劉士清， 鄭俊杰， 邊曉亞， 徐志軍

(華中科技大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430074)

諸多不確定因素的存在，導(dǎo)致了基樁極限承載力的分析和確定成為樁基工程最困難的問題之一［1］。Tang［2］和 Bea［3］根據(jù)靜載試驗結(jié)果詳細(xì)地研究了單樁豎向承載力的不確定因素，研究結(jié)果表明:最重要的兩個不確定因素是樁側(cè)摩阻力和樁端阻力?？煽慷确治鲂枰罅俊跋嗤摹弊訕颖荆?］，但是，現(xiàn)階段靜載試驗結(jié)果受限于基樁的檢測數(shù)量(一般單位工程2～3根，多棟建筑群3～6根)，因此試驗結(jié)果往往很少，并且數(shù)據(jù)的離散性很大，大大增加了可靠度分析的難度。Zhao［5］研究了鉆孔灌注樁的現(xiàn)場靜載荷試驗。Fellenius［6］對已有的靜載荷試驗結(jié)果進(jìn)行了詳細(xì)的分析。Zhang［7］利用Bayesian統(tǒng)計和靜載荷試驗結(jié)果修正了基樁承載力的安全系數(shù)和可靠度指標(biāo)。在國內(nèi)，如果試驗結(jié)果比設(shè)計值高出很多時，除非有地區(qū)經(jīng)驗，實際工程中一般不會直接按試驗結(jié)果的平均值使用，需要進(jìn)行綜合評估［8］。對某些試驗結(jié)果相差較大時，為安全起見一般取低值使用［8］。另外，根據(jù)文獻(xiàn)［8］的規(guī)定，當(dāng)試驗結(jié)果的極差不超過平均值的30%時，取其平均值為單樁豎向抗壓極限承載力(對樁數(shù)為3根及以下的柱下承臺或檢測數(shù)量少于3根時，應(yīng)取低值)。文獻(xiàn)［8］的這些規(guī)定是根據(jù)工程經(jīng)驗提供的一種安全保障措施，但是缺乏理論依據(jù)。本文基于數(shù)理統(tǒng)計中的極差理論，利用靜載試驗結(jié)果給出了基樁豎向承載力可靠度指標(biāo)的計算方法，通過實例分析表明，該方法的精度滿足工程需要。

1 承載力的概率分布

基樁豎向承載力R的表達(dá)式為［8］

式中，R表示基樁豎向承載力;d表示平均樁徑;L表示樁長;Ap表示樁端面積;Qs表示樁側(cè)平均摩阻力;Qp表示樁端平均端阻力。

式(1)中參數(shù)的取值是用平均值表達(dá)的，但是由于諸多不確定性因素的存在，如地質(zhì)勘察、抽樣調(diào)查、現(xiàn)場試驗、試驗室測試、時間效應(yīng)及荷載效應(yīng)等［1］，實際上樁徑 d、樁側(cè)摩阻力 qs和樁端阻力qp等具有隨機(jī)變量的特性。將樁長k等分、樁底面積n等分，式(1)可轉(zhuǎn)化為

在工程實際中，對預(yù)制樁而言，樁徑d和樁端面積Ap是確定值，R由單一的隨機(jī)變量之和的平均值組成，因此可近似認(rèn)為隨機(jī)變量R的概率分布為正態(tài)分布。對灌注樁等具有一定充盈系數(shù)的樁型，樁徑d和樁端面積Ap是隨機(jī)變量，R由不同隨機(jī)變量的乘積之和組成，可近似認(rèn)為其概率分布為對數(shù)正態(tài)分布。對擴(kuò)底尺寸各不相同的人工挖孔樁等，隨機(jī)變量R也具有單一的概率分布形式，對多數(shù)不計摩擦力的人工挖孔灌注樁，R/Ap作為隨機(jī)變量近似服從對數(shù)正態(tài)分布，因此基樁承載力可以近似地看作服從對數(shù)正態(tài)分布。

