余啟港，王順金，于新月，張梅娜

(中南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢430074)

1 問(wèn)題背景

不定方程x3±8=Dy2(其中D為無(wú)平方因子的正整數(shù))，是一類(lèi)基本而重要的不定方程，對(duì)于它已有了不少的研究.1942年Ljunggren W［1］證明了當(dāng)D不能被3或6k+1形的素因子整除時(shí)，方程最多只有一組正整數(shù)解.1981年，柯召和孫琦［2］進(jìn)一步證明了如果D滿(mǎn)足前提條件，并且如果D=0，1，2(mod 4)時(shí)，則方程x3－8=Dy2僅有整數(shù)解(x，y)=(2，0).1991 年，曹玉書(shū)［3］討論了D含有6k+1 形的素因子的情況，給出了x3±8=Dy2僅有平凡解的情況.1995 年，羅明［4］證明了x3±8=7y2僅有整數(shù)解(x，y)=(2，0).2006 年，黃永慶［5］證明了x3－8=61y2僅有整數(shù)解(x，y)=(2，0).2007 年，黃永慶和廖江東［6］證明了x3+8=35y2僅有整數(shù)解(x，y)=( －2，0)，(3，±1);x3－8=35y2僅有整數(shù)解(x，y)=(2，0).2008 年，黃永慶［7］證明了x3－8=13y2僅有適合(x，y)=1 整數(shù)解(x，y)=(5，±3).2009 年，劉金［8］證明了x3－8=21y2僅有整數(shù)解(x，y)=(2，0).2009 年，谷楊華［9］證明了x3+8=133y2僅有整數(shù)解(x，y)=( －2，0)，(5，±1).

2 定理及其證明

本文利用Pell方程解遞歸數(shù)列的性質(zhì)［10］來(lái)研究不定方程x3－8=3py2，證明了定理1.

定理1對(duì)于不定方程x3－8=3py2，在x為奇數(shù)條件下，對(duì)于p=5，13，29，37，53，61，都無(wú)整數(shù)解.

證明設(shè)f=(x－2，x2+2x+4)，則有f|x2+2x+4－(x－2)2=6x和f|x2+2x+4－x(x－2)=4x+4，又由x為奇數(shù)知f為奇數(shù)，所以有f|(3x，x+1)，從而f|3x－3(x+1)= －3，得f=1或3.

由于(x－2，x2+2x+4)=1或3及x2+2x+4=(x+1)2+3＞0，故不定方程x3－8=3py2得出下列4種可能的分解，其中a，b為互素的正整數(shù).

情形Ⅰx－2=3pa2，x2+2x+4=b2，y=ab;

情形Ⅱx－2=3a2，x2+2x+4=pb2，y=ab;

情形Ⅲx－2=pa2，x2+2x+4=3b2，y=ab;

情形Ⅳx－2=a2，x2+2x+4=3pb2，y=ab.

以下分別討論這4種情形.

情形Ⅰ由x2+2x+4=b2即(x+1)2+3=b2得(x+1+b)(x+1－b)=－3，于是又可有以下4種分解:

①x+1+b=3，x+1－b= －1得x=0，b=2;

②x+1+b= －3，x+1－b=1得x= －2，b=－2;

③x+1+b=1，x+1－b= －3得x= －2，b=2;

④x+1+b= －1，x+1－b=3得x=0，b= －2.

所以x=0或－2，與x為奇數(shù)不合，故該情形無(wú)解.

情形Ⅱ由x2+2x+4=pb2，得(x+1)2+3=pb2，把x=3a2+2 代入得 9(a2+1)2+3=pb2，再由p為素?cái)?shù)p＞3得3|b，方程兩邊取mod 9知3=0(mod 9)，這是不可能的，故該情形無(wú)解.

情形Ⅲ由x2+2x+4=3b2，得(x+1)2+3=3b2，把x=pa2+2代入得(pa2+3)2+3=3b2及p為素?cái)?shù)且p＞3知3|a，令a=3c，得3(3pc2+1)2+1=b2即有b2－3(3pc2+1)2=1及22－3×12=1，根據(jù)pell方程解的性質(zhì)［10］知，所以有

于是xn=4xn－1－xn－2，x0=1，x1=2;yn=4yn－1－yn－2，y0=0，y1=1.

因?yàn)閤為奇數(shù)及p為素?cái)?shù)且p＞3，從x=pa2+2知a=1(mod 2)，再?gòu)腶=3c得c=1(mod 2).又因?yàn)閥n=3pc2+1，所以 2|yn.由yn=4yn－1－yn－2，y0=0，y1=1可知當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，yn為偶數(shù)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，yn為奇數(shù).所以當(dāng)x=1(mod 2)及p為素?cái)?shù)且p＞3 時(shí)，有c=1(mod 2)，2|yn，2|n.

下面對(duì)yn的遞歸關(guān)系取mod3p.

