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(內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 四川內(nèi)江 641112)

以選修系列3為背景的數(shù)學(xué)高考試題賞析

●趙思林

(內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 四川內(nèi)江 641112)

2003年4月，教育部頒布了《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(實驗)》(以下簡稱《標準》)，從而使高中數(shù)學(xué)新課程改革穩(wěn)步、有序地推進.高考數(shù)學(xué)命題受此影響，出現(xiàn)了以新課程理念為背景的命題新視角，涌現(xiàn)出了越來越多的體現(xiàn)新課程理念的好題目．《標準》中選修系列3由6個專題組成：數(shù)學(xué)史選講、信息安全與密碼、球面上的幾何、對稱與群、歐拉公式與閉曲面分類、三等分角與數(shù)域擴充．由此可以看出，選修系列3涉及較多的高等數(shù)學(xué)知識．這些課程過去在中學(xué)里沒有出現(xiàn)過，這對提高學(xué)生的學(xué)習興趣和開闊學(xué)生的數(shù)學(xué)視野是很有益的．雖然《標準》明確說明“系列3不作為高校選拔考試的內(nèi)容”，但在近幾年的高考試題中出現(xiàn)了一些涉及選修系列3內(nèi)容的優(yōu)秀試題，這些試題背景新穎、設(shè)計獨特，有較高的思維價值和良好的檢測功能．它們對引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)、推動高中數(shù)學(xué)課程改革起到了正面的導(dǎo)向作用．

1 以數(shù)學(xué)史為背景

數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，加強數(shù)學(xué)史教育是培養(yǎng)學(xué)生人文素養(yǎng)的重要舉措．了解數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的重要事件、重要人物與重要成果，對體會數(shù)學(xué)對人類文明發(fā)展的作用，提高學(xué)習數(shù)學(xué)的興趣，感受數(shù)學(xué)家的嚴謹態(tài)度和鍥而不舍的探索精神具有重要的意義．

例1古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)．譬如：他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1，4，9，16，…這樣的數(shù)為正方形數(shù)．下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是

( )

A．289 B．1 024 C．1 225 D．1 378

(2009年湖北省數(shù)學(xué)高考理科試題)

圖1

圖2

例22002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會標是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的．弦圖是由4個全等直角三角形與1個小正方形拼成的1個大正方形(如圖3).如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為θ，那么cos2θ的值等于________．

(2007年北京市數(shù)學(xué)高考文、理科試題)

圖3

2 以信息安全與密碼為背景

數(shù)論是信息安全與密碼十分必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，它在現(xiàn)代信息理論、信息安全、保密通信中有著非常廣泛的應(yīng)用．

例3為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按照一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息．設(shè)定原信息為a0a1a2,ai∈{0,1}(i=0,1,2)，傳輸信息為h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2,⊕運算規(guī)則為：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息為111，則傳輸信息為01111．傳輸信息在傳輸過程中受到干擾可能導(dǎo)致接收信息出錯，則下列接收信息一定有誤的是

( )

A.11010 B.01100 C.10111 D.00011

(2008年陜西省數(shù)學(xué)高考文、理科試題)

賞析本題涉及到選修3-2中的信息安全與密碼．由題意知，選擇支A的原信息為101，選擇支B的原信息為001，選擇支C的原信息若為011，則傳輸信息為10110，而不應(yīng)該是10111，所以C是錯誤的．故選C．

(2006年湖北省數(shù)學(xué)高考理科試題)

圖4

賞析聯(lián)想楊輝三角可以發(fā)現(xiàn):在萊布尼茨三角形中，每個數(shù)都等于它腳下的2個數(shù)字之和,即

點評此題涉及到選修3-2的信息安全與密碼中的初等數(shù)論，是數(shù)論中的單位分數(shù)．本題中的萊布尼茨三角形選自柯召院士、孫琦教授合著的《單位分數(shù)》第39頁．

例5為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密).已知加密規(guī)則為：明文a,b,c,d對應(yīng)密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3，4對應(yīng)密文5，7，18，16．當接收方收到密文14，9，23，28時，則解密得到的明文為

( )

A.4，6，1，7 B.7，6，1，4

C.6，4，1，7 D.1，6，4，7

(2007年陜西省數(shù)學(xué)高考文、理科試題)

圖5

賞析本題涉及到選修3-2中的信息安全與密碼．當考生讀懂題意后，運用方程思想列出4個線性方程，即可獲解．題目中定義了一個新映射(如圖5)，即知道了象，求原象．由條件得

a=6,b=4,c=1,d=7.