綜上所述，對于基樁豎向承載力，主要服從對數(shù)正態(tài)分布和正態(tài)分布兩種形式，本文考慮對數(shù)正態(tài)分布的情況。

2 變異系數(shù)的估算

為了計算基樁豎向承載力的可靠度指標(biāo)，必須知道隨機(jī)變量R的概率分布和參數(shù)統(tǒng)計。對于對數(shù)正態(tài)分布，其參數(shù)為期望和方差，期望可以根據(jù)實測結(jié)果的平均值來估算，誤差是可以接受的［9］。但當(dāng)抽樣的樣本容量n很小時，如果直接采用試驗樣本的變異系數(shù)來估計總體，其誤差較大。如果增加抽樣數(shù)量，不僅會延長工期，而且會增加工程成本，這顯然也是不可取的。數(shù)理統(tǒng)計中的極差理論能夠較好地解決小樣本產(chǎn)生的問題，就是由抽檢樣本的極差來估算總體樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，并將其作為對數(shù)正態(tài)分布的參數(shù)之一［9］。

假定基樁豎向承載力總體概率分布為對數(shù)正態(tài)分布，其概率分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為

根據(jù)抽樣分布的定理可知［10］，從總體樣本中隨機(jī)抽取n(n≥2)個樣本點，其中最大值與最小值之差定義為極差ΔR，則ΔR概率分布的表達(dá)式為

式(6)表示當(dāng)承載力R服從對數(shù)正態(tài)分布時，極差比α的概率分布函數(shù)。它僅與抽樣數(shù)量n和σ或總體樣本變異系數(shù)δR有關(guān)，與總體樣本平均值無關(guān)。該式所表示的概率分布函數(shù)值可采用數(shù)值積分法通過Fortran語言編程進(jìn)行計算［11］。

為了通過抽檢樣本的極差比α估算總體樣本的方差或變異系數(shù)δλg，假定已知總體樣本的方差為σ。根據(jù)式(6)的概率分布函數(shù)來估計抽樣樣本的極差比α，由概率理論可知，可以采用期望值法或中位數(shù)法對總體方差進(jìn)行估計［9］。

對于某一具體的樁基工程，設(shè)第一次抽檢n0根樁，其極差比的實測值α=α0，α0的值能基本反映該工程的地質(zhì)條件和樁的施工水平。因此，理論上再重復(fù)k次抽檢同數(shù)量的n0根樁，其極差比的實測值應(yīng)等概率地分布在α0的兩側(cè)，即后續(xù)抽樣所得的極差比α＜α0的概率在k足夠大時應(yīng)為P=0．5，此時加上第一次的抽樣，總共抽樣次數(shù)N=k+1，其中有k/2次抽樣結(jié)果滿足α＜α0，因此極差比α＜α0的概率可近似表達(dá)為

當(dāng) k → ∞ 時，F(xiàn)ΔR(α0)=0．5，故本文選用中位數(shù)法來估計抽樣樣本的極差比，它與期望值相比的優(yōu)點是不受少數(shù)特別大數(shù)值的影響，只代表一次抽樣時最可能出現(xiàn)的值，由此估計極差比α的公式為

根據(jù)工程實際，極差比的合理取值范圍一般為 α =0．1～0．4［8］。由上式求解對應(yīng)的 α 值，然后求出變異系數(shù)δR，令系數(shù)C= α/δR，求出系數(shù)C后，就可根據(jù)抽樣樣本的極差比來估計總體樣本的變異系數(shù)。表1給出了不同極差比時系數(shù)C和δR的計算結(jié)果。

表1 系數(shù)C和δR的計算結(jié)果

3 可靠度指標(biāo)計算

3．1 計算公式的推導(dǎo)

假定上部結(jié)構(gòu)承受的永久荷載標(biāo)準(zhǔn)值為G，可變荷載標(biāo)準(zhǔn)值為Q，其相應(yīng)的荷載效應(yīng)分別為SG和SQ，它與荷載成線性關(guān)系。因此，其統(tǒng)計參數(shù)可用荷載的統(tǒng)計參數(shù)代替［12］。根據(jù)現(xiàn)行設(shè)計規(guī)范的要求，基樁豎向承載力的設(shè)計表達(dá)式為

