肖新義 劉大彬

（周口職業(yè)技術學院 河南省周口 466000）

抓住課堂教學的主陣地 培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力
——“數(shù)域概念”一課的教學過程分析

肖新義 劉大彬

（周口職業(yè)技術學院 河南省周口 466000）

給孩子留下很多遺產(chǎn)，不如教會孩子掙錢的本事。教會學生知識，不如教會學生學會知識的方法。在當今的創(chuàng)新型社會里，大學數(shù)學教學不應再是講座式。這里我就通過“數(shù)域概念”一課的教學過程分析，談數(shù)學教學中學生的創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

數(shù)域；數(shù)集；等價；封閉

導語

我們知道，數(shù)是數(shù)學的一個最基本的概念，在歷史上，數(shù)的概念經(jīng)歷了一個長期發(fā)展的過程，由自然數(shù)到整數(shù)、有理數(shù)，然后是實數(shù)，再到復數(shù)。這個過程反映了人們對客觀世界的認識的不斷深入。進入大學后，為了學習高等代數(shù)中的行列式，線性方程組、矩陣、多項式、向量空間等等，就必須引入一個基礎概念——數(shù)域。

講解新課

師：什么叫數(shù)域呢？定義的方法有許多種，北大數(shù)學力學系編寫的《高等代數(shù)》一書中是這樣定義的：

定義1：設P 是由一些復數(shù)組成的集合，其中包括0與1，如 P中任意兩個數(shù)（這兩個數(shù)也可以相同）的和、差、積、商（除數(shù)不為零）仍然是P中的數(shù)，那么P就稱為一個數(shù)域。（用幻燈片打出）

顯然，有理數(shù)集Q、實數(shù)集R、復數(shù)集K都是數(shù)域。而定義中：為什么強調除數(shù)不為零？什么叫做任兩個數(shù)的和、差、積、商仍是P中的數(shù)？P中包括0與1的理由，P中元素可不可有最少個數(shù)？數(shù)域是否只有有理數(shù)域、實數(shù)域與復數(shù)域三種及它們與P的關系如何等（問題用幻燈片打出），這些確是值得我們思考的問題。

在我們的數(shù)學教學中，培養(yǎng)學生進行質疑，是激發(fā)學生學習興趣，發(fā)展學生直覺思維，掌握探求知識方法的必要手段。我們要善于啟發(fā)、積極引導、熱情鼓勵學生進行提出問題，自己得出結論，支持他們大膽懷疑，勇于創(chuàng)新，不“人云亦云”，不盲從“老師說的”和“書上寫的”。以真正達到啟迪思維、傳授知識的目的。把數(shù)學——“思維的體操”，真正做成學生創(chuàng)造性思維能力培養(yǎng)的最前沿學科。

師：為回答上面的問題，我們先引入一個所謂運算封閉的概念。

定義 2：如果數(shù)集 P中任意兩個數(shù)作某一運算的結果都仍在 P中，我們就說數(shù)集P對這個運算是封閉的。（板書）

不難由定義2想到整數(shù)集Z對于加法、減法、乘法是封閉的，對于除法并不封閉。

定義2中的運算若是除法，還要限制0不作除數(shù)，這為什么？引導學生作如下分析：（板書）

如果在a÷b=q中 b=0，那么：（1）當a≠0時，由于任何數(shù)乘以0都不可能等于非零數(shù)a，所以a÷0的商是不存在的；（2）當a=0時，因為任何數(shù)乘以0都等于0，所以a÷b的商是不確定的。

我們知道，在加法、減法與乘法中，和、差（如果存在）與積都是惟一的。在除法中也要排除商（如果存在）不是惟一的情況，因此規(guī)定在除法中除數(shù)不為零。

師：請同學們接著思考這樣的問題：加、減、乘、除四種運算加與減、乘與除分別互為逆運算，定義中是否可以考慮這一點。

學生甲給出定義3：如果一個包括0、1在內的數(shù)集P對于加、減、乘、除（除數(shù)不為零）是封閉的，則稱P是一個數(shù)域。（板書）

甲接著說：我們這里要指出一點，就是單元素集關于加減乘除（除數(shù)不為零）四則運算，它是封閉的。前三種運算是很明顯的，后一種運算的封閉性該怎樣理解呢？所謂封閉是說，如果可以進行的運算，其結果一定沒有跑出此數(shù)集外。但是這種運算無對象進行，我們也認為是封閉的。這是從沒有運算結果跑出去這一點去看的。所以關于除法是封閉的。

