張?zhí)禚Q

（無(wú)錫商業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 江蘇 無(wú)錫 214153）

高職數(shù)學(xué)研究式教學(xué)方法探究

張?zhí)禚Q

（無(wú)錫商業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 江蘇 無(wú)錫 214153）

研究式課堂教學(xué)模式是一種先進(jìn)的教學(xué)方式，它使被動(dòng)的接受式學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化為主動(dòng)的探索式學(xué)習(xí)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新能力。點(diǎn)題是研究式教學(xué)的基礎(chǔ)，一個(gè)好的點(diǎn)題不僅要告訴學(xué)生“學(xué)什么”，更重要的是要告訴學(xué)生“為什么學(xué)”，這樣才能使學(xué)生主動(dòng)地參與到研究和發(fā)現(xiàn)的境界中來(lái)。科學(xué)抽象、類比、猜想、歸納等邏輯思維形式對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)概念的形成、數(shù)學(xué)命題的發(fā)現(xiàn)以及數(shù)學(xué)命題的論證有至關(guān)重要的意義，在研究式教學(xué)中應(yīng)當(dāng)予以特別重視。

高職；研究式教學(xué)模式；點(diǎn)題；邏輯思維

隨著高職教學(xué)改革的不斷深入，高職數(shù)學(xué)“教什么”和“怎么教”的問(wèn)題已經(jīng)成為高職院校每一位數(shù)學(xué)教師必須研究的問(wèn)題。筆者認(rèn)為將研究式課堂教學(xué)模式作為提高高職數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的重要手段，是一條可行之路。研究式課堂教學(xué)模式可以引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)家的眼光，運(yùn)用觀察、猜想、分析、類比、歸納等方法去發(fā)現(xiàn)科學(xué)規(guī)律，它與其他課堂教學(xué)模式的區(qū)別在于，知識(shí)的遷移是在學(xué)生“研究”的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)的，它使被動(dòng)地接受式學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化為主動(dòng)的探索式學(xué)習(xí)，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新能力。研究式教學(xué)模式的實(shí)現(xiàn)需要兩個(gè)互相聯(lián)系的條件：一是營(yíng)造以學(xué)生為中心的研究式學(xué)習(xí)環(huán)境，二是根據(jù)學(xué)生的需要提供必要的指導(dǎo)和幫助。我國(guó)開(kāi)展的數(shù)學(xué)開(kāi)放題教學(xué)模式、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)以及各種運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的活動(dòng)，都可以看作是研究式教學(xué)模式的不同形式。教師在設(shè)計(jì)研究式教學(xué)模式的過(guò)程中，需要兼顧多方面的因素，特別是數(shù)學(xué)高度抽象的特點(diǎn)和本班學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣與能力水平等。下面主要舉例說(shuō)明研究式課堂教學(xué)模式的實(shí)施要點(diǎn)。

點(diǎn)題——研究式教學(xué)的基礎(chǔ)

“點(diǎn)題”即點(diǎn)明所要研究的課題，它是研究式教學(xué)的基礎(chǔ)。其與傳統(tǒng)教學(xué)的一個(gè)顯著區(qū)別是，研究式教學(xué)不把所要講授的知識(shí)點(diǎn)作為成熟的理論告訴學(xué)生，而是作為待研究的課題與學(xué)生一起研究。一個(gè)好的點(diǎn)題不僅要告訴學(xué)生“學(xué)什么”，更重要的是要告訴學(xué)生“為什么學(xué)？”這樣才能使學(xué)生主動(dòng)地參與到研究和發(fā)現(xiàn)的境界中來(lái)。

例如，在二元函數(shù)的概念一節(jié)，首先回顧圓柱體的體積公式：

體積V依賴于底半徑r與高度h，當(dāng)r與h在一定范圍內(nèi)取定一組值時(shí)，通過(guò)體積公式，V就有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，因此圓柱體的體積公式確定了因變量與自變量r、h之間的函數(shù)關(guān)系，為了研究這類含有兩個(gè)自變量的函數(shù)問(wèn)題，有必要學(xué)習(xí)二元函數(shù)的概念。

在多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)一節(jié)，首先復(fù)習(xí)中學(xué)物理中學(xué)習(xí)過(guò)的理想氣體方程。具有一定質(zhì)量的理想氣體的壓強(qiáng)P、體積V和絕對(duì)溫度T三者之間的關(guān)系為：

P是關(guān)于V、T的二元函數(shù)。對(duì)于依賴于兩個(gè)或兩個(gè)以上自變量的多元函數(shù)，常用的一種研究方法是“各個(gè)擊破”，如先研究當(dāng)溫度T不變（等溫過(guò)程）的條件下，壓強(qiáng)P對(duì)體積V的變化率（P視為V的一元函數(shù)）為：

再研究體積V保持不變的條件下，壓強(qiáng)P對(duì)溫度T的變化率 （P視為的T一元函數(shù)）：

這種形式的變化率就稱為二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。

引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用各種邏輯思維形式發(fā)現(xiàn)和論證數(shù)學(xué)命題

邏輯思維的形式主要有科學(xué)抽象、類比、猜想、歸納等，這些邏輯思維形式對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)概念的形成、數(shù)學(xué)命題的發(fā)現(xiàn)和論證有至關(guān)重要的意義。

科學(xué)抽象 數(shù)學(xué)研究的是抽象的東西，因此，數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的最重要的基本思想也就是科學(xué)抽象。在研究式教學(xué)過(guò)程中，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)研究對(duì)象的深入觀察，及時(shí)抽出本質(zhì)屬性形成抽象的概念。例如，在“定積分”一節(jié)，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了曲邊梯形的面積和變速直線運(yùn)動(dòng)的速度之后，要引導(dǎo)學(xué)生拋開(kāi)這些問(wèn)題的實(shí)際意義，抓住它們?cè)跀?shù)量關(guān)系上的共同本質(zhì)與特性加以抽象，得到定積分的概念。