式中，F(xiàn)OS表示傳統(tǒng)應(yīng)力設(shè)計法下的安全系數(shù)，一般取2．0［3］。因此，由式(9)可得基樁豎向承載力極限狀態(tài)方程表達(dá)式為

無量綱化后的極限狀態(tài)方程為［1］

式中，λR為基樁承載力的偏差系數(shù);λG和λQ為永久荷載和可變荷載的偏差系數(shù)。令ρ=SQ/SG，在工程設(shè)計中，ρ的取值范圍為0．1～2．0。

在分析基樁承載力的可靠度時，荷載對可靠度的影響不會隨著其他條件的改變而產(chǎn)生較大的改變，所以荷載可以看作“常量”［1］。永久荷載的概率分布服從正態(tài)分布，可變荷載的概率分布服從極值Ⅰ型分布，其統(tǒng)計參數(shù)為

式中，μ(λG)和μ(λQ)分別表示永久荷載和可變荷載均值;σ(λG)和σ(λQ)分別表示永久荷載和可變載荷方差。因此，永久荷載和可變荷載的密度函數(shù)的表達(dá)式分別為

采用當(dāng)量正態(tài)化方法通過迭代求出驗算點和可靠度指標(biāo)β，具體計算過程可參見參考文獻(xiàn)［13］。

當(dāng)基樁豎向承載力概率分布函數(shù)為對數(shù)正態(tài)分布時，偏差系數(shù)λR也服從對數(shù)正態(tài)分布。在一般正常情況下，其平均值大于或等于設(shè)計采用的標(biāo)準(zhǔn)值，即μλR≥1．0，變異系數(shù)的合理取值范圍一般為0．1～0．4。表2和表3分別給出了λR的均值 μλR分別為 1．00 和 1．18，以及變異系數(shù) δλR分別為0．15、0．20、0．25、0．30 和 0．35 時 β 的計算結(jié)果。

表2 可靠度計算結(jié)果(μλR=1．00時)

表3 可靠度計算結(jié)果(μλR=1．18時)

3．2 目標(biāo)可靠度的選擇

當(dāng)可靠度指標(biāo)確定后，應(yīng)該用目標(biāo)可靠度來衡量該工程是否滿足實際需要［14］。由于巖土工程尤其是樁基工程中存在很多不確定因素，巖土工程可靠度發(fā)展比較滯后，目前還沒有相關(guān)規(guī)范規(guī)定巖土工程目標(biāo)可靠度值。國內(nèi)外學(xué)者對目標(biāo)可靠度進(jìn)行了一些研究，取得了一些有意義的成果。表4給出了美國軍工部對可靠度指標(biāo)和安全等級關(guān)系的規(guī)定。表5給出了《建筑結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》(GB 50068-2001)對建筑結(jié)構(gòu)構(gòu)件承載力規(guī)定的目標(biāo)可靠度指標(biāo)［15］。

對于不同的基礎(chǔ)形式，其目標(biāo)可靠度的選取值是有很大差別的。譬如，文獻(xiàn)［16，17］建議將打入樁承載力的目標(biāo)可靠度指標(biāo)取為2．0～2．5，鉆孔灌注樁為2．5 ～3．0;文獻(xiàn)［18，19］建議用3．2作為基礎(chǔ)工程承載力的目標(biāo)可靠度指標(biāo)。關(guān)于基樁檢測合格率的目標(biāo)可靠度，鄭俊杰等人［20］建議采用3．2;對于更加復(fù)雜的多樁型復(fù)合地基沉降問題，劉勇等人［21］建議將3．0作為目標(biāo)可靠度。

表4 可靠度指標(biāo)與失效概率的關(guān)系

表5 建筑結(jié)構(gòu)構(gòu)件承載力極限狀態(tài)設(shè)計目標(biāo)可靠指標(biāo)

