石蓮英

（閩南理工學(xué)院，福建 石獅 362700）

淺談比較法在概率論教學(xué)中的作用

石蓮英

（閩南理工學(xué)院，福建 石獅 362700）

比較法是一種常用的數(shù)學(xué)思維方法，它能使學(xué)生在識(shí)同辨異的過(guò)程，加深對(duì)概念和定理的理解，還有助于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，活躍思維，達(dá)到對(duì)事物的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。在概率論教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用比較法教學(xué)，可以幫助學(xué)生加深對(duì)該課程的理解，并激發(fā)他們思考的積極性，從而提高教學(xué)質(zhì)量。

比較法；概率論；作用

著名教育家烏申斯基認(rèn)為：“比較是一切理解和思維的基礎(chǔ)，我們正是通過(guò)比較來(lái)了解世界上的一切的?！备怕收撌茄芯侩S機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科，其中的大量知識(shí)點(diǎn)之間既有聯(lián)系又有區(qū)別。因此，在概率論的教學(xué)中比較法的使用是必不可少的。恰當(dāng)?shù)氖褂帽容^法，不僅能突出教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)，而且還能加深對(duì)事物的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。在傳統(tǒng)的概率論教學(xué)工作中，主要是以陳述或證明為主，但實(shí)際上，運(yùn)用比較法對(duì)概率論的教學(xué)有著重要的作用，它不僅可以糾正學(xué)生的錯(cuò)覺(jué)，還可以使學(xué)生在識(shí)同辨異的過(guò)程，加深對(duì)正確概念和定理的理解，并能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

1.利用比較法加深對(duì)概念和定理的理解

由于概率論本身含有大量抽象的概念和定理，而這些概念和定理之間即有聯(lián)系又有區(qū)別，能否準(zhǔn)確地理解和把握這些概念和定理的內(nèi)涵，掌握概念和定理的本質(zhì)屬性，是能否正確掌握概率論知識(shí)的關(guān)鍵所在。若我們?cè)谑褂脤?shí)例對(duì)這些概念進(jìn)行闡述的同時(shí)，能恰當(dāng)?shù)氖褂帽容^法，則可從另一方面抓住概念的本質(zhì)，從而加深學(xué)生對(duì)這些概念和定理的理解。

例如，在隨機(jī)事件的諸多事件的關(guān)系中，有兩個(gè)在計(jì)算中常見(jiàn)的，也是學(xué)生比較容易混淆的，就是事件的互斥及互逆關(guān)系.為了加深學(xué)生對(duì)這兩個(gè)事件關(guān)系的概念的理解，現(xiàn)做比較如下：

（1）概念的比較：

互斥事件是兩個(gè)不可能同時(shí)發(fā)生的事件；互逆事件是兩個(gè)不可能同時(shí)發(fā)生而兩者又必發(fā)生其一的事件。若用符號(hào)來(lái)表示：已知A，B兩事件，若A與B互斥，則AB=φ；若A與B互逆，則有A+B=U，AB=φ（這里U表示必然事件，φ表示不可能事件）。

（2）應(yīng)用的比較

①A，B互斥時(shí)，且 p( A) = 0.2,p( B) =0.5，則p( AB)=________， p( A +B)=_________。

②A，B互逆時(shí)， p( A +B)=________，

p( A) = 0.2時(shí)，p( B)=________。

答：① 0；0.7。 ②1；0.8。

注：在加深對(duì)概念的理解的前提下，我們就可簡(jiǎn)單地進(jìn)行計(jì)算了，在①中，A，B互斥，即AB=φ，則有 p( A B)= 0；根據(jù)任一事件概率的加法公式：p( A + B) = p( A) + P( B) - P( A B)，而在互斥事件中， p( A B)= 0，則可得互斥事件的加法公式：p( A + B ) = p( A) + P( B)，根據(jù)互斥事件的加法公式：p( A + B ) = p( A) + P( B) = 0.2 + 0.5 = 0.7；在②中，A，B互逆，則有A+B=U，即 p( A +B)= 1；因?yàn)锳，B互逆，于是可記，再根據(jù)互逆事件的性質(zhì)，可得

總之，在概念的比較過(guò)程中，加深了學(xué)生對(duì)概念的理解。在熟練掌握概念的前提下，進(jìn)行應(yīng)用的比較，使學(xué)生從另一方面抓住了概念的本質(zhì)，從而進(jìn)一步加深了對(duì)概念的理解。

