張 超， 楊春和

(中國(guó)科學(xué)院武漢巖土力學(xué)研究所 巖土力學(xué)與工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430071)

邊坡穩(wěn)定分析是經(jīng)典土力學(xué)最早試圖解決而至今仍未完全解決的課題，各種穩(wěn)定分析方法在國(guó)內(nèi)外水平大致相當(dāng)。目前，研究邊坡穩(wěn)定性的傳統(tǒng)方法主要有:極限平衡法，極限分析法，滑移線場(chǎng)法等。這些建立在極限平衡理論基礎(chǔ)上的各種穩(wěn)定性分析方法沒有考慮土體內(nèi)部的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，無(wú)法分析邊坡破壞的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程，沒有考慮土體與支擋結(jié)構(gòu)的共同作用及其變形協(xié)調(diào)，在求安全系數(shù)時(shí)通常需要假定滑裂面形狀為折線、圓弧、對(duì)數(shù)螺旋線等［1］。對(duì)于均質(zhì)土坡，可以通過(guò)各種優(yōu)化方法來(lái)搜索危險(xiǎn)滑動(dòng)面。但對(duì)于非均質(zhì)土坡，利用圓弧搜索滑面就不是很合適。而巖質(zhì)邊坡由于實(shí)際巖體中含有大量不同構(gòu)造、產(chǎn)狀和特性等不連續(xù)結(jié)構(gòu)面，因此傳統(tǒng)分析方法在巖質(zhì)邊坡的穩(wěn)定分析方面就遇到了一定的困難。而有限單元法不但滿足力的平衡條件，而且考慮了材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，使得計(jì)算結(jié)果更加精確合理。在有限元法中通過(guò)強(qiáng)度折減，使系統(tǒng)達(dá)到不穩(wěn)定狀態(tài)，有限元計(jì)算不收斂，此時(shí)的折減系數(shù)就是安全系數(shù)。有限元強(qiáng)度折減法在20世紀(jì)70年代提出，在國(guó)外80年就有采用，但由于力學(xué)概念不十分明確，且計(jì)算力學(xué)還在起步階段，缺少嚴(yán)密可靠的大型商用程序，有限元前后處理技術(shù)水平較低，采用有限元法對(duì)巖土工程建模分析需要很長(zhǎng)時(shí)間，計(jì)算成本高，從而阻止了有限元強(qiáng)度折減法的應(yīng)用。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，尤其是巖土材料的非線性彈塑性有限元計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，出現(xiàn)了許多適合于巖土材料的大型通用有限元軟件，其前、后處理的功能越來(lái)越強(qiáng)大，為利用有限元法進(jìn)行邊坡穩(wěn)定分析創(chuàng)造了條件。1999年美國(guó)科羅拉多礦業(yè)學(xué)院的Griffith等人［2］采用有限元強(qiáng)度折減法與傳統(tǒng)方法得到的穩(wěn)定性系數(shù)比較接近，再次引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者廣泛關(guān)注。而國(guó)內(nèi)的鄭穎人等［3～5］在有限元強(qiáng)度折減法方面做了大量的工作，也取得了很多的研究成果。特別需要提到的是，傳統(tǒng)的有限元法采用莫爾－庫(kù)侖準(zhǔn)則，但因莫爾－庫(kù)侖準(zhǔn)則的屈服面為不規(guī)則的六角形截面的角錐體表面，存在尖頂和棱角，給數(shù)值計(jì)算帶來(lái)困難。為了解決這個(gè)問(wèn)題，徐干成、鄭穎人提出的莫爾－庫(kù)侖等面積圓屈服準(zhǔn)則代替莫爾－庫(kù)侖準(zhǔn)則［5］，并導(dǎo)出各準(zhǔn)則間的換算關(guān)系，由此可將求得的安全系數(shù)折算成莫爾－庫(kù)侖等面積圓屈服準(zhǔn)則下的安全系數(shù)。顯然經(jīng)過(guò)這種近似處理后能夠解決計(jì)算中的困難，也將有限元強(qiáng)度折減法在分析邊坡穩(wěn)定性方面的應(yīng)用向前推進(jìn)了一大步。但是這種莫爾－庫(kù)侖等面積圓屈服準(zhǔn)則對(duì)計(jì)算結(jié)果是否有影響，有多大影響，本文將對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行一定的分析。

