張曉軍， 陳長樂, 高 賓,， 王安祥

(1.西安工程大學(xué)理學(xué)院， 陜西 西安 710048;2.西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院， 陜西 西安 710072)

0 引 言

聲子色散關(guān)系的研究對(duì)固體材料的擴(kuò)散和相變的了解都非常重要,對(duì)固體材料的態(tài)密度、晶格摩爾熱容、德拜溫度以及熱膨脹系數(shù)等熱力學(xué)性質(zhì)的定量研究也是必不可少[1].一直以來，對(duì)聲子色散關(guān)系的研究主要圍繞兩個(gè)方面，即實(shí)驗(yàn)測(cè)量和理論模擬.由于實(shí)驗(yàn)中很難得到單純的一維原子鏈，因此對(duì)一維原子鏈色散關(guān)系的研究只停留在定性說明而缺少實(shí)驗(yàn)依據(jù)和理論數(shù)據(jù)支撐.我們?cè)槍?duì)具體材料，在一維單原子鏈模型的基礎(chǔ)上用數(shù)值模擬的方法得到了一維單原子鏈的色散曲線，彌補(bǔ)了沒有具體數(shù)據(jù)支撐的空缺[2].三維聲子色散的研究已趨于成熟.一方面，人們用He原子的非彈性散射(HAS)測(cè)量了大量晶體的聲子譜并得到了很好的色散曲線[3,4]；另一方面把原子勢(shì)函數(shù)和晶格動(dòng)力學(xué)相結(jié)合再現(xiàn)了晶體聲子色散曲線的實(shí)驗(yàn)結(jié)果[5].隨著實(shí)驗(yàn)技術(shù)的發(fā)展，二維聲子譜的實(shí)驗(yàn)探測(cè)已成為可能，其實(shí)驗(yàn)手段主要有電子能量損失譜(EELS)和He原子的非彈性散射(HAS).通過這些方法已得到大量晶體的二維聲子譜的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[6, 7]，然而缺少理論數(shù)據(jù)的對(duì)比和驗(yàn)證成為了一個(gè)問題.本文試探性地建立了體心立方結(jié)構(gòu)金屬Ta、W和Mo的二維單層原子的晶格振動(dòng)模型，在此基礎(chǔ)上把兩體勢(shì)和晶格動(dòng)力學(xué)理論相結(jié)合，導(dǎo)出了該模型下二維單層原子力常數(shù)的表達(dá)式和相對(duì)應(yīng)的動(dòng)力學(xué)矩陣，然后用數(shù)值計(jì)算的方法模擬了沿ГΧ、ГM和ΧM3個(gè)高對(duì)稱方向Ta、W和Mo 3種金屬的二維單原子層的色散曲線，為二維聲子譜的理論分析和數(shù)值模擬奠定了基礎(chǔ)，并進(jìn)一步為二維聲子譜的實(shí)驗(yàn)結(jié)果提供了理論依據(jù).

1 模 型

1.1 二維單原子層的晶格振動(dòng)模型

Ta、W和Mo均屬于體心立方結(jié)構(gòu)，其晶體結(jié)構(gòu)如圖1所示，晶格常數(shù)為a.在晶體結(jié)構(gòu)中選取(001)晶面作為二維單層原子平面，如圖2所示，其中最近鄰原子間距為a，原子質(zhì)量為M.

圖1 體心立方晶體結(jié)構(gòu) 圖2 二維單層原子

由于熱振動(dòng)，原子會(huì)離開它們的平衡位置，以圖2線框中間的原子為參考原子n，設(shè)該原子離開平衡位置的瞬時(shí)位移為u(n)，與之相近鄰的其它原子的瞬時(shí)位移為u(m)(m=1,2,3,…).當(dāng)?shù)趍個(gè)原子移動(dòng)時(shí)，原子n就會(huì)受到這些原子的作用力，則在簡諧近似下，原子n的運(yùn)動(dòng)方程為：

(1)

式中α,β=x,y是笛卡爾坐標(biāo)的分量；Φαβ(n,m)是原子力常數(shù)，它表示第m個(gè)原子在β方向位移單位距離時(shí)施加在n原子α方向上的作用力，它是原子間相互作用勢(shì)能的二階導(dǎo)數(shù):

(2)

(1)式的格波解為:

(3)

(4)

其中Dαβ(n,m)是動(dòng)力學(xué)矩陣元，具體表達(dá)式為

(5)

(4)式是A(n)的2個(gè)線性齊次方程，因?yàn)榫Ц裾駝?dòng)總是存在的，故A(n)有非零解的條件是:

|Dαβ(n,m)-δαβω2(q)|=0

(6)

只要知道體系的能量，通過求解力常數(shù)和動(dòng)力學(xué)矩陣就可以得到體系的振動(dòng)頻率ω(q)和波矢q之間的關(guān)系即聲子色散關(guān)系.