2.利用比較法識(shí)同辨異，揭示規(guī)律，拓廣知識(shí)面

概率論的知識(shí)點(diǎn)之間可能有部分相同或相似，但不可能完全相同，為了區(qū)分異同點(diǎn)，抓住知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)區(qū)別，就必須要有一個(gè)比較的過(guò)程。這一比較過(guò)程有如下兩種情況：一是先給出相似的知識(shí)點(diǎn)，并對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行清楚的分析，通過(guò)分析，抓住知識(shí)點(diǎn)各自的本質(zhì)特征；二是對(duì)給出的知識(shí)點(diǎn)的概念及本質(zhì)進(jìn)行比較，抓住其本質(zhì)區(qū)別，使學(xué)生對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)的概念有個(gè)準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)，從而揭示規(guī)律，拓廣知識(shí)面。如在取球事件的教學(xué)中，主要有兩種取法：有放回抽樣；不放回抽樣。已知袋中含有的球數(shù)、顏色等均相同，但取法不同，最后的結(jié)果也是有所區(qū)別。

例 袋中有3個(gè)紅球，4個(gè)白球，從中任取兩次，每次取一個(gè)球，求

（1）有放回抽樣，取得兩個(gè)球都是白球的概率；

（2）不放回抽樣，取得兩個(gè)球都是白球的概率。

解 設(shè) Ai={第i個(gè)取到白球}，第i個(gè)取到紅球}（i=1,2）

注：在（1）中，因?yàn)槭怯蟹呕爻闃樱谝淮稳〉桨浊蚺c第二次取到白球的概率互不影響，其概率都是即這兩事件是相互獨(dú)立的，所以有公式而在（2）中，因?yàn)槭遣环呕爻闃?，則第一次是否取到白球?qū)Φ诙稳〉桨浊虻母怕示陀兄苯拥挠绊?，若第一次取到白球，則第二次取到白球的概率若第一次不取到白球（即取到紅球），則第二次取到白球的概率均為條件概率，根據(jù)條件概率的定義，可得乘法公式：

總之，通過(guò)比較，我們發(fā)現(xiàn)，雖同為取球事件，且在相同的條件下，但取法不同，其結(jié)果完全不同；通過(guò)比較，我們可得規(guī)律：在有放回抽樣中，事件之間相互獨(dú)立，可根據(jù)獨(dú)立事件的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算；在不放回抽樣中，事件之間相互影響，要根據(jù)條件概率的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算；通過(guò)比較，使學(xué)生對(duì)取球事件的兩種取法，有了更深的理解，這不僅使學(xué)生同時(shí)掌握了這兩種取球方法，拓寬了知識(shí)面，而且還提示學(xué)生解題過(guò)程中應(yīng)注意審題，一字之差，會(huì)有完全不同的結(jié)論。

3.利用比較法發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)

概率論的知識(shí)點(diǎn)之間既有聯(lián)系又有區(qū)別，通過(guò)反復(fù)比較，學(xué)生不僅會(huì)發(fā)現(xiàn)一些有趣的問(wèn)題，而且還能在不斷地探索過(guò)程中，養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)，體會(huì)到思索的樂(lè)趣。

如在事件之間的相互獨(dú)立關(guān)系的學(xué)習(xí)當(dāng)中，容易得知：（1）若事件A，B相互獨(dú)立，即在一次隨機(jī)試驗(yàn)中事件A是否發(fā)生與事件B是否發(fā)生互不影響。（2）若事件A與B相互獨(dú)立，且 p( A)＞ 0，p( B)＞0，則有 p( A B ) =p( A) p( B)。

在學(xué)習(xí)了事件之間的相互獨(dú)立關(guān)系之后，愛(ài)思考的一些學(xué)生，就會(huì)將相互獨(dú)立的事件與之前學(xué)過(guò)的互斥事件進(jìn)行比較。經(jīng)過(guò)比較，發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題：相互獨(dú)立的事件是互斥事件嗎？

對(duì)此，從下列三個(gè)方面進(jìn)行比較：

（1）首先，要明確事件的相互獨(dú)立與互斥事件是完全不同的兩個(gè)概念，它們是從兩個(gè)不同的角度來(lái)表述事件之間的某種關(guān)系的?；コ馐录硎驹谝淮坞S機(jī)試驗(yàn)中不可能同時(shí)發(fā)生的事件；而相互獨(dú)立表示在一次隨機(jī)試驗(yàn)中某一事件是否發(fā)生與另一事件是否發(fā)生互不影響。

（2）其次，當(dāng)p( A)＞0，p( B)＞0時(shí)，若事件A，B相互獨(dú)立，則A與B必不互斥。因?yàn)?，事件A，B相互獨(dú)立，則有p( A B ) =p( A) p( B)，又 p( A) p( B)＞ 0，即 p( A B) ＞ 0，所以A與B必不互斥。

