樊金榮

(1中南民族大學(xué) 計算機科學(xué)學(xué)院，武漢 430074；2 華中科技大學(xué) 控制科學(xué)與工程系，武漢 430074)

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(NCS)的分析與設(shè)計大多是圍繞網(wǎng)絡(luò)時延而展開的，已經(jīng)取得了不少的成果[1-4].研究網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中，通常假設(shè)傳感器的采樣周期為給定的常數(shù).然而實際網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中，隨計算機負載不同，器件故障及外部干擾等因素，采樣周期會在某個標稱值左右波動.近幾年來，變采樣周期的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)引起關(guān)注[5-13].文[5] 將采樣周期表示為有限個元素的集合{c1,c2,…，cn}，同時規(guī)定c1

另一方面，隨著系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜化，系統(tǒng)可靠性、安全性的要求也愈來愈高，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的容錯控制也引起了廣泛的關(guān)注[3,4,12-15].文[3,4]構(gòu)建了NCS時延模型，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和容錯思想，給出了系統(tǒng)參數(shù)不確定、執(zhí)行器或傳感器失效時保證系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的設(shè)計算法.文[12]針對存在外界擾動和參數(shù)不確定性的網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)，設(shè)計了執(zhí)行器或傳感器失效時具有魯棒控制器并給出了魯棒完整性的充分條件.文[13]分析了含擾動的情況下，網(wǎng)絡(luò)化閉環(huán)故障系統(tǒng)具有魯棒完整性的充分條件.這些控制器的設(shè)計中，僅考慮執(zhí)行器或傳感器正?；蚴煞N特殊情況.都是在輸入矩陣與反饋增益矩陣之間引入開關(guān)矩陣L，使其對角線元素li=0表示正常，li=1表示失效.對應(yīng)執(zhí)行器或傳感器部分失靈的情形沒有考慮.同時考慮時變采樣周期和容錯控制，目前報道的成果僅在文[14]中，也是針對執(zhí)行器正常與失效兩種情形設(shè)計的.

本文針對網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)在時變采樣周期情形下，執(zhí)行器從正常、部分失靈到失效這一連續(xù)變化過程的容錯控制器設(shè)計問題，首先將時變采樣網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)離散化，將時變采樣周期的不確定性轉(zhuǎn)化成系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性，建立離散狀態(tài)空間模型.在此基礎(chǔ)上，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式方法，給出了執(zhí)行器部分失靈或完全失效時，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)具有魯棒穩(wěn)定性的充分條件，設(shè)計了保性能魯棒容錯控制器.最后通過仿真實例，驗證了所述方法的有效性.

符號說明：本文中MT表示矩陣M的轉(zhuǎn)置.M>0意味著M為對稱正定矩陣.‖M‖p表示矩陣M相對應(yīng)的范數(shù).“*”表示矩陣不等式中的對稱項.

1 問題的提出與分析

控制系統(tǒng)中，根據(jù)故障發(fā)生的不同部位，故障可以分成3類：傳感器故障、執(zhí)行器故障和系統(tǒng)元器件故障.當前伴隨著現(xiàn)代工業(yè)制造技術(shù)的發(fā)展，傳感器體積小，靈敏度高，進入微型傳感器時代.這使得復(fù)雜控制系統(tǒng)中，大量傳感器冗余硬件備份成為可能，這也是實現(xiàn)傳感器容錯控制一種簡單易行的方法.執(zhí)行器是控制行為實施的器件，完成傳送必要的能量和功率去操縱被控變量的重要工作.由于這一特性，執(zhí)行器通常體積大且質(zhì)量重，如電磁閥等機構(gòu).在控制系統(tǒng)中對執(zhí)行器采用冗余備份是不現(xiàn)實的.在過去的幾十年中，執(zhí)行器故障研究也是活躍的研究領(lǐng)域[14].系統(tǒng)元器件故障改變了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)和動態(tài)規(guī)律，很難檢測與識別，一般不納入容錯控制的考慮范圍中.為了簡單起見，本文僅考慮單個執(zhí)行器發(fā)生故障時的容錯控制器設(shè)計.

考慮網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng),被控對象是一個線性時不變系統(tǒng)，可以用如下形式描述：

(1)

其中，x(t)∈Rn，u(t)∈Rm，y(t)∈Rp，fa(t)∈Rm分別對應(yīng)于系統(tǒng)的狀態(tài)量、控制輸出和感器輸出及執(zhí)行器故障.A,B,C是具有適當維數(shù)的已知矩陣.

目前對NCS的研究中，基本上都設(shè)定傳感器為時鐘驅(qū)動、控制器和執(zhí)行器事件驅(qū)動的組合方式.不少的研究者從不同的方面闡述了事件驅(qū)動相比與時鐘驅(qū)動的優(yōu)越性[15].但對于多輸入多輸出(MIMO)的NCS而言，系統(tǒng)有多個傳感器和執(zhí)行器，它們在廣泛的物理空間.若控制器采用事件驅(qū)動，將會導(dǎo)致控制器節(jié)點頻繁訪問網(wǎng)絡(luò)，使網(wǎng)絡(luò)中傳送的令牌(Token)信號增加，占用大量的通訊帶寬，從而加重網(wǎng)絡(luò)時延和數(shù)據(jù)擁塞.另外，事件驅(qū)動相比時鐘驅(qū)動比較難于實現(xiàn)，而且一些實際的控制網(wǎng)絡(luò)不支持事件驅(qū)動.因此對這樣的NCS，控制器采用時鐘驅(qū)動是合理的選擇.而執(zhí)行器本質(zhì)上是連續(xù)時間設(shè)備，控制信號一經(jīng)到達，執(zhí)行器立即響應(yīng)，作用于物理對象上，其驅(qū)動方式為事件驅(qū)動才是最合理的[2].