近年來(lái)，隨著美國(guó)Itasca咨詢公司根據(jù)Cundall等人提出的顯式有限差分法而開發(fā)的有限差分軟件FLAC的問(wèn)世及逐步完善，有限差分方法在巖土工程中獲得了廣泛的應(yīng)用。FLAC法是一種分析邊坡穩(wěn)定的新的數(shù)值方法。對(duì)于大部分邊坡，邊坡自身的彈性變形、塑性變形或流變變形較大，使變形體在后緣張開，前緣壓縮隆起，滑動(dòng)面也不再是滑動(dòng)前的形狀，在這種情況下，必須考慮用與變形介質(zhì)相應(yīng)的分析方法。近年來(lái)發(fā)展起來(lái)的FLAC法是一種比較有效的方法。FLAC法能處理一般的大變形問(wèn)題，而且能模擬巖體沿某一軟弱面產(chǎn)生滑動(dòng)變形。FLAC法能針對(duì)不同的材料特性，使用相應(yīng)的本構(gòu)方程來(lái)比較真實(shí)地反映實(shí)際材料的動(dòng)態(tài)行為。用FLAC法分析邊坡穩(wěn)定問(wèn)題可以考慮巖土體的非線性本構(gòu)關(guān)系，適用于復(fù)雜邊坡穩(wěn)定性分析。而且，Itasca咨詢公司推出和完善了FLAC/Slope程序，該程序是FLAC程序的微型版本，專門設(shè)計(jì)用來(lái)求解邊坡穩(wěn)定安全系數(shù)，采用的是有限差分強(qiáng)度折減法對(duì)邊坡的穩(wěn)定性進(jìn)行計(jì)算分析，該程序計(jì)算建模方便，易于使用?；谟邢薏罘謴?qiáng)度折減法，楊光華［6］等用局部強(qiáng)度折減法進(jìn)行了邊坡穩(wěn)定性分析，馮磊［7］等采用有限差分強(qiáng)度折減法對(duì)黃延高速公路邊坡進(jìn)了穩(wěn)定性研究?？梢钥闯鲇邢薏罘址ㄇ蠼膺吰路€(wěn)定性已經(jīng)開始在一定范圍內(nèi)應(yīng)用，但是對(duì)于其可靠性與適用性卻沒有相關(guān)研究，本文擬以FLAC有限差分商用程序?yàn)榛A(chǔ)，對(duì)有限差分方法進(jìn)行邊坡穩(wěn)定性分析進(jìn)行詳細(xì)介紹，并與傳統(tǒng)的有限元強(qiáng)度折減法進(jìn)行對(duì)比分析，探討有限差分強(qiáng)度折減法的適用性與可靠性。

1 有限差分強(qiáng)度折減法基本原理

FLAC是在較好地吸收了其它數(shù)值方法的優(yōu)點(diǎn)并克服其缺點(diǎn)的基礎(chǔ)上而形成的一種新型顯式差分程序，該程序的基本原理和算法與離散元法相似，但它應(yīng)用了節(jié)點(diǎn)位移連續(xù)條件，可以對(duì)連續(xù)介質(zhì)進(jìn)行大變形分析。FLAC程序可以模擬多種模型的材料，還可以自定義材料本構(gòu)模型，可以進(jìn)行邊坡、基礎(chǔ)、壩體、隧道、地下采場(chǎng)、洞室等問(wèn)題的模擬分析。FLAC還具有很強(qiáng)的前處理功能和后處理功能。由于該程序特別適合于巖土工程問(wèn)題分析，推出以后立即受到重視，目前在國(guó)際巖土界相當(dāng)流行。