（3）最后，還可證明：若事件A與B既相互獨(dú)立，又互斥，則事件A與B中至少有一個(gè)是零概率事件（也就是不可能事件）。

通過(guò)上述比較，就輕而易舉地解決了學(xué)生所提出來(lái)的問(wèn)題。

除了上面提出的問(wèn)題外，還可在相互獨(dú)立的事件的解題過(guò)程中，對(duì)其解題方法做了進(jìn)一步地思索：

例 已知甲、乙射手命中敵機(jī)的概率分別是0.8，0.9，他們各自獨(dú)立地向同一敵機(jī)射擊一次。試求此敵機(jī)被擊中的概率。

解 設(shè)A={甲擊中敵機(jī)}，B={乙擊中敵機(jī)}，于是

因?yàn)椤皵硻C(jī)被擊中”即“甲、乙中至少有一人擊中敵機(jī)”，故本題實(shí)際上求的是A+B的概率。根據(jù)A，B的獨(dú)立性，有如下兩種解題方法：

解法一 根據(jù)任一事件概率的加法公式，有

解法二 根據(jù)事件與其互逆事件的關(guān)系及事件的獨(dú)立性，有

注：通過(guò)比較，易得，這兩種解題方法難易相當(dāng)，但若構(gòu)成和事件的獨(dú)立事件個(gè)數(shù)較多時(shí)則方法二更具優(yōu)越性。

通過(guò)從問(wèn)題的提出到解決這一過(guò)程，以及對(duì)解題方法的思索，使學(xué)生在不斷地探索過(guò)程中，逐步養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)，從而體會(huì)到學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。

4.利用比較法發(fā)現(xiàn)并糾正錯(cuò)誤

在辨析錯(cuò)誤時(shí)，比較法具有直觀，說(shuō)服力強(qiáng)等特點(diǎn)，它不僅能使學(xué)生明顯的判斷出錯(cuò)誤所在，而且還能彌補(bǔ)相關(guān)知識(shí)，獲得正確的結(jié)論。

下面以一個(gè)例題加以說(shuō)明。例 袋中有3個(gè)黑球，4個(gè)白球，它們除顏色不同外，其它方面沒(méi)有差別，現(xiàn)在隨機(jī)地把球一個(gè)接一個(gè)地摸出來(lái)，求第一次摸出的球是黑球的概率，以及第二次摸出的球是黑球的概率。

解 設(shè) Ai={第i次摸出的球是黑球} ，={第i次摸出的球是白球}(i=1,2)，于是，有

在上述隨機(jī)摸球事件中，大多數(shù)學(xué)生會(huì)認(rèn)為第一次摸黑球與第二次摸黑球的概率不同，而且互相影響，若第一次摸黑球，則第二次摸黑球的概率一定會(huì)比第一次摸黑球的概率小，通過(guò)比較，不僅澄清了學(xué)生的錯(cuò)誤所在，而且還得到了正確的結(jié)論：在上述隨機(jī)摸球事件中，第i次摸出的球是黑球的概率都是相等的(1≤i≤7)。

5.小結(jié)

在概率論的教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用比較法，能加深對(duì)概念和定理的理解；能識(shí)同辨異，揭示規(guī)律，拓廣知識(shí)面；能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)；而且能發(fā)現(xiàn)并糾正錯(cuò)誤?？傊‘?dāng)?shù)倪\(yùn)用比較法教學(xué)，有助于加深學(xué)生對(duì)該課程的理解，激發(fā)其學(xué)習(xí)的積極性，從而提高其概率素養(yǎng)。

[1] 姚孟臣.高等數(shù)學(xué)[M].高等教育出版社，2008.

[2] 顧靜相.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].高等教育出版社，2008.

[3] 吳贛昌.線性代數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)[M].中國(guó)人民大學(xué)出版社，2009.

Discusses about the function of comparison test in the theory of probability teaching

SHI Lian-ying

Comparison test is a commonly used mathematical way of thinking, it enables students to identify with Distinction in the process, to deepen understanding of concepts and theorems, but also helps to identify problems, active thinking, to achieve understanding of the nature of things.In the theory of probability teaching, the appropriate utilization comparison test teaching, may help the student to deepen to this curriculum understanding, and stimulate their thinking about the enthusiasm, is helpful in improves the quality of teaching.

comparison test；theory of probability； affects

G642.3

A

1008-7427（2011）12-0135-02

2011-10-18