(1)當(dāng)p=5時(shí)，對(duì)yn的遞歸關(guān)系取mod15，得到周期為6 的剩余類(lèi)序列{［y6n+d］:d=0，1，2，3，4，5}.這是因?yàn)棰佼?dāng)n=0時(shí)yd(mod 15)=yd;②假設(shè)n=k時(shí)，y6k+d(mod 15)=yd成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，y6(k+1)+d=y6k+6+d=4y6k+5+d－y6k+4+d=15y6k+4+d－4y6k+3+d=56y6k+3+d－15y6k+2+d=209y6k+2+d－56y6k+1+d=780y6k+1+d－209y6k+d(mod 15)=y6k+d(mod 15)=yd，所以y6n+d(mod 15)=yd(d=0，1，2，3，4，5)成立.所以在 2|n時(shí)，有yn≡y0，y2，y4≡0，4，－4(mod 15)，這與yn=(15c2+1)(mod 15)=1矛盾!故p=5時(shí)，情形Ⅲ原不定方程無(wú)整數(shù)解.

(2)當(dāng)p=13時(shí)，同理可知，對(duì)yn的遞歸關(guān)系取mod 39，得到周期為12的剩余類(lèi)序列.在2|n時(shí)，有yn=0，4，17，0，－17，－4(mod39)，這與yn=(39c2+1)(mod 39)=1矛盾!故p=13時(shí)，情形Ⅲ原不定方程無(wú)整數(shù)解.

(3)當(dāng)p=29時(shí)，對(duì)yn的遞歸關(guān)系取mod 87，得到周期為30的剩余類(lèi)序列.在2|n時(shí)，有yn=0，4，－31，－3，－11，23，－15，28，－28，15，－23，11，3，31，4(mod 87)，這與yn=(87c2+1)(mod 87)=1矛盾!故p=29時(shí)，情形Ⅲ原不定方程無(wú)整數(shù)解.

(4)當(dāng)p=37時(shí)，對(duì)yn的遞歸關(guān)系取mod 111，得到周期為36的剩余類(lèi)序列.在2|n時(shí)有yn=0，4，56，3，37，23，3，19，41，0，－ 41，－ 19，－ 3，－ 23，－97，－3，－56，－4(mod 111)，這與yn=(111c2+1)(mod 111)=1矛盾!故p=37時(shí)，情形Ⅲ原不定方程無(wú)整數(shù)解.

(5)當(dāng)p=53時(shí)，對(duì)yn的遞歸關(guān)系取mod 159，得到周期為18的剩余類(lèi)序列.在2|n時(shí)，有yn=0，4，56，－15，52，－52，15，－56，－4(mod 159)，這與yn=(159c2+1)(mod 159)=1矛盾!故p=53時(shí)，情形Ⅲ原不定方程無(wú)整數(shù)解.

(6)當(dāng)p=61時(shí)，對(duì)yn的遞歸關(guān)系取mod 183，得到周期為60的剩余類(lèi)序列.在2|n時(shí)yn=0，4，56，48，67，－ 25，－51，43，－ 79，－ 51，－ 86，－55，48，－5，65，0，－65，5，－ 48，55，－86，51，79，－43，51，25，－67，－48，－56，－4(mod 183)，這與yn=(183c2+1)(mod 183)=1矛盾!故p=61時(shí)，情形Ⅲ原不定方程無(wú)整數(shù)解.

所以由上面討論可知p=5，13，29，37，53，61 在情形Ⅲ下原不定方程都無(wú)整數(shù)解.

情形Ⅳ因?yàn)閤=1(mod2)，故a=1(mod2)，由式x－2=a2有x=3(mod8)代入x2+2x+4=3pb2中得3pb2=3(mod8)即pb2=1(mod8).我們分別把p=5，13，29，37，53，61 代入得 5b2=1(mod8)，顯然這是不可能的.故p=5，13，29，37，53，61 在情形Ⅳ下無(wú)整數(shù)解.

綜合上述可知，不定方程x3－8=3py2，在x為奇數(shù)條件下，對(duì)于p=5，13，29，37，53，61 時(shí)，都無(wú)整數(shù)解.

［1］Ljunggren W.Satzeber unbestimm te Gleichungen［J］.Skr Norske Vid Akad Oslo，1942(9):53.

［2］柯 召，孫 琦.關(guān)于不定方程x3±8=Dy2和x3±8=3py2［J］.四川大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1981，18(4):1-5.

［3］曹玉書(shū).關(guān)于不定方程x3±8=Dy2［J］.黑龍江大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1991(1):22-25.

［4］羅 明.關(guān)于不定方程x3±8=7y2［J］.重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1995(3):29-31.

［5］黃永慶.關(guān)于不定方程x3－8=61y2［J］.重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2006(6):24-26.

［6］黃永慶，廖江東.關(guān)于不定方程x3±8=35y2［J］.重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2007(4):19-21.

［7］黃永慶.關(guān)于不定方程x3－8=13y2［J］.內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2008(1):42-44.

［8］劉 金.關(guān)于不定方程x3－8=21y2［J］.延安大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2009(2):12-15.

［9］谷楊華.關(guān)于不定方程x3+8=133y2［J］.云南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2009(10):305-309.

［10］柯 召，孫 琦.談?wù)劜欢ǚ匠蹋跰］.北京:高等教育出版社，1987.