1.2 原子勢(shì)函數(shù)模型

原子勢(shì)能函數(shù)在材料科學(xué)、原子動(dòng)力學(xué)、分子振轉(zhuǎn)能級(jí)、等離子體等理論的研究方面起著重要作用.早期經(jīng)常采用的原子勢(shì)能函數(shù)有Morse勢(shì)和Murrell Sorbie勢(shì)[8]，由于這種模型只考慮了兩體相互作用(兩體勢(shì))因而在應(yīng)用中受到了限制.與兩體勢(shì)模型不同，多體勢(shì)模型不僅考慮了兩體作用，而且考慮了多體間的相互作用.人們相繼提出了多體勢(shì)模型用于理論模擬或計(jì)算，其中較具有代表性的多體勢(shì)模型有:密度泛函理論(DFT)[9]、嵌入原子勢(shì)模型(EAM)[5]和ECM方法[10]等.由于二維單層原子間不必考慮多體相互作用，因此我們直接采用張幫為等人所擬合的兩體勢(shì)，其勢(shì)函數(shù)有如下形式[5]：

(7)

其中ks(s=-1～4)是模型參數(shù)(見表1)，下標(biāo)e表示平衡狀態(tài)，r1e表示在平衡狀態(tài)下純?cè)鼐w中原子的最近鄰距離.把模型參數(shù)代入(7)式，可獲得Ta、W和Mo的勢(shì)能曲線，如圖3所示.

表1 Ta、W和Mo的模型參數(shù)

表2 3種金屬二維單層原子的振動(dòng)頻率ω(THz)

2 計(jì)算和結(jié)果

圖3 Ta、W和Mo的勢(shì)能曲線

沿ГΧ、ГM和ΧM3個(gè)對(duì)稱方向即[0ζ]、[1ζ]和[ζζ]方向，Ta、W和Mo 3種金屬二維單層原子的聲子色散曲線如圖4～6所示，其中Γ是二維布里淵區(qū)的中心點(diǎn)，M和X是二維布里淵區(qū)的邊界點(diǎn)，L和T分別表示縱波模和橫波模[11].從圖中可以看出，Ta、W和Mo 3種金屬二維單層原子的聲子色散曲線非常相似，只是數(shù)值上有些差異.沿ГΧ、ГM和ΧM3個(gè)對(duì)稱方向上，3種金屬均有兩個(gè)獨(dú)立模，其中在ГΧ和ГM方向上兩個(gè)獨(dú)立模分別是縱波模和橫波模，而ΧM方向上的兩個(gè)獨(dú)立模既不是橫波模也不是縱波模.在短波長附近(Γ點(diǎn))觀測(cè)到了聲子軟化現(xiàn)象，即頻率和波矢呈線性關(guān)系.在M點(diǎn)附近，兩個(gè)獨(dú)立模發(fā)生簡并形成一個(gè)獨(dú)立模.這主要因?yàn)樵诘谝徊祭餃Y區(qū)內(nèi)，與其它點(diǎn)相比，M點(diǎn)的對(duì)稱性較高，使兩個(gè)獨(dú)立模簡并為一個(gè)模.如圖4～6所示，在相同的對(duì)稱方向上，3種金屬Ta、W和Mo的頻率依次增大，這是由于3種金屬對(duì)應(yīng)的原子質(zhì)量(M)依次減小的緣故，因?yàn)樵谙嗤h(huán)境溫度下，質(zhì)量越小的原子狀態(tài)改變?cè)娇欤虼祟l率越大，反之亦然.

圖4 Ta二維單原子層的色散曲線 圖5 W二維單原子層的色散曲線

圖6 Mo二維單原子層的色散曲線

3 結(jié)束語

目前，二維聲子譜的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相當(dāng)豐富，然而缺少理論模型和理論數(shù)據(jù)的對(duì)比，對(duì)聲子譜的研究也只能停留在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，因此建立二維單層原子的晶格振動(dòng)模型并借助計(jì)算機(jī)模擬獲得色散曲線的第一手?jǐn)?shù)據(jù)資料就顯得尤為重要.本文構(gòu)建了體心立方結(jié)構(gòu)金屬Ta、W和Mo的二維單層原子的晶格振動(dòng)模型，在此基礎(chǔ)上把運(yùn)動(dòng)方程和兩體勢(shì)相結(jié)合，在諧和近似下模擬了沿ГΧ、ГM和ΧM3個(gè)對(duì)稱方向Ta、W和Mo 3種金屬的二維單層原子的色散曲線，并對(duì)這些曲線進(jìn)行了分析，為二維聲子譜的理論分析和數(shù)值模擬奠定了基礎(chǔ).該方法也可用于其它晶體結(jié)構(gòu)的二維單層原子色散關(guān)系的模擬計(jì)算，如面心立方晶體結(jié)構(gòu).

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