《數(shù)學課程標準》指出:“數(shù)學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論,并進行廣泛應用的過程?!弊屑毚@個定義,可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學有兩個側(cè)面:一個是形式層面的數(shù)學,即靜態(tài)的知識;一個是發(fā)現(xiàn)層面的數(shù)學,即動態(tài)的思維。如果說對前者的關(guān)注具有現(xiàn)實的應試意味的話,那么對后者的研究應該更能實現(xiàn)“把學生教聰明起來”的理想。正是基于這種考慮,現(xiàn)行蘇教版教材從四年級上冊開始均把“解決問題的策略”作為獨立的一個單元進行教學。
然而在實際的教學過程中,我們發(fā)現(xiàn)很多教師在教學這一單元時為了策略而策略,僅僅著眼于“解決問題”,追求某一類型題的能解會算。難道“解決問題的策略”只是為了“解決問題”?答案顯然應該是否定的。因此又對教材進行了重組、挖掘、開拓,設計了一節(jié)專門的練習課,力圖改變僅僅關(guān)注問題解決的傾向,更加注重在解決問題的過程中,凸顯附著在典型的知識和問題上的數(shù)學思維方法,幫助學生形成解決問題的一些基本策略,體驗解決問題策略的多樣性。使解決問題的過程同時成為數(shù)學思維發(fā)展的過程。
轉(zhuǎn)化的思維方法
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【練習設計一】
1.【練習題】求下列各圖形的陰影部分面積,都需要用到轉(zhuǎn)化的策略嗎?分別說一說。
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【練習過程】
(1)指名學生分別說一說要不要轉(zhuǎn)化?為什么?
(2)關(guān)于圖形,在什么情況下需要轉(zhuǎn)化?
2.【練習題】A.一種鹽水中,鹽的含量是水的■,810克這樣的鹽水中,含鹽多少克?
B.一種鹽水中,鹽的含量是鹽水的■,810克這樣的鹽水中,含鹽多少克?
【練習過程】
(1)學生獨立在練習本上解答。
(2)剛才在解決這兩道題時,哪一題用到了轉(zhuǎn)化的策略?為什么?
(3)把哪一句話轉(zhuǎn)化了?
(4)怎樣轉(zhuǎn)化的?
(5)小結(jié):遇到比較難的應用題時,對關(guān)鍵句進行合適的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵。
3.【練習題】轉(zhuǎn)化下列關(guān)鍵句
A.男生人數(shù)是全班人數(shù)的■。
B.學校飼養(yǎng)小組養(yǎng)的白兔與黑兔只數(shù)的比是4∶5。
C.學校十月份的用電量比九月份節(jié)約了10%。
【練習過程】
多指幾個學生回答。
可以從部分與部分,部分與總體以及分數(shù)、比、百分數(shù)等不同的形式方面考慮。
【解讀】 本練習通過“需要轉(zhuǎn)化”與“不需要轉(zhuǎn)化”的圖形及應用題的對比,引導學生在比較中體悟轉(zhuǎn)化策略的應用情境,在反思中形成自覺運用轉(zhuǎn)化策略的意識。
就轉(zhuǎn)化的思維方法而言,應該分為“需不需要轉(zhuǎn)化”“轉(zhuǎn)化什么”“怎么來轉(zhuǎn)化”三個層次來考慮,就圖形的轉(zhuǎn)化求面積、周長來說,因為其具有很強的直觀性,也很難歸納出一個具有典型代表意義的方法,因此,第一環(huán)節(jié)的設計僅僅停留在“要不要轉(zhuǎn)化”上,并不需要學生解決之。而應用題中的轉(zhuǎn)化則是比較典型的,也是學生在后續(xù)的學習中會經(jīng)常遇到的,所以在第二環(huán)節(jié)的教學中重點分“需不需要轉(zhuǎn)化”“轉(zhuǎn)化什么”“怎么來轉(zhuǎn)化”三個步驟引導學生掌握轉(zhuǎn)化的一般思維方法。如果說第一環(huán)節(jié)僅僅是轉(zhuǎn)化意識滲透的話,那么第二、三環(huán)節(jié)則是扎扎實實的能力、方法的訓練。
數(shù)形結(jié)合的思維方法
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【練習設計二】
1.【練習題】6+7+8+9+10+11+12+13+14+15=
【練習過程】
(1)這道題有人會做嗎?怎么做?(有少部分學生可能會想到用公式做)
(2)追問:為什么可以這樣做?