數(shù)學(xué)的概念或結(jié)論大多是經(jīng)過(guò)多層次的抽象得到的，并且人們總是謀求抽象基礎(chǔ)上的再抽象。因此，教師要讓學(xué)生明白，發(fā)展前人的理論，就是把一種規(guī)律表示為更一般的形式。例如，學(xué)生熟知拉格朗日中值定理、柯西中值定理之后，經(jīng)過(guò)抽象，就會(huì)發(fā)現(xiàn)它們都包含在下面的定理中。

定理 若函數(shù)f（x）、g（x）、h（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則存在 ξ∈（a，b），使得

事實(shí)上，當(dāng)h（x）=1時(shí)，可得到柯西中值定理，當(dāng)g（x）=x時(shí)，就得到拉格朗日中值定理。

考慮代數(shù)方程

比較兩邊x2的系數(shù)，得

再考慮方程

這個(gè)無(wú)窮方程的根應(yīng)該是2kπ，k∈Z.

歐拉將此方程與前面的有限方程做類比，認(rèn)為應(yīng)該有

比較上式兩邊x2的系數(shù)，得

高等數(shù)學(xué)的許多概念、定理在內(nèi)容和形式上都有類似之處，如一元函數(shù)的微分定義與二元函數(shù)的全微分定義、數(shù)列極限與函數(shù)極限的性質(zhì)、定積分與重積分的性質(zhì)等等，靈活運(yùn)用類比可加快學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)度。

猜想 傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中很少運(yùn)用猜想，其根本原因在于我們總是習(xí)慣于只教給學(xué)生知識(shí)，而很少再現(xiàn)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程。在科學(xué)研究的初始階段，猜想具有舉足輕重的地位。比如Rolle在他的《任意次方程的一個(gè)解法的證明》中給出了著名的Rolle中值定理，但是，當(dāng)時(shí)他沒(méi)有證明，用現(xiàn)在的觀點(diǎn)來(lái)講，這只是一個(gè)猜想而已。猜想就是在具備有關(guān)知識(shí)和占有相關(guān)資料的前提下，經(jīng)過(guò)對(duì)占有的材料去粗取精，去偽存真，找出共性，引出規(guī)律。這是一個(gè)極富創(chuàng)造性的心智過(guò)程，對(duì)培養(yǎng)創(chuàng)造型人才具有重要意義。在我們的教學(xué)中，要大力開(kāi)拓這個(gè)過(guò)程。例如：在“冪級(jí)數(shù)”一節(jié)，當(dāng)引入冪級(jí)數(shù)的概念后，如何進(jìn)一步研究其性質(zhì)呢？由于冪級(jí)數(shù)

當(dāng)|x|＜1時(shí)收斂，當(dāng)|x|≥1時(shí)發(fā)散，于是，我們猜想冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間可能是一個(gè)以原點(diǎn)為中心的對(duì)稱區(qū)間。這時(shí)學(xué)生就很想知道猜想是否正確，于是，研究阿貝爾（Abel）定理就成為水到渠成的事情。

歸納 就是從特殊的、具體的認(rèn)識(shí)推進(jìn)到一般的、抽象的認(rèn)識(shí)的思維方式。它是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種常用的有效思維方式。引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行歸納，是“發(fā)現(xiàn)”數(shù)學(xué)結(jié)論的重要手段。

f{f[…f（x）]}

我們不能直接計(jì)算出結(jié)果，可能會(huì)想到首先算一算

然后再算一算

這時(shí)，就會(huì)自然歸納出

當(dāng)然歸納出這個(gè)結(jié)果后，還需要嚴(yán)格證明它。再比如，計(jì)算函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)時(shí)，也經(jīng)常通過(guò)歸納的方法得出結(jié)果。

互相交流，拓展和完善知識(shí)面

這是研究性教學(xué)過(guò)程的繼續(xù)與深化，由于學(xué)生受知識(shí)水平、思維品質(zhì)、數(shù)學(xué)能力等諸多因素的影響，可能會(huì)在分析、猜想、類比、歸納等諸多方面出現(xiàn)不完全甚至錯(cuò)誤的情況。因此，一方面，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)前一階段的探索研究，歸納、總結(jié)出有關(guān)知識(shí)與規(guī)律方面的結(jié)論，并鼓勵(lì)學(xué)生在個(gè)人獨(dú)立研究的基礎(chǔ)上，通過(guò)小組討論等形式修正錯(cuò)誤，延伸、完善相關(guān)知識(shí)和結(jié)論，充實(shí)原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。另一方面，教師要對(duì)學(xué)生在研究性學(xué)習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)的主要錯(cuò)誤或獨(dú)到見(jiàn)解進(jìn)行講評(píng)，尤其是對(duì)學(xué)生普遍存在的難點(diǎn)，必須及時(shí)點(diǎn)撥。在學(xué)生初步掌握了課程的內(nèi)容之后，教師要圍繞課題，對(duì)研究性學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行細(xì)致的反思，幫助學(xué)將生知識(shí)系統(tǒng)化，提煉思想方法，形成觀點(diǎn)，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)。

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G712

A

1672-5727（2010）07-0104-02

張?zhí)禚Q（1963—），男，甘肅定西人，無(wú)錫商業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院副教授，主要從事數(shù)學(xué)教育研究。

（本文責(zé)任編輯：尚傳梅）