設(shè)一條交通線，則在這條交通線上將布局比它等級(jí)低的所有中心地，也就是說(shuō)次一級(jí)中心地將布局在高一級(jí)中心地之間的交通線上，而非六邊形頂點(diǎn)上；交通原則下的市場(chǎng)區(qū)分布為：高一級(jí)中心地在自己的市場(chǎng)區(qū)域內(nèi)包含3個(gè)次一級(jí)中心地的六邊形空間模型，且從區(qū)域內(nèi)次級(jí)中心地開始，其中心地的數(shù)量關(guān)系為：低級(jí)中心地為高一級(jí)中心地?cái)?shù)量的4倍（1-3-12-48-192……）。

如上圖（2-3），不同于市場(chǎng)原則與交通原則的經(jīng)濟(jì)性原則的理性權(quán)威，K=7的行政原則具有國(guó)家的、至高無(wú)上的權(quán)力的權(quán)威性[2]。該原則下的中心地強(qiáng)調(diào)低級(jí)中心地應(yīng)全部從屬于一個(gè)高級(jí)中心地，即中心地的分布為：最優(yōu)化的空間布局為次一級(jí)中心地全部位于正六邊形的區(qū)域內(nèi)；市場(chǎng)區(qū)的空間分布為：這樣形成的中心地系統(tǒng)將使得高一級(jí)中心地的市場(chǎng)區(qū)域大致包含7個(gè)次一級(jí)中心地的市場(chǎng)區(qū)，進(jìn)而形成高一級(jí)中心地的市場(chǎng)區(qū)域內(nèi)同時(shí)擁有6個(gè)次一級(jí)中心地的六邊形空間模型，且從區(qū)域內(nèi)次級(jí)中心地開始，中心地的數(shù)量關(guān)系為：低級(jí)中心地為高一級(jí)中心地?cái)?shù)量的7倍（1-6-42-294-2058……）。

3. 對(duì)中心地理論地位判別的教學(xué)

通過(guò)引入數(shù)學(xué)推理與動(dòng)態(tài)模擬的方法，本文基本完成了中心地等級(jí)體系建構(gòu)過(guò)程的再現(xiàn)，讓學(xué)生在認(rèn)知基礎(chǔ)上把握了該理論的重點(diǎn)，并從中學(xué)習(xí)到了演繹邏輯思維方式對(duì)于地理學(xué)研究的重要性。但教學(xué)進(jìn)行到這一步并沒(méi)有全部完成，因?yàn)閷?duì)于一個(gè)較為完善且重要的理論而言，抽象思維的鍛煉、綜合概括與總結(jié)能力對(duì)于學(xué)生能否完全吸收、消化才是至關(guān)重要的。因此，讓學(xué)生明白中心地理論在人文地理學(xué)中所占的地位是必不可少的步驟，即為何中心地理論可以成為人文地理學(xué)的理論基石[3]。

首先，通過(guò)分解中心地理論分析過(guò)程的特點(diǎn)，讓學(xué)生逐漸明白中心地理論是對(duì)不同類型空間結(jié)構(gòu)理論的全面概括。遵循“現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)-理論提煉-實(shí)踐檢驗(yàn)”的思路，克氏將通過(guò)眾多假設(shè)構(gòu)建不同原則的中心地體系，通過(guò)德國(guó)南部的城鎮(zhèn)進(jìn)行實(shí)踐檢驗(yàn)，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行模型的修正，從而使其由靜態(tài)分析向動(dòng)態(tài)演化模擬，首次將非生產(chǎn)性服務(wù)業(yè)納入人類經(jīng)濟(jì)地理活動(dòng)的理論分析框架，進(jìn)而構(gòu)建了中心地理論。該理論充分吸收了杜能農(nóng)業(yè)區(qū)位論、韋伯工業(yè)區(qū)位論關(guān)于生產(chǎn)環(huán)節(jié)中區(qū)位論對(duì)不同城鎮(zhèn)節(jié)點(diǎn)、工業(yè)節(jié)點(diǎn)空間布局的優(yōu)點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上將商業(yè)地理中關(guān)于商品與服務(wù)的非生產(chǎn)性環(huán)節(jié)引入空間布局?？梢哉f(shuō)，他所構(gòu)建的中心地等級(jí)體系的理論是對(duì)不同類型的空間結(jié)構(gòu)理論的全面概括，具有綜合性特征。

其次，教學(xué)過(guò)程中讓學(xué)生明白嚴(yán)密的抽象思維與邏輯思維對(duì)于升華理論并經(jīng)得起檢驗(yàn)的重要性。克氏在分析過(guò)程中通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)構(gòu)建理論模型的方法論影響著一代又一代的地理學(xué)者，他也因此被稱為“理論地理學(xué)之父”。實(shí)際上，這是一種數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理整合運(yùn)用的演繹方式，通過(guò)將不同等級(jí)的城鎮(zhèn)節(jié)點(diǎn)抽象成點(diǎn)要素，將空間聯(lián)系的交通線抽象為線要素，在不同影響條件下運(yùn)用數(shù)學(xué)推理方式對(duì)基于三原則的中心地等級(jí)體系進(jìn)行由靜態(tài)向動(dòng)態(tài)的演化過(guò)程分析，從而將中心地服務(wù)區(qū)由圓形向正六邊形的生成過(guò)程模擬出來(lái)并衍生出不同類型的中心地結(jié)構(gòu)，使得中心地等級(jí)體系以其嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)與完美的數(shù)學(xué)圖形被公認(rèn)為人文地理學(xué)尤其是城市地理學(xué)的理論基礎(chǔ)。

四、結(jié)語(yǔ)

由克里斯塔勒1933年完成的中心地理論引發(fā)對(duì)于教學(xué)的思考，可以說(shuō)收獲是巨大的。一方面，本文通過(guò)數(shù)學(xué)推理與動(dòng)態(tài)模擬思維方式再現(xiàn)了中心地空間結(jié)構(gòu)體系的生成演化過(guò)程，讓學(xué)生對(duì)于該理論有更直觀的感性認(rèn)識(shí)；另一方面，本文的主體部分從中心地空間結(jié)構(gòu)的形狀入手，兼顧中心地體系結(jié)構(gòu)的推理過(guò)程與中心地理論地位判別三個(gè)方面，由淺入深，循序漸進(jìn)，符合教學(xué)過(guò)程中學(xué)生對(duì)于知識(shí)的接受程度，具有較好的可行性與啟發(fā)性。最后，克氏在構(gòu)建理論體系過(guò)程中所映射出的抽象與邏輯思維的演繹推理方式，對(duì)于學(xué)生綜合素質(zhì)的培養(yǎng)具有深遠(yuǎn)意義。

[1] [德]沃爾特.克里斯塔勒(著),常正文,王興中等(譯).德國(guó)南部中心地原理.北京:商務(wù)印書館,1990.

[2] 李小建.經(jīng)濟(jì)地理學(xué)(第二版).北京：高等教育出版社,2006.

[3] 陸玉麒,袁林旺,鐘業(yè)喜.中心地等級(jí)體系的演化模型[J].中國(guó)科學(xué):地球科學(xué),2011,41(8):1160-1171.

（責(zé)任編校：顧錦玉）