FLAC用有限差分方法求解邊坡穩(wěn)定性問(wèn)題的解是耦合應(yīng)力與位移的全數(shù)值解，F(xiàn)LAC在計(jì)算邊坡穩(wěn)定性的過(guò)程中考慮了邊坡的平衡方程和本構(gòu)方程。只要給出一系列參數(shù)，F(xiàn)LAC即可通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)是否穩(wěn)定。在給出不同參數(shù)后，F(xiàn)LAC將進(jìn)行一系列模擬運(yùn)算，計(jì)算出安全系數(shù)，該系數(shù)表示邊坡穩(wěn)定程度。與極限平衡方法相比，該方法計(jì)算速度慢，但對(duì)問(wèn)題的考慮更加全面。近幾年由于計(jì)算機(jī)速度的大大提高，該方法開始成為極限平衡方法的一種可行的代替方法。

有限差分法求得的全數(shù)值解(FLAC的解)與極限平衡方法的計(jì)算有很大的區(qū)別，具體差異見表1。從表1可以看出，有限差分的數(shù)值解考慮的問(wèn)題非常全面，而采用極限平衡方法的時(shí)候有很多問(wèn)題都沒有考慮，很多條件也不滿足，且極限平衡法只能給出一個(gè)安全系數(shù)，對(duì)于應(yīng)力和變形則是無(wú)能為力。因此可以說(shuō)在求解安全系數(shù)方面，除了計(jì)算時(shí)間方面有一定的劣勢(shì)以外，有限差分方法比極限平衡方法在其它各方面均有明顯的優(yōu)勢(shì)。

表1 FLAC數(shù)值方法與極限平衡法的差別

有限差分方法是用給定的參數(shù)值進(jìn)行單個(gè)數(shù)值模型模擬，即可顯示是否破壞。有限差分強(qiáng)度折減系數(shù)法的基本原理是將坡體強(qiáng)度參數(shù):粘聚力c和內(nèi)摩擦角φ值同時(shí)除以一個(gè)折減系數(shù)Ftrial，得到一組新的 Ctrial、φtrial值，然后作為新的參數(shù)輸入，再進(jìn)行試算，直到計(jì)算出坡體的破壞和不破壞的界限值，對(duì)應(yīng)的Ftrial被稱為坡體的最小穩(wěn)定安全系數(shù)，此時(shí)坡體達(dá)到極限狀態(tài)，發(fā)生剪切破壞，同時(shí)可得到坡體的破壞滑動(dòng)面。有限差分強(qiáng)度折減法的思想和有限元強(qiáng)度折減法的思想完全一樣，其安全系數(shù)的概念也是相同的，即為強(qiáng)度折減到極限平衡狀態(tài)條件下的強(qiáng)度折減程度。

強(qiáng)度參數(shù)(內(nèi)聚力和內(nèi)摩擦角)除以安全系數(shù)的“試驗(yàn)值”，如下:式中:C為邊坡體材料的內(nèi)聚力，φ為材料的內(nèi)摩擦角，Ctrial為內(nèi)聚力試算值，φtrial為內(nèi)摩擦角試算值，F(xiàn)trial為安全系數(shù)的試算值。

通過(guò)對(duì)一系列的Ctrial和φtrial值進(jìn)行試算，然后找到其臨界狀態(tài)下的Ftrial值，即為所求的安全系數(shù)。如何通過(guò)最少數(shù)量的模擬，快速得到安全系數(shù)的準(zhǔn)確值，這個(gè)問(wèn)題是解決有限差分強(qiáng)度折減法的關(guān)鍵問(wèn)題之一，直接決定有限差分強(qiáng)度折減法的效率和實(shí)用性。Dawson等人［8］給出數(shù)值計(jì)算安全系數(shù)的基本依據(jù)，根本上講，它是不斷地等分兩個(gè)分別穩(wěn)定和破壞的Ftrial，這個(gè)過(guò)程可以很快收斂，當(dāng)這兩個(gè)Ftrial之間的間隔很小(比如小于0．005)時(shí)，即停止計(jì)算。FLAC/Slope也正是利用這個(gè)方法對(duì)邊坡的穩(wěn)定性進(jìn)行強(qiáng)度折減分析，從而可以在盡可能短的時(shí)間內(nèi)找出安全系數(shù)。

