226015 江蘇省南通市小海中學(xué) 黃 鋒

情境激趣 巧妙設(shè)問 活動探究 反思提升
——《數(shù)列的概念及表示》的教學(xué)設(shè)計評析

226015 江蘇省南通市小海中學(xué) 黃 鋒

數(shù)列是刻畫離散現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，數(shù)列一章以現(xiàn)實問題為背景，體現(xiàn)了“現(xiàn)實問題情境——建立數(shù)學(xué)模型——解決實際問題”的過程．《數(shù)列的概念及表示》是數(shù)列第一課，主要教學(xué)目的是通過本節(jié)課的教學(xué)使學(xué)生了解數(shù)列的概念及其表示方法，了解數(shù)列的分類，了解數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系;理解數(shù)列通項公式的有關(guān)概念，并會用通項公式寫出數(shù)列的任意一項;對于比較簡單的數(shù)列，會根據(jù)其前幾項寫出它的通項公式．

為了調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，本課設(shè)計了有趣的故事情境．為了使學(xué)生能夠輕松地掌握看似零碎的概念，本節(jié)課通過提供大量的實例，讓學(xué)生觀察、思考、自主探究、并感悟概念的實質(zhì)．整節(jié)課以問題鏈的形式展開，通過巧妙設(shè)問，引發(fā)學(xué)生思考，通過反思、提煉達到鞏固知識的目的;學(xué)生探究性學(xué)習(xí)活動貫穿整個解決問題的始終．本文主要從三方面結(jié)合教學(xué)設(shè)計來談?wù)剬Α稊?shù)列的概念及表示》的教學(xué)實施過程的一些認(rèn)識．

1 優(yōu)化數(shù)學(xué)情境，激發(fā)探究興趣

課堂教學(xué)中，教師有目的地引入或創(chuàng)設(shè)具有一定情緒色彩的、以形象為主體的生動具體的情境，可以引起學(xué)生一定的態(tài)度體驗，激發(fā)學(xué)生的情感，從而幫助學(xué)生更好地理解教材．本課教學(xué)第一部分安排了四組情境，具體內(nèi)容如下.

情境1 一個真實的故事

普盧士天文學(xué)家提丟斯(Titius，1729－1796)推出了太陽到行星距離的經(jīng)驗定律，并預(yù)言了新的行星的存在!

提丟斯的具體做法是:將0加在這列數(shù)字的最前面，然后每個數(shù)字都加上4，再將每個數(shù)字都除以10，得到一列數(shù)，將這列數(shù)列成表格與當(dāng)時已經(jīng)探明的太陽系六大行星與太陽的距離作對比:

設(shè)計意圖說明:第一組情境通過給學(xué)生講一個真實的故事，引導(dǎo)學(xué)生觀察表格，發(fā)現(xiàn)第二組數(shù)，與當(dāng)時已發(fā)現(xiàn)的太陽系中，太陽距離六大行星的實際距離有緊密的聯(lián)系，天文學(xué)家提丟斯就是利用這個表格預(yù)言了天王星的存在，請同學(xué)們猜想2．8個天文單位處是否有行星的存在?通過這個活動，激發(fā)學(xué)生的興趣，然后告知學(xué)生，學(xué)完本節(jié)課后，同學(xué)們可以利用本節(jié)課所學(xué)知識繼續(xù)研究表格，也許同學(xué)們也能預(yù)言新的行星的存在，成為天文學(xué)家．這里主要目的是激發(fā)起學(xué)生的興趣和求知欲，為學(xué)生學(xué)好本節(jié)知識做好鋪墊．后三組情境通過名人名言，日常生活中經(jīng)常碰到的與數(shù)字相關(guān)的問題，得到③④⑤三列數(shù)，為第二部分學(xué)生活動做好準(zhǔn)備．

2 巧設(shè)數(shù)學(xué)問題，開展探究活動

新課程提倡教師創(chuàng)設(shè)探究性活動，讓學(xué)生通過自主參與學(xué)習(xí)活動，獲得親身體驗，逐步形成善于質(zhì)疑、樂于探究、勤于動手、努力求知的積極態(tài)度．?dāng)?shù)學(xué)探究通常圍繞一個需要解決的實際問題展開．為了能夠有效地開展探究活動，本課圍繞教學(xué)主線展開有效的設(shè)問，引導(dǎo)和鼓勵學(xué)生自主地探究，設(shè)計解決問題的方案，得出結(jié)論．主體教學(xué)過程如下.

2.1 巧妙設(shè)計教學(xué)思路，提煉課堂的教學(xué)主線

2.2 巧妙組織課堂活動，激發(fā)學(xué)生的參與熱情

請同學(xué)們觀察情境中的五組數(shù)，通過小組討論，探究它們的共同特征?

結(jié)論:(1)上述問題情境中都是一系列數(shù);

(2)這些數(shù)有一定的次序，前后位置不能顛倒，并且有些數(shù)可以相同，但表示不同的意義．如情境4中，出現(xiàn)了兩個16，但第一個16表示1992年參加奧運會獲得的金牌數(shù)，第二個16表示1996年參加奧運會獲得的金牌數(shù)．

通過討論，得到這些情境的共同特點:都是一組按照一定次序排列的數(shù)．

教師:(歸納)我們給出的這些數(shù)都是一列列的，并且是有一定次序的，前后位置不能顛倒．我們把這樣的按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列．(引入課題，板書)．

設(shè)計意圖說明:學(xué)生通過觀察五組數(shù)，首先發(fā)現(xiàn)它們都是一列一列的數(shù)，初步感知這列數(shù)有順序關(guān)系，數(shù)字可以相同，教師通過情境中實例分析，概括總結(jié)出數(shù)列的概念．

2.3 巧妙設(shè)計數(shù)學(xué)問題，提升學(xué)生的思維水平

(1)歸納總結(jié)，形成數(shù)列的概念．

按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列．

由數(shù)列的概念知:數(shù)列的研究對象是數(shù);掌握數(shù)列的概念要抓住兩個關(guān)鍵詞:

一列、次序．(板書)

問題 1 1，3，5，7 是一個數(shù)列，7，5，3，1 也是一個數(shù)列，

這兩個數(shù)列是不是同一個數(shù)列呢?