為了便于分析，凸現(xiàn)變采樣周期網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)容錯控制的特點，本文作如下合理假設(shè)：

(1)時變采樣周期有界hk∈[hmin,hmax]，h0表示網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)采樣周期標稱值；

(2)時延τk是時變有界的即τk∈[τmin,τmax],且只考慮短時延的情形，即hmax

(3)系統(tǒng)中傳感器和控制器為時間驅(qū)動，其采樣周期hk=h0+τk，執(zhí)行器采用事件驅(qū)動方式.

由于執(zhí)行器端有零階保持器，使得被控對象的控制輸入量u(t-τk)在傳感器在采樣時刻tk同步改變，控制量在t∈[tk,tk+1]內(nèi)保持不變且u(t)=u(tk).

對系統(tǒng)(1)以采樣周期hk進行離散化，將時變采樣周期的不確定性轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性，得到如下離散控制系統(tǒng)：

(2)

其中，Δk:=hk-h0表示采樣周期的左右波動范圍.

[ΔAΔB]=DFk[E1E2]=DFk[AB].

引理1 對于常數(shù)矩陣A，當t≥0時，恒有‖eAt‖≤eηt成立.

定理1 含有采樣周期不確定項Fk是范數(shù)有界，τk∈[0,τmax],當實數(shù)β≠0且以下條件滿足時，必有:

(3)

證明當η≠0，由引理1有：

2 容錯控制器設(shè)計

對離散控制系統(tǒng)(2)，在執(zhí)行器故障情形下，時變采樣周期網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)可以表示為如下形式：

(4)

定義1 對系統(tǒng)(4)，如果存在一個控制律u*(k)和一個正數(shù)J*，使得對所有允許的采樣周期不確定性及執(zhí)行器故障，閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，且閉環(huán)性能指標值滿足J≤J*，則稱J*為系統(tǒng)(4)的一個性能上界.

(5)

其中Q和R是給定的對稱正定加權(quán)矩陣.

xT(k)(Q+KTRK)x(k)<0,

(6)

則u(k)=Kx(k)為系統(tǒng)(4)的一個具有性能矩陣P的二次魯棒保性能控制律.

引理2 設(shè)Ψ是任意方陣，當且僅當存在矩陣X>0使得:

(7)

成立時，則矩陣P=X-1使得ΨTPΨ-P+T<0.

引理3[17]給定適當維數(shù)矩陣Y,D和E，其中Y是對稱的，則Y+DFE+ETFTDT<0對所有滿足FTF≤I的矩陣F成立，當且僅當存在一個常數(shù)γ>0，使得Y+γDDT+γ-1ETE<0.

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

ΔV(x(k))=V(x(k+1))-V(x(k))<

-xT(k)(Q+KTRK)x(k)<0,

(13)

故系統(tǒng)是二次穩(wěn)定的.由式(13)得到：

xT(k)Qx(k)+uT(k)Ru(k)<-ΔV(x(k)).

(14)

兩邊從k=0到k=∞求和，利用閉環(huán)系統(tǒng)(8)的漸近穩(wěn)定性，可得：

下面證明定理的第2部分，由式(6),方程展開：

xT(k)(Q+KTRK)x(k)<0?

(15)

由引理1，(15)式等價于存在對稱矩陣X>0，使得：

<0,

(16)

定義矩陣:

式(16)可以改寫為：

(17)

(18)

兩次運用Schur補性質(zhì),再取M=KX，得到:

<0.

(19)

式(19)是線性的，當且僅當滿足εi=0和εi=εimax兩個極端情形時，才能保證所有εi∈[0,εimax]的情形滿足.

εi=0,表示執(zhí)行器無故障正常運行；εi=εmax，表示執(zhí)行器部分失靈最大故障，對應(yīng)這兩種情形，式(19)分別對應(yīng)式(11)和式(12).證畢.

3 仿真實例

借用文[1]中的例子，NCS的被控對象表示為：

(20)

x0=[2 -1]，假定采樣周期標稱值h0=1s，網(wǎng)絡(luò)時延τ∈[0 0.05]，假設(shè)式(5)定義的性能指標中，加權(quán)矩陣為Q=diag{5,2},R=0.5,設(shè)計一個魯棒保性能容錯控制器.運用MatlabLMI工具箱求解器mincx求解，得到閉環(huán)系統(tǒng)在執(zhí)行器正常運行、部分失靈和完全失效時對應(yīng)的控制率和保性能指標上限分別為如表1所示，可知系統(tǒng)在執(zhí)行器故障下能找到相應(yīng)的控制器保持閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)漸進穩(wěn)定的.

表1 執(zhí)行器故障時對應(yīng)的控制率和性能指標

4 結(jié)語

本文討論了短時延網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中，系統(tǒng)的采樣周期在標稱值左右波動時，執(zhí)行器部分失靈或完全失效情形下，閉環(huán)系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定問題.首先將采樣周期的不確定轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性，這樣可以運用標準的魯棒控制方法來處理采樣周期的不確定性.接著提出了系統(tǒng)魯棒保性能指標，給出通過求解LMI問題設(shè)計NCS容錯控制器的設(shè)計方法.仿真實例顯示，該方法可行.

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