2 有限差分強(qiáng)度折減法步驟

采用FLAC實(shí)現(xiàn)有限差分強(qiáng)度折減法的求解步驟如下:

(1)根據(jù)系統(tǒng)達(dá)到平衡需要的計(jì)算步數(shù)來(lái)確定“特征反應(yīng)時(shí)間”，稱之為NC;

(2)設(shè)F=1．0，不斷平分該值直至下限(穩(wěn)定首次出現(xiàn))，這時(shí)的F值稱為FS;

(3)不斷翻倍增加F直到到達(dá)上限(首次出現(xiàn)不穩(wěn)定)，這時(shí)的F值稱為FU;

(4)設(shè)F=(FS+FU)/2，計(jì)算是否穩(wěn)定，如果穩(wěn)定，則設(shè)FS=F，如果不穩(wěn)定，則設(shè)FS=F，繼續(xù)進(jìn)行下一步計(jì)算;

(5)如果 FU－FS＜0．005，停止計(jì)算，否則回到第(4)步。

邊坡的穩(wěn)定或不穩(wěn)定由程序中給定的方法確定。例如，在采用隱式矩陣計(jì)算的有限元程序中，不穩(wěn)定條件通常是根據(jù)方程的不收斂所決定［6］。在FLAC中，不穩(wěn)定狀態(tài)由檢測(cè)模型的運(yùn)動(dòng)能量確定，運(yùn)動(dòng)能量的變化則通過(guò)不平衡力率來(lái)衡量。

在FLAC計(jì)算中，檢測(cè)穩(wěn)定或是不穩(wěn)定的步驟:

(1)運(yùn)行直至NC步，記錄不平衡力率RU;

(2)運(yùn)算過(guò)程中，如果 RU降低至0．001以下，認(rèn)為是穩(wěn)定并退出計(jì)算。

(3)如果 RU－RU(old)/RU＜0．1，認(rèn)為不穩(wěn)定并退出計(jì)算。

(4)如果總迭代數(shù)(即第(1)至第(3))大于6，認(rèn)為不穩(wěn)定并退出計(jì)算。

(5)返回(1)。

在整個(gè)過(guò)程中，下列信息是被展示出來(lái)的:

(1)上面第(1)步中完成的計(jì)算步驟數(shù)，以NC的百分?jǐn)?shù)表示;

(2)完成的求解循環(huán)數(shù)(第(1)至第(3)步);

(3)當(dāng)前的FS和FU值，以區(qū)間的形式給出。

3 有限差分強(qiáng)度折減法可靠性驗(yàn)證

FLAC強(qiáng)度折減法的可靠性到底怎么樣，下面就以一個(gè)典型的算例［8］進(jìn)行驗(yàn)證。這個(gè)算例是1987年澳大利亞計(jì)算機(jī)應(yīng)用協(xié)會(huì)(ACADS)對(duì)澳大利亞所使用的邊坡穩(wěn)定分析程序進(jìn)行的一次調(diào)查中的第一考核題。該考核題的剖面如圖1所示(單位:m)，材料性質(zhì)見表2。本題推薦的裁判答案為Donald給出的，結(jié)果為1．00。

圖1 ACADS考核題－EX1

表2 考核題EX1材料性質(zhì)

下面采用FLAC計(jì)算該考核題，不同密度的網(wǎng)格計(jì)算得到的安全系數(shù)見表3，計(jì)算得到各種網(wǎng)格的滑動(dòng)面如圖2～圖4所示。從計(jì)算結(jié)果可以看出，用FLAC進(jìn)行有限差分的強(qiáng)度折減法計(jì)算得到的結(jié)果和裁判結(jié)果非常接近，幾乎相等。因此，只要網(wǎng)格劃分滿足一定的要求，其誤差就會(huì)相當(dāng)?shù)男?，?duì)于數(shù)值分析，這樣的誤差是完全可以接受的。