問題 2 1，1，1，1，1 是不是一個數(shù)列呢?－1，1，－1，1，－1，1 呢?

設(shè)計意圖說明:通過問題1的辨析，使學(xué)生理解，數(shù)列中的數(shù)是有先后次序的，兩個數(shù)列即使所含的數(shù)完全相同，只要排列的次序不同，就是兩個不同的數(shù)列．通過問題2的辨析使學(xué)生理解，數(shù)列中的數(shù)只要求按一定次序排列，并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)．通過兩個問題的辨析、理解，學(xué)生能夠更好地掌握概念的關(guān)鍵詞，更透徹的理解概念．

(2)歸納總結(jié)，形成有窮數(shù)列和無窮數(shù)列、遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動數(shù)列．

問題3 你能用不同的標(biāo)準(zhǔn)給下列數(shù)列進行分類嗎?

設(shè)計意圖說明:通過學(xué)生自主設(shè)計分類標(biāo)準(zhǔn)，調(diào)動學(xué)生的發(fā)散性思維能力，有一部分學(xué)生會從數(shù)的多少和次序等方面初步進行分類，當(dāng)然也會有學(xué)生從數(shù)的形式上分類，加以點撥，這可為后面寫通項公式打基礎(chǔ)，也會有學(xué)生從前后項的關(guān)系入手，這為后面學(xué)習(xí)等差等比數(shù)列等做好鋪墊．過程中教師提煉概括，給出定義:

一列數(shù)按多少來分類，可分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列．

按大小次序來分，可分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動數(shù)列．(板書)

為了敘述方便，我們把數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．(板書)

各項依次叫做這個數(shù)列的第1項(首項)，第2項，……，第n項，……

問題4 你能不能根據(jù)規(guī)律寫出問題情境中引入的數(shù)列①和③的部分項．

設(shè)計意圖說明:引導(dǎo)學(xué)生通過列表的方法解決問題，在解決問題的過程中，學(xué)生自覺的尋找數(shù)列的項和序號的一一對應(yīng)關(guān)系，為提出問題5做好準(zhǔn)備，教師適時給出數(shù)列的一般形式及表示方法．

(3)數(shù)列的一般形式:a1，a2，a3，…，an，…，或簡記為{an}．

(4)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系:

問題5 從問題4的表中大家可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)列中的每一項與其序號之間形成了一種一一對應(yīng)關(guān)系，請問這種對應(yīng)關(guān)系是我們高一時學(xué)過的什么關(guān)系?

數(shù)列的每一項與該項的序號有對應(yīng)關(guān)系，即在數(shù)列{an}中，對于每一個正整數(shù)n，都有惟一的數(shù)an與之對應(yīng)，對應(yīng)關(guān)系如下表.

設(shè)計意圖說明:問題5通過項與序號的一一對應(yīng)關(guān)系，對比聯(lián)系高一已經(jīng)學(xué)習(xí)的函數(shù)關(guān)系，得出結(jié)論，數(shù)列可以看成定義域為正整數(shù)集N+(或它的有限子集)的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時，該函數(shù)對應(yīng)的一列函數(shù)值就是這個數(shù)列．其表達式即為數(shù)列的通項公式，此問起到承上啟下的作用．

(5)數(shù)列的通項公式:如果數(shù)列{an}的第n項an與n之間的關(guān)系可以用一個式子表示成an=f(n)，那么這個式子就叫做這個數(shù)列的通項公式．

2.4 巧妙設(shè)計數(shù)學(xué)例題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力

例1 根據(jù)下面的通項公式，用列表法分別寫出數(shù)列的前5項，并作出它們的圖象．

設(shè)計意圖說明:讓學(xué)生體會寫數(shù)列的通項公式，主要是尋找an與n的對應(yīng)關(guān)系an=f(n)，具體方法為

(1)整體把握，局部考慮;

(2)合理變形，探求規(guī)律．如果只知道一個數(shù)列的前幾項，寫出這個數(shù)列的通項公式一般不惟一．

3 反思教學(xué)內(nèi)容，提升探究能力

(1)知識結(jié)構(gòu):

問題6 從圖象觀察，數(shù)列的圖象有何特點?

問題7 例1中實際上用了三種方法表示了數(shù)列，你能概括出是哪三種方法嗎?

問題8 數(shù)列的表示法和以前所學(xué)什么知識的表示法是一致的?

設(shè)計意圖說明:設(shè)計以上簡單應(yīng)用并提出三個問題有以下兩個作用:

①通過數(shù)列的圖象和函數(shù)的圖象的比較，得出數(shù)列的圖象由離散的點組成。

②通過數(shù)列的三種表示方法和函數(shù)的表示法的一致性，強化數(shù)列是一個特殊的函數(shù)．

例2 寫出數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù):

(2)探究方法:觀察、歸納、猜想、驗證．

(3)拓展探究:請利用互聯(lián)網(wǎng)搜集與數(shù)列有關(guān)的有趣的數(shù)學(xué)故事，并相互交流．

20110323)