(3)如果我們轉(zhuǎn)化一個思路,把這個算式轉(zhuǎn)化成一個圖形,會得到一個什么圖形呢?
多媒體逐步出示,得到如下一個梯形:
(4)梯形的面積計算公式是什么?這個公式跟上面算式的公式有什么聯(lián)系嗎?
2.【練習題】1-■-■-■-■=
【練習過程】
(1)看了這道題,你打算怎么做?(大部分學生應該想到通分)
(2)通分也是一種轉(zhuǎn)化的方法,把異分母分數(shù)轉(zhuǎn)化成同分數(shù)分數(shù)。
老師是這樣轉(zhuǎn)化的(多媒體出示):
(3)指名說一說這幅圖跟上面算式的關(guān)系。
(4)現(xiàn)在,能不能很快地知道答案。這個答案你是怎么得到的?把這個算式轉(zhuǎn)化成圖形,你覺得有什么好處?
【解讀】 數(shù)形結(jié)合思想的實質(zhì),就是將抽象的數(shù)學語言和直觀的圖形結(jié)合起來,通過直觀的圖形來深化數(shù)學內(nèi)容,實現(xiàn)抽象與形象的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化?!皵?shù)缺少形時少直觀,形少數(shù)時難入微?!北窘虒W設計通過把枯燥的數(shù)(算式)轉(zhuǎn)化成規(guī)則的圖形,使學生在體會數(shù)學美妙一面的同時,也充分感受到把數(shù)形結(jié)合的直觀性與便捷性,有效溝通數(shù)學知識之間的聯(lián)系,凸顯數(shù)學的本質(zhì)特征。作為一種策略的選擇,或者說一種思維方法的滲透,我們關(guān)注的不僅僅是要解決某一個具體的數(shù)學問題,更重要的是讓學生在這一過程中體驗到數(shù)學的多姿多彩、五彩斑斕,并能自覺運用這種思維方法觀察、分析、解決數(shù)學內(nèi)、外的各種問題。
極限的思維方法
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【練習設計三】
【練習過程】 1.(接著上面的練習:1-
■-■-■-■=■)仿照這個算式繼續(xù)寫下去,后面應該減多少?結(jié)果是多少?再往后呢?(多媒體演示)
1-■-■-■-■=■
1-■-■-■-■-■=■
1-■-■-■-■-■-■-■=■
……
2.觀察這些算式,并結(jié)合上面的圖形想一想?你有什么發(fā)現(xiàn)?(結(jié)果越來越小)
3.引導:結(jié)果越來越接近于0,但永遠也不會等于0。
4.這個有意思的現(xiàn)象很早以前就有人發(fā)現(xiàn)了。
2300多年前,莊子就說:“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”。
你能解釋這句話嗎?這句話跟上面的算式有什么聯(lián)系嗎?(學生結(jié)合圖形和算式說明自己的理解)
【解讀】 極限的思維方法為現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展提供了有力的思想武器。由于小學生的年齡特點的限制,他們對具體的、數(shù)量有限的事物容易理解,對抽象的、數(shù)量無限的事物難于把握。本練習設計以具體的數(shù)字為依托,結(jié)合直觀的圖形,幫助學生形象地認識到無限小的概念,為學生的后續(xù)學習及終身發(fā)展打下基礎。
“解決問題的策略”不僅僅是為了解決問題,而應該是以問題的解決為載體,引領學生在操作中體驗,在對比中反思,發(fā)展數(shù)學思維,初步形成用數(shù)學的眼光看待問題,用數(shù)學的頭腦分析問題,用數(shù)學的方法解決問題的能力。在教學中,我們要善于捕捉數(shù)學思維的生長點,用數(shù)學思維撐起解決問題的脊梁,帶領學生感受數(shù)學豐富的方法、深邃的思想,分享數(shù)學前行足跡中的創(chuàng)造、超越及其背后折射出的人類智慧和人性光芒。
作者單位:江蘇省金壇市常勝小學