綜合以上目標(biāo)可靠度指標(biāo)的研究成果，本文建議取3．2作為基樁承載力的目標(biāo)可靠度指標(biāo)來進(jìn)行研究。

4 實例分析

本文通過驗證文獻(xiàn)［8］中關(guān)于極差比的規(guī)定是否滿足實際工程的可靠度要求來說明上述各節(jié)計算結(jié)果的應(yīng)用過程。假定抽檢n個樣本實測值的極差比約為30%，根據(jù)表1的計算結(jié)果可求得總體樣本的變異系數(shù)，當(dāng)取實測結(jié)果的平均值為設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)值時，可參照表2的結(jié)果和方法計算相應(yīng)的可靠度指標(biāo)，它是抽檢數(shù)量n和荷載比ρ的函數(shù)。表6列出了極差比為30%時可靠指標(biāo)β的計算結(jié)果，由表2的結(jié)果可知，由于荷載比ρ的變化對可靠指標(biāo)β的影響并不顯著，因此表6中未把荷載比ρ作為變量列出，而是將可靠指標(biāo)β隨ρ的變化范圍列出。

表6 α=0．30時可靠指標(biāo)的計算結(jié)果

由表6可知，當(dāng)抽檢樁數(shù) n≥3時，β≥3．2，因此取其平均值作為基樁豎向極限承載力，其可靠指標(biāo)能滿足3．0要求;當(dāng) n=2時 β=1．8～2．3＜3．2，可靠度指標(biāo)不能滿足要求，因此，抽檢2根樁時不能取平均值，這與文獻(xiàn)［8］的規(guī)定一致;當(dāng)抽檢樁數(shù)為2且極差比α=0．30時，由表1可知總體樣本的變異系數(shù) δλR≈0．35，按照文獻(xiàn)［8］的規(guī)定，應(yīng)取低值作為基樁豎向極限承載力，此時μλR=1．18，由表3的結(jié)果知，可靠度指標(biāo) β=2．3～2．7＜3．2，不能滿足要求。由表 3 還可知，當(dāng) μλR=1．18，δλR=0．25 時，可靠度指標(biāo) β =3．3 ～ 3．5＞3．2，滿足要求。此時可據(jù)表1反算極差比，由表1可知，當(dāng)α=0．2～0．3時，比例系數(shù)C的平均值ˉC=(0．92+0．87)/2=0．895，則極差比α=0．895 ×0．25≈0．22，因此當(dāng)抽檢樁數(shù)為 2 根時，即使取低值，也應(yīng)限制其極差比不超過22%，否則應(yīng)增加抽檢數(shù)量或降低設(shè)計取值。

5 結(jié)論

(1)當(dāng)抽檢樁數(shù)n≥3時，相關(guān)檢測規(guī)范的規(guī)定與概率理論計算的結(jié)果是一致的。

(2)當(dāng)抽檢樁數(shù)n=2時，極差不超過平均值的22%，可取低值作為基樁豎向極限承載力。

(3)如果抽檢3根以上的樁，其極差較小時，根據(jù)本文可靠度指標(biāo)的分析結(jié)果，理論上設(shè)計采用值可比實測結(jié)果的平均值適當(dāng)提高，提高的幅度可以用本文所給方法的計算值為參考，綜合考慮其他條件決定，畢竟基樁豎向承載力隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)是近似的。

(4)本文介紹的計算方法可供結(jié)構(gòu)設(shè)計人員根據(jù)破壞性試樁的實測結(jié)果確定最終的設(shè)計取值時參考。

本文方法的應(yīng)用條件，對于極差必須是全部試樁均達(dá)到破壞標(biāo)準(zhǔn)后的結(jié)果之差，此時據(jù)此估算的總體樣本的變異系數(shù)才具有可信性，只要有一根試樁未破壞，其值會影響樣本的真實性。在實際工程的檢測中，往往因各種原因很多檢測的試樁沒有達(dá)到破壞，此時不能應(yīng)用本文介紹的極差方法分析基樁豎向承載力的可靠度。

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