故選C．

點評學(xué)生通過此題可初步了解情報或重要信息傳輸?shù)脑砗头椒?，體會信息安全與密碼的重要作用．

3 以球面幾何為背景

球面幾何是一個重要的非歐幾何的數(shù)學(xué)模型，它在大地測量、天體分析、航天航空、全球定位等方面有著廣泛的應(yīng)用．

( )

(2006年四川省數(shù)學(xué)高考理科試題)

賞析本題以球面幾何中的余弦定理為背景．球面三角形ABC的3條邊分別為

由球面三角形的余弦定理

cosa=cosbcosc+sinbsinccosA，

得

4 以“群”為背景

高等代數(shù)和近世代數(shù)是信息安全與密碼的重要基礎(chǔ)，它們在信息安全和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)中有著非常廣泛的應(yīng)用．

例7非空集合G關(guān)于運算⊕滿足：(1)對任意a,b∈G，都有a⊕b∈G；(2)存在e∈G，使得對一切a∈G，都有a⊕e=e⊕a=a，則稱G關(guān)于運算⊕為“融恰集”．現(xiàn)給出下列集合和運算：

①G={非負整數(shù)}，⊕為整數(shù)的加法;

②G={偶數(shù)}，⊕為整數(shù)的乘法;

③G={平面向量}，⊕為平面向量的加法;

④G={二次三項式}，⊕為多項式的加法;

⑤G={虛數(shù)}，⊕為復(fù)數(shù)的乘法.

其中G關(guān)于運算⊕為“融恰集”的是________(寫出所有“融恰集”的序號).

(2006年四川省數(shù)學(xué)高考理科試題)

賞析由定義知,“融洽集”滿足2個條件：(1)G中任意2個元素經(jīng)過運算⊕后結(jié)果還在G中，即非空集合G對運算⊕“封閉”；(2)集合G中存在一個“特殊元素”e.用方程的觀點來看，條件(2)實質(zhì)上是一個方程組，任意給出的a是否能解出e．下面分別判斷這2個條件是否都成立．

①因為任意2個非負整數(shù)相加仍是非負整數(shù)，所以集合G對運算⊕“封閉”；又因為存在單位元e=0，使得對—切a∈G，都有a⊕e=e⊕a=a，所以G關(guān)于運算⊕為“融洽集”．

②因為集合G中不存在單位元，所以G關(guān)于運算⊕不是“融洽集”．

③因為集合G對運算⊕“封閉”，且存在一個單位元e=0滿足條件，所以G關(guān)于運算⊕為“融洽集”．

④因為集合G對運算⊕“封閉”，但G中不存在單位元e，所以G關(guān)于運算⊕不是“融洽集”．

⑤因為2個虛數(shù)相乘可能為實數(shù)，所以集合G對運算⊕不“封閉”，故G關(guān)于運算⊕不是“融洽集”．

綜上所述，G關(guān)于運算⊕為“融洽集”的是①，③．

點評本題以近世代數(shù)中群的定義為背景，主要考查學(xué)生的閱讀理解能力、抽象與具體轉(zhuǎn)化能力、方程思想、反例思想方法，是一道能有效地考查學(xué)生創(chuàng)新意識的好題目．

5 以“數(shù)域”為背景

①整數(shù)集是數(shù)域；

②若有理數(shù)集Q?M，則數(shù)集M必為數(shù)域；

③數(shù)域必為無限集；

④存在無窮多個數(shù)域．

其中正確的命題序號是________(把你認為正確的命題序號填上).

(2008年福建省數(shù)學(xué)高考理科試題)

點評本題設(shè)計獨特、背景深刻，具有很強的抽象性、發(fā)散性和創(chuàng)新性．這類以高等數(shù)學(xué)知識為背景的問題，能有效地考查學(xué)生進一步學(xué)習的潛質(zhì)，已成為高考試題的一大亮點和熱點，應(yīng)予注意．

以選修系列3為背景的高考數(shù)學(xué)試題，具有立意鮮明、背景深刻、情境新穎、設(shè)計巧妙等特點，這些試題充分體現(xiàn)了《標準》的精神，它們對高中數(shù)學(xué)教師認真學(xué)習《標準》和實施高中數(shù)學(xué)課程改革具有良好的引領(lǐng)作用．