數(shù)域的定義中，如果沒有明確指出必須包括0、1兩個數(shù)在內，就有可能是{0}，這對以后的學習帶來了麻煩。因此定義1和3中都把這種特殊排除在外了。

學生乙給出定義4：數(shù)集 P是至少包含兩個不同的數(shù)。如它對減除（除數(shù)不為零）兩種運算封閉。則稱P為數(shù)域。（板書）

學生丙給出定義5：至少包含一個非零數(shù)的數(shù)集P，如它對減除（除數(shù)不為零）運算封閉，則稱P為數(shù)域。（板書）

師：這些定義與定義1關系如何？引導學生分析討論并作如下歸納證明：

證明：定義 3?定義4。因為對四則運算封閉，自然對其中兩種運算封閉。

再證定義4?定義5。這也是容易的。因為包含兩個不同的數(shù)，則其中至少有一個不等于零。從而得到定義5。

最后證定義5?定義3。

設P至少包含一個非零數(shù)a，它對減除兩種運算封閉。下面要證明三點：

（1）證明P至少包含兩個不同的數(shù)。

∵a∈p，又減法封閉，∴a-a=0∈p，這樣至少包含0與a。

（2）其次，要證 P關于加法封閉。任取 b，c∈P，∵0∈p，∴-c=0-c∈p（減法封閉），∴b+c=b-（0-c）∈p（減法封閉）

（3）證明P關于乘法封閉。任取b，c∈P。

若 c=0，那么 b·c=b·0=0∈P；若 c≠0，那么 b·c=b÷（1÷c）。因b·c∈P，只要證明1∈P，再由P關于除法封閉，那么b·c∈P就可得出了。而1∈P，是因1=a÷a∈P。（除法封閉）（證畢）

定理1：定義3、定義4與定義5是等價的。（板書）

師：比較定義3、4、5、可知，定義5是最簡單的，換句話說，條件再少就不可能成為數(shù)域了。對這幾個定義可以隨便用，那條方便用那條。

作為教師，首先要點燃學生主動探索之火，我們決不能急于把自己全部的秘密都吐露出來，而要“引在前”，“引”學生觀察分析；“引”學生大膽設問；“引”學生各抒己見；“引”學生充分活動。讓學生去猜，去想，猜想問題的結論，猜想解題的方向，猜想由特殊到一般的可能，猜想知識間的有機聯(lián)系，讓學生把各種各樣的想法都講出來，讓學生成為學習的主人，推動其思維的主動性。

師：請同學們接著思考下面的問題：

定理2：設P是任意一個數(shù)域，則Q?P（板書）

分析這個定理的意思是：任何數(shù)域都包含有理數(shù)域。或者說是數(shù)域中最小的是有理數(shù)域。這個定理還告訴我們，盡管數(shù)域定義中，只說至少包含一個非零數(shù)?；蛘哒f至少包含兩個不同的數(shù)。實際上數(shù)域至少包含無窮多個數(shù)。因為任何數(shù)域都包含全體有理數(shù)在內。

下面證明定理2。

證明：P是數(shù)域，包含非零數(shù)a。

由于P關于減除兩種運算封閉。所以0=a-a∈P，1=a÷a∈P

例題講解

例1 G={a+ bi|a，b∈Q}是一個數(shù)域。稱為高斯數(shù)域。其中Q是有理數(shù)域。

這里，首先要弄清楚G并不是復數(shù)域K，也不是實數(shù)域R，它是介入這兩者之間的一個數(shù)域，即R?G?K。為什么G≠K，因為復數(shù)域中a，b可取任何實數(shù)，這里a，b只能取有理數(shù)，所以G比K少得多。

要證明G是數(shù)域，只要證明它關于減法和除法封閉就可以了。減法封閉顯然。下面證明除法封閉。任意 a+bi和 c+di≠0，因為

歸納：定理3：數(shù)域有無窮多個。（板書）

我們常用的數(shù)域是：有理數(shù)域，實數(shù)域與復數(shù)域。

證明：減法封閉顯然。

問題得證。

由于質數(shù) P有無窮多個，每給一個就有一個數(shù)域 M（P），從而得證定理3。

小結

值得強調的是數(shù)域縱然是有無窮多個，但從數(shù)集擴展的角度來說它們又遵循如下原則：

1.原有數(shù)集是新的數(shù)集的子集；

2.原有的數(shù)集中的運算在新的數(shù)集中仍能施行，在原有的數(shù)集中不是總能施行的某種運算在新的數(shù)集中是總能夠施行的；

3.原有數(shù)集中施行運算的主要性質，在新的數(shù)集中應保持有效；

4.每一次擴充都是符合上述原則的最小擴充，即逐步擴充，使每個數(shù)集都具有各自特殊的性質。

這就使得數(shù)域定義中強調可以進行四則運算不難理解，它們都包含有理數(shù)域很自然了。它們除了滿足有理數(shù)域所具有的性質外，還具有各自特殊的性質，使得我們對高等數(shù)學中各個問題的研究更明確了。

培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維、創(chuàng)造精神，首先必須轉變我們教師的教育觀念。在具體學科教學中，我們應當從以傳授、繼承已有知識為中心，轉變?yōu)橹嘏囵B(yǎng)學生創(chuàng)造性思維、創(chuàng)新精神?，F(xiàn)代教學理論認為向學生傳授一定的基本理論和基礎知識，是學科教學的重要職能，但不是惟一職能。在加強基礎知識教學的同時，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造智能，從來就有不可替代的意義。只有培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力，才能使他們擁有一套運用知識的“參照架構”，有效駕馭靈活運用所學知識。形象地說，我們的學科教學的目的不僅是要向學生提供“黃金”，而且要授予學生“點金術”。

[1]北京大學數(shù)學力學系.高等代數(shù)[M].人民教育出版社，1978.

肖新義（1962-），男，周口職業(yè)技術學院副教授，長期從事數(shù)學教學工作。劉大彬（1962-），男，周口職業(yè)技術學院高級講師，長期從事數(shù)學教學工作。

2009-12-24