數(shù)學(xué)的表現(xiàn)形式比較枯燥，常給人冰冷的感覺，但是數(shù)學(xué)思考卻是火熱生動活潑的。如何點燃和激起學(xué)生的火熱思考，并使學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)冰冷的美麗，實在是數(shù)學(xué)教育的一項根本任務(wù)。

一、揭示數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)結(jié)，恢復(fù)學(xué)生的火熱思考

數(shù)學(xué)是一種知識體系，通過概念的分析、生成和組織，形成和諧的整體。因此，數(shù)學(xué)的教育形態(tài)之一就是把教科書線性排列的知識“打亂”，同時融合不同學(xué)科的相關(guān)知識，由內(nèi)在聯(lián)結(jié)串起來，建立網(wǎng)絡(luò)。這樣，學(xué)生的火熱思考就在于凸現(xiàn)思維網(wǎng)絡(luò)的“結(jié)點”，在紛繁復(fù)雜的干擾中尋找本質(zhì)的、感性的信息，從而使教學(xué)達到對數(shù)學(xué)內(nèi)在本質(zhì)的認識。如何認識、組織和設(shè)計數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)點，形成學(xué)生火熱的“聯(lián)結(jié)性”思考呢？

中學(xué)代數(shù)的本質(zhì)是不定元和數(shù)字之間的四則運算，特別是分配律的運算。分配律是唯一把加法和乘法聯(lián)系在一起的運算規(guī)律，小學(xué)里的“湊十法”“去括號”都與此有關(guān)。中學(xué)課程的數(shù)學(xué)運算，如合并同類項、因式分解、配方等知識，基本連接點就是分配律。因此在提取公因式的教學(xué)中應(yīng)恢復(fù)學(xué)生關(guān)于分配律的火熱思考，使分配律思想在不同的，或許是相互沒有聯(lián)系的情境中應(yīng)用。

三角函數(shù)的教學(xué)，從靜態(tài)的正弦定理、余弦定理到動態(tài)的周期變化、潮水漲落、彈簧、波的振動以及在軸上均勻旋轉(zhuǎn)的輪子邊緣上熒光點的運動等現(xiàn)象，把代數(shù)式、三角形、單位圓、投影、波、周期等離散的領(lǐng)域聯(lián)系在一起。正是三角函數(shù)使它們形成有機整體，同時它們也是三角函數(shù)在不同側(cè)面的反映。因此三角函數(shù)教學(xué)應(yīng)通過再創(chuàng)造恢復(fù)學(xué)生火熱的思考，使之返璞歸真。讓三角函數(shù)豐滿起來，才能把教科書上定義——公式——圖像——性質(zhì)——應(yīng)用這種冰冷的美麗變成學(xué)生豐富的聯(lián)想，使學(xué)生在某一孤立領(lǐng)域?qū)W習(xí)的主題遷移到另一領(lǐng)域。

余弦定理是代數(shù)式與三角形的聯(lián)結(jié)點。如證明如下題目，用余弦定理觀察代數(shù)式就是關(guān)鍵，是學(xué)生火熱思考的來源。

已知x＞0，y＞0，z＞0，求證：

再如：

設(shè)x，y為實數(shù)且滿足關(guān)系式

(x-1)3+1997(x-1)=1(1-y)3+1997(1-y)=1

則x+y=（）。

通過對題設(shè)的觀察，構(gòu)造出函數(shù)：f(x)=t3+1997t，是奇函數(shù)，且在（-1，1）上是單調(diào)增函數(shù)。

又由已知：

f(x-1)=f(1-y)，所以x-1=1-y，由此得x+y=2。

能否構(gòu)造出上述函數(shù)是學(xué)生的思考是否火熱的檢驗。在解題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生尋找恰當(dāng)?shù)那腥朦c，以跨越關(guān)鍵是實現(xiàn)由知識向能力轉(zhuǎn)化的前提。

綜上所述，返璞歸真，尋求數(shù)學(xué)的本原，找到數(shù)學(xué)知識網(wǎng)的結(jié)點，就能綱舉目張，以一當(dāng)百。中學(xué)數(shù)學(xué)解題，看起來由頭到尾寫了很多步，說到底不過是一個技巧、一個想法而已?；馃岬乃伎纪辉谝恍╆P(guān)節(jié)點上發(fā)生，其余的都是常規(guī)。華羅庚先生說過，讀書要把書讀到越來越薄才好，也是說要在關(guān)節(jié)點上進行火熱的思考，抓住關(guān)鍵，提綱挈領(lǐng)，一本書就成了不多的一點東西。