表3 FLAC計(jì)算的安全系數(shù)

圖2 計(jì)算得到的破壞面(粗糙網(wǎng)格)

以下再看一驗(yàn)證算例，剖面圖及計(jì)算參數(shù)如圖5所示，該問(wèn)題的極限分析安全系數(shù)精確解為1．0［8］。在這個(gè)例子中，重力加速度為 10 m/s2，壩體材料的體積應(yīng)變服從關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則。按照以上條件采用FLAC對(duì)該算例進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如下:采用中密網(wǎng)格計(jì)算時(shí)，安全系數(shù)為1．01;采用精細(xì)網(wǎng)格時(shí)，安全系數(shù)為0．99。這個(gè)算例再一次證明了有限差分強(qiáng)度折減法和FLAC程序的可靠性。

圖3 計(jì)算得到的破壞面(中密網(wǎng)格)

圖4 計(jì)算得到的破壞面(精細(xì)網(wǎng)格)

圖5 均質(zhì)土壩剖面圖

4 兩種強(qiáng)度折減法比較

以圖6所示的一個(gè)均質(zhì)邊坡為例，分別采用有限元強(qiáng)度折減法和有限差分強(qiáng)度折減法進(jìn)行計(jì)算，并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。該邊坡基本參數(shù)如下:坡高H=20 m ，材料容重γ=25 kN/m3，粘聚力C=42 kPa，內(nèi)摩擦角φ=17°。采用有限元強(qiáng)度折減法和有限差分強(qiáng)度折減法求坡角α分別為 30°，35°，40°，45°，50°時(shí)邊坡的安全系數(shù)。計(jì)算結(jié)果見表4。表4中給出的有限元強(qiáng)度折減法的安全系數(shù)參考文獻(xiàn)［3］的計(jì)算結(jié)果，該計(jì)算結(jié)果為精細(xì)網(wǎng)格條件下得到的。FLAC給出了三種不同網(wǎng)格密度情況下的安全系數(shù)值。

圖6 邊坡剖面圖

表4 安全系數(shù)計(jì)算結(jié)果

從表4的計(jì)算結(jié)果可以看出，用有限差分強(qiáng)度折減法和有限元強(qiáng)度折減法得到的安全系數(shù)比較接近，但是有限差分強(qiáng)度折減方法得到的安全系數(shù)要小于有限元強(qiáng)度折減法，究其原因，其差異應(yīng)該來(lái)自于有限元強(qiáng)度折減法中采用莫爾－庫(kù)侖等面積圓屈服準(zhǔn)則代替莫爾－庫(kù)侖準(zhǔn)則，該莫爾－庫(kù)侖等面積圓屈服準(zhǔn)則滿足在π平面上各屈服面面積相等，嚴(yán)格來(lái)講這種等效只是一種近似，而并非對(duì)計(jì)算過(guò)程和結(jié)果的完全等效。而采用有限差分方法計(jì)算巖土工程體的穩(wěn)定性時(shí)，可直接采用莫爾－庫(kù)侖準(zhǔn)則進(jìn)行計(jì)算，不需要對(duì)屈服準(zhǔn)則進(jìn)行處理，從而避免了誤差。因?yàn)橛邢薏罘謴?qiáng)度折減方法不需要進(jìn)行屈服條件的轉(zhuǎn)換，因此可以給計(jì)算帶來(lái)一定的方便。從表4還可以知道對(duì)于用FLAC進(jìn)行的強(qiáng)度折減計(jì)算，其計(jì)算結(jié)果受網(wǎng)格劃分的精度影響，網(wǎng)格越細(xì)，結(jié)果越理想，如果網(wǎng)格劃分太粗，將會(huì)造成較大的誤差，故計(jì)算時(shí)必須考慮適當(dāng)?shù)木W(wǎng)格密度。

