王建忠

(江蘇省啟東中學(xué) 江蘇 啟東 226200)

貴刊2010年第3期刊登了《關(guān)于帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的題目誤解分析》一文(下稱“誤解分析”)，對(duì)帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的一類問(wèn)題存在的錯(cuò)誤理解和認(rèn)識(shí)作了剖析，并正確分析了運(yùn)動(dòng)過(guò)程，對(duì)一個(gè)典型題目得出“由于題給條件不足，不能求出小球在最低點(diǎn)的速度和下落高度”的結(jié)論，筆者深受啟發(fā)．本文給出求小球在最低點(diǎn)的速度和下落高度的三種解法，并對(duì)該題目作進(jìn)一步拓展，作為對(duì)“誤解分析”的補(bǔ)充，供同行參考．

題目： 一電荷量為q的小球固定在與水平面平行的范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．若勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，小球的質(zhì)量為m，自由釋放小球．試分析小球的運(yùn)動(dòng)情況．并求出帶電小球下落的高度及最低點(diǎn)的速度．假設(shè)小球帶的是正電荷，不計(jì)空氣阻力(筆者對(duì)題目文字略作修改)．

分析:小球從靜止開始運(yùn)動(dòng)，初始時(shí)刻只受重力作用，在重力作用下向下加速運(yùn)動(dòng)，一旦有了速度，便同時(shí)還會(huì)受到磁場(chǎng)對(duì)它的洛倫茲力作用，由于洛倫茲力的方向與重力的方向不在一直線上，因此小球受的合外力與速度不共線，小球做曲線運(yùn)動(dòng)．由于過(guò)程中小球速度的大小和方向時(shí)刻在變化，所以小球所受的洛倫茲力的大小和方向也時(shí)刻在變化，小球作的是變加速曲線運(yùn)動(dòng)．

圖1

得

圖2

由運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性原理，小球的運(yùn)動(dòng)可看成水平方向上速度v1的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直平面內(nèi)逆時(shí)針?lè)较虻膭蛩賵A周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，軌跡是一滾輪線，如圖2．滾輪線上的最低點(diǎn)A點(diǎn)也就是小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所能到達(dá)的最低位置．所以小球下落的高度為

過(guò)程中只有重力做功，由動(dòng)能定理

得

解法二：用動(dòng)量定理和動(dòng)能定理求解.小球在最低點(diǎn)時(shí)的速度必定在水平方向，而重力在豎直方向，對(duì)水平方向上的動(dòng)量變化無(wú)貢獻(xiàn)，小球在水平方向上的動(dòng)量變化是洛倫茲力的沖量作用的結(jié)果.以水平向右為x軸的正方向，豎直向下為y軸的正方向.考查小球從釋放到最低點(diǎn)過(guò)程中的時(shí)間間隔Δt,在x方向的分運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)量定理得

fxΔt=Δ(mvx)

而

fx=qBvy

得

qBvyΔt=mΔvx

上式兩邊求和得

qB∑vyΔt=qB∑Δy=m∑Δvx

即

qBh=mv

再由動(dòng)能定理

聯(lián)立可得

解法三：利用一元二次方程的判別式求解.設(shè)小球在最低點(diǎn)A點(diǎn)的速度為v，A點(diǎn)軌跡的曲率半徑為ρ，小球在A點(diǎn)受到豎直向下的重力mg和豎直向上的洛倫茲力f=qBv，由牛頓第二定律

上式可化為一個(gè)關(guān)于v的一元二次方程

mv2-qBρv+mgρ=0

題設(shè)條件下的v值應(yīng)該是唯一的，有

Δ=(qBρ)2-4m2gρ=0

可得

再由動(dòng)能定理

得

小結(jié):解法一、解法二側(cè)重物理思維，要求有較高的物理建模能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算相對(duì)簡(jiǎn)單．尤其是解法一，利用速度合成的思想“無(wú)中生有”地構(gòu)造一對(duì)大小相等的速度，勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)的軌跡就是帶電小球的運(yùn)動(dòng)軌跡，變復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)為兩個(gè)我們非常熟悉的簡(jiǎn)單分運(yùn)動(dòng)來(lái)研究，這也是我們研究曲線運(yùn)動(dòng)的常用手段．解法二的物理思路比較常規(guī)，所用的物理規(guī)律是常用的牛頓第二定律和動(dòng)能定理.利用一元二次方程的判別式巧妙地求出了軌跡最低點(diǎn)的曲率半徑，使問(wèn)題迎刃而解．這種解法對(duì)“應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問(wèn)題的能力”要求較高，而“應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問(wèn)題的能力”是我們?cè)诮虒W(xué)中要注重培養(yǎng)的能力之一，“增進(jìn)各學(xué)科間之間的知識(shí)和方法上的聯(lián)系”是課程標(biāo)準(zhǔn)所強(qiáng)調(diào)的．

原題可進(jìn)一步拓展—求小球在最低點(diǎn)的加速度．

解法一:運(yùn)動(dòng)學(xué)方法．從合運(yùn)動(dòng)的角度看，小球在最低點(diǎn)只有法向加速度，沒(méi)有切向加速度．將上面求得的結(jié)果代入法向加速度的表達(dá)式，可得小球在A點(diǎn)的加速度大小為

方向豎直向上．

從分運(yùn)動(dòng)的角度看，利用原題解法一中的結(jié)論，小球的加速度即為以速度v2作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度

小球在最低點(diǎn)的加速度大小為g，方向豎直向上．

解法二:動(dòng)力學(xué)方法．從合運(yùn)動(dòng)的角度看，小球在最低點(diǎn)受到豎直向下的重力mg和豎直向上的洛倫茲力f=qBv，由牛頓第二定律

方向豎直向上．

從分運(yùn)動(dòng)的角度看，利用原題解法一中的結(jié)論，因速度v1而使小球受到的洛倫茲力與重力平衡，因此小球的加速度即為v2對(duì)應(yīng)的洛倫茲力產(chǎn)生的加速度，小球在最低點(diǎn)的加速度為

方向豎直向上．

以上對(duì)原題及拓展部分的求解過(guò)程，體現(xiàn)了“誤解分析”強(qiáng)調(diào)的“關(guān)注運(yùn)動(dòng)形式，使帶電粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和受力情況有機(jī)結(jié)合”的思想．