二、掌握數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的火熱思考

像一切科學(xué)一樣，數(shù)學(xué)也是一門由特定的思想方法組成的學(xué)問。數(shù)學(xué)不等于邏輯，數(shù)學(xué)遠遠多于邏輯，形式化不是數(shù)學(xué)的起源，也不是最終的目標(biāo)。掌握數(shù)學(xué)思想方法，認識客觀世界的數(shù)量變化規(guī)律，并用于認識世界和改造世界，才是數(shù)學(xué)科學(xué)的真諦。因此，通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)使學(xué)生理解數(shù)學(xué)的價值，經(jīng)受思想方法的訓(xùn)練，是提高學(xué)生的火熱思考的重要一環(huán)。

第一，需要宏觀把握數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)的特征是什么?數(shù)學(xué)方法有哪些特點?與其他科學(xué)方法有什么不同?我們應(yīng)當(dāng)用各種方法使學(xué)生體驗數(shù)學(xué)思想的威力，以受到心靈上的震撼。

例如，幾何學(xué)的第一個定理：對頂角相等。量一量、看一看就得到結(jié)論，學(xué)生也不會提出疑義。但是，數(shù)學(xué)教學(xué)不能停留在這一點上。教師應(yīng)當(dāng)在這里介紹古希臘學(xué)者的深邃思考，把它歸于更原始的公理：等量減等量仍為等量。接受對頂角相等的結(jié)論并非難事，認識到此事需要證明才是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)。同樣，學(xué)習(xí)等腰三角形底角相等的結(jié)論也是如此。有證明的必要，才有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的沖動。

第二，要善于使用“平臺”方法。到了19世紀，一方面數(shù)學(xué)因?qū)嶋H需要的刺激而大力發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)，另一方面，則向人類思維能力的深度進軍，非歐幾何、四元數(shù)、群論、分析學(xué)的嚴密化等思辨性數(shù)學(xué)發(fā)展迅速。其中和中學(xué)密切相關(guān)的內(nèi)容有皮亞諾的自然數(shù)公理、戴德金的實數(shù)公理、希爾伯特的幾何公理體系等，這些，以前都作為師范大學(xué)數(shù)學(xué)系的必修課。其實，在中學(xué)這些都可以作為平臺使用，我們不必知道它們的具體內(nèi)容，只要知道它的價值，然后“大膽地往前走”就是了。打個比方，我們都了解并會使用WINDOWS、幾何畫板等軟件平臺，但無須知道它們的內(nèi)部結(jié)構(gòu)、不必懂得它們是如何做出來的。

會用“平臺”是一種數(shù)學(xué)教學(xué)方法。其實，面積也是“平臺”，我們從未定義過面積，卻一直在使用。實數(shù)系和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，大家也默認這一“平臺”(線段的可公度理論相當(dāng)煩瑣)。有人建議，瞬時速度是否可以作為“平臺”接受下來，而對數(shù)的首數(shù)和尾數(shù)、開平方、三角恒等變換，乃至二次曲線等問題，是否都該問問它們的出發(fā)點在哪里?這些都是火熱的數(shù)學(xué)思考的一部分，是從數(shù)學(xué)知識的教育形態(tài)出發(fā)應(yīng)該思考的問題。

第三，數(shù)學(xué)建模方法。這是數(shù)學(xué)基本方法之一，徐利治先生早有論述，可惜我們通?？吹降臄?shù)學(xué)思想方法，只是“化歸”一種類型，把建模方法排除在外。這樣做的結(jié)果便是高考中的數(shù)學(xué)應(yīng)用題的得分率始終提不高。實際上，數(shù)學(xué)教學(xué)要恢復(fù)火熱的思考，數(shù)學(xué)建模思想方法是必須抓住的一環(huán)。

數(shù)學(xué)形式化是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分，冰冷的形式化依然是美麗的。我們主張火熱的思考，正是為了能夠欣賞這種美麗。

（通渭縣第二中學(xué)）