除以上差別之外，有限差分強(qiáng)度折減法與傳統(tǒng)的邊坡穩(wěn)定性計(jì)算方法相比，基本上具有有限元強(qiáng)度折減法所有的優(yōu)點(diǎn)。如果使有限差分法保持足夠的計(jì)算精度，那么有限差分法較傳統(tǒng)的方法具有如下優(yōu)點(diǎn):能夠?qū)哂袕?fù)雜地貌、地質(zhì)的邊坡進(jìn)行計(jì)算;可以考慮土體的非線性彈塑性本構(gòu)關(guān)系，以及變形對(duì)應(yīng)力的影響;能夠模擬土坡的失穩(wěn)過(guò)程及其滑移面形狀;能夠模擬土體與支護(hù)的共同作用;求解安全系數(shù)時(shí)，可以不需要假定滑移面的形狀，也無(wú)需進(jìn)行條分。

5 結(jié)論

(1)有限差分強(qiáng)度折減法不需要對(duì)滑動(dòng)面形狀和位置做假定，通過(guò)強(qiáng)度折減使邊坡達(dá)到極限平衡的臨界狀態(tài)，此時(shí)的折減系數(shù)就是穩(wěn)定安全系數(shù)，同時(shí)可得到邊坡破壞時(shí)的滑動(dòng)面。

(2)有限差分強(qiáng)度折減系數(shù)法由程序自動(dòng)求得邊坡的危險(xiǎn)滑動(dòng)面以及相應(yīng)的穩(wěn)定安全系數(shù)。通過(guò)算例分析表明了有限差分強(qiáng)度折減法和FLAC的可靠性。只要保證一定的網(wǎng)格密度，則得到的計(jì)算結(jié)果誤差就很小，一般在1%左右，足夠滿足數(shù)值計(jì)算和工程分析的要求。

(3)如果使有限差分計(jì)算保持足夠的計(jì)算精度，那么有限差分法較傳統(tǒng)的方法具有如下優(yōu)點(diǎn):能夠?qū)哂袕?fù)雜地貌、地質(zhì)的邊坡進(jìn)行計(jì)算，包括非均質(zhì)土坡和巖質(zhì)邊坡;考慮了土體的非線性彈塑性本構(gòu)關(guān)系，以及變形對(duì)應(yīng)力的影響;能夠模擬土坡的失穩(wěn)過(guò)程及其滑移面形狀;能夠模擬土體與支護(hù)的共同作用。

(4)與有限元強(qiáng)度折減法相比，有限差分強(qiáng)度折減法具有以下優(yōu)點(diǎn):不用轉(zhuǎn)化屈服準(zhǔn)則，可以直接采用摩爾－庫(kù)倫屈服準(zhǔn)則;適用于可能產(chǎn)生大變形的邊坡。

［1］ 陳祖煜．土質(zhì)邊坡穩(wěn)定性分析:原理·方法·程序［M］．北京:中國(guó)水利水電出版社，2003．

［2］ Griffiths D V，Lane P A．Slope stability analysis by finite elements［J］．Geotechnique，1999，49(3):387-403．

［3］ 趙尚毅，鄭穎人，時(shí)衛(wèi)民，等．用有限元強(qiáng)度折減法求邊坡穩(wěn)定安全系數(shù)［J］．巖土工程學(xué)報(bào)，2002，24(3):343-346．

［4］ 鄭穎人，趙尚毅，宋雅坤．有限元強(qiáng)度折減法研究進(jìn)展［J］．后勤工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，(3):1-6．

［5］ 徐干成，鄭穎人．巖土工程中屈服準(zhǔn)則應(yīng)用的研究［J］．巖土工程學(xué)報(bào)，1990，12(2):93-99．

［6］ 楊光華，鐘志輝，張玉成，等．用局部強(qiáng)度折減法進(jìn)行邊坡穩(wěn)定性分析［J］．巖土力學(xué)，2010，31(S2):53-58．

［7］ 馮 磊，韓 飛，梁 棟．基于有限差分強(qiáng)度折減法的黃延高速公路邊坡穩(wěn)定性分析［J］．華北水利水電學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，30(3):86-88．

［8］ Dawson E M，Roch W H，Drescher A．Slope stability analysis by strength reduction［J］．Geotechnique，1999，49(6):835-840．