夏綠玉

（銅陵職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽銅陵244000）

拉格朗日中值定理的基本證法及應(yīng)用小結(jié)

夏綠玉

（銅陵職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽銅陵244000）

拉格朗日中值定理是幾個(gè)中值定理中最重要的一個(gè)，是微分學(xué)應(yīng)用的橋梁，在高等數(shù)學(xué)的一些理論推導(dǎo)中起著很重要的作用。文章通過介紹幾種不同構(gòu)造函數(shù)的方法證明拉格朗日中值定理，并講解拉格朗日定理的在不等式證明中的簡(jiǎn)單運(yùn)用。闡述構(gòu)造函數(shù)的方法和運(yùn)用拉格朗日跳躍證明不等式的方法。

拉格朗日中值定理；羅爾定理；不等式

拉格朗日中值定理是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，它的證明過程中滲透的構(gòu)造函數(shù)思想可以訓(xùn)練邏輯思維能力和解決問題能力。本文通過對(duì)定理證明過程的小結(jié)說明類比、構(gòu)造的數(shù)學(xué)思想；通過對(duì)不等式證明的講解，體現(xiàn)跳躍證明不等式的方法。首先講一下羅爾中值定理拉格朗日中值定理及其幾何意義。

一、定理證明

1.羅爾（Rolle）中值定理

如果函數(shù)f（x）滿足條件：（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)；（3）f（a）=f（b）則在（a,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ζ,使得f'（ζ）=0。

羅爾中值定理的幾何意義：如果連續(xù)光滑曲線y=f（x）在點(diǎn)A、B處的縱坐標(biāo)相等，那么，在弧上至少有一點(diǎn)C（ζ，f（ζ）），曲線在C點(diǎn)的切線平行于x軸，如圖1。

注意定理中三個(gè)條件缺少其中任何一個(gè)，定理的結(jié)論將不一定成立；但不能認(rèn)為定理?xiàng)l件不全具備，就一定不存在屬于（a,b）的ζ，使得f'（ζ）=0。這就是說定理的條件是充分的，但非必要的。

2.拉格朗日（lagrange）中值定理

若函數(shù)f（x）滿足如下條件：（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)；則在（a,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ζ，使f'

拉格朗日中值定理的幾何意義：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a,b]上的圖形是連續(xù)光滑曲線弧AB上至少有一點(diǎn)C，曲線在C點(diǎn)的切線平行于弦。如圖2。

圖二

從拉格朗日中值定理的條件與結(jié)論可見，若f（x）在閉區(qū)間[a,b]兩端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即f（a）=f（b），則拉格朗日中值定理就是羅爾中值定理。換句話說，羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的一個(gè)特殊情形。正因?yàn)槿绱?，我們只需?duì)函數(shù)f（x）作適當(dāng)變形，便可借助羅爾中值定理導(dǎo)出拉格朗日中值定理。

3.證明拉格朗日中值定理

（1）教材證法

顯然，函數(shù)F（x）滿足在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，而且F（a）=F（b）.于是由羅爾中值定理知道，至少存在一點(diǎn)ζ（a＜ζ＜b），

即f'

（2）用作差法引入輔助函數(shù)法

顯然，函數(shù)φ（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，φ（a）=φ（b）=0，因此，由羅爾中值定理得，至少存在一點(diǎn)ζ∈（a，b），

（3）用迭加法引入輔助函數(shù)法

讓f（x）迭加一個(gè)含待定系數(shù)的一次函數(shù)y=kx+m，例如令φ（x）=f（x）-（kx+m）或φ（x）=-f（x）+kx+m，通過使φ（a）=φ（b），確定出k,m，即可得到所需的輔助函數(shù)。

例如由φ（x）=f（x）-（kx+m），令φ（a）=φ（b）

得f（a）-（ka+m）=f（b）-（kb+m），從而，而m可取任意實(shí)數(shù)，這樣我們就得到了輔助函數(shù)-x-m，由m的任意性易知迭加法可構(gòu)造出無數(shù)個(gè)輔助函數(shù)，這些函數(shù)都可用于證明拉格朗日中值定理。

二、拉格朗日定理證明應(yīng)用

拉格朗日定理是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用理論的基礎(chǔ)，應(yīng)用廣泛。下面我們討論它在不等式證明上的應(yīng)用。證明不等式都是先找到一個(gè)函數(shù)，在閉區(qū)間上運(yùn)用拉格朗日中值定理，再通過一定的放縮比較，得到結(jié)論。

例1證明對(duì)一切h＞-1，h≠0成立，不等式：

證明：設(shè)f（x）=In（1+x），則

當(dāng)h＞0時(shí)，由0＜θ＜1可推知

當(dāng)-1＜h＜0時(shí)，由0＜θ＜1可推得

從而得到事實(shí)所要證明的結(jié)論。

證明：在區(qū)間[α，β]上對(duì)函數(shù)tanx使用中值定理，可知存在ξ∈（α，β），使得

例3設(shè)f（x）在f'（x）上[a，b]連續(xù)，f'（x）在（a，b）內(nèi)存在，若f（a）=f（b）=0，且有c∈（a，b）使得f（c）＜0，證明存在ξ∈（a，b）使得f'（ξ）＞0。

證明：分別在[a，c]，[c，b]上用中值定理有

從而f'（ξ1）＜0，f'（ξ2）＞0在[ξ1，ξ2]再用中值定理，得

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]常庚哲，史濟(jì)懷，等.數(shù)學(xué)分析教程[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3]陳如邦，等.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2009.

（責(zé)任編輯：王朝勇）

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2010-12-18

夏綠玉（1983-），女，安徽銅陵人，銅陵職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部教師，碩士在讀，研究方向：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)。