初三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)是大家所關(guān)注的重要問題，確立復(fù)習(xí)的指導(dǎo)思想，選擇正確的復(fù)習(xí)方法，使學(xué)生在畢業(yè)前把基礎(chǔ)知識系統(tǒng)化，對所學(xué)教學(xué)內(nèi)容有一個(gè)較全面的認(rèn)識，并且得到綜合和提高，以便為升學(xué)考試打好基礎(chǔ).

在復(fù)習(xí)時(shí)間緊、內(nèi)容多、任務(wù)重的情況下，選擇典型題目進(jìn)行精講精練，探索研究揭示規(guī)律，訓(xùn)練解題技巧，以拓展學(xué)生思維，達(dá)到舉一反三之功效，使知識融會貫通.因此，在復(fù)習(xí)解題中，應(yīng)做到三個(gè)“一”，即一題多變，多題一解，一題多解.下面就舉例說明.

一、一題多變對培養(yǎng)學(xué)生分析問題和

解決問題的能力，提高邏輯思維能力和發(fā)展創(chuàng)造性思維能力都是十分有效的

如:農(nóng)機(jī)廠職工距工廠15千米的農(nóng)村檢修農(nóng)機(jī)，一部分人騎自行車先走40分鐘后，其余的人乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)，已知汽車的速度是自行車的3倍，求兩種車的速度.

分析:設(shè)自行車的速度是x千米/時(shí)，則汽車的速度是3x千米/時(shí)，速度、時(shí)間、路程三者間的關(guān)系如下表:

■

因?yàn)槠囃黹_出40分鐘(即■小時(shí))，與自行車同時(shí)到達(dá)，說明行駛15千米，汽車比自行車少用■小時(shí)，即有如下等量關(guān)系:

汽車所用時(shí)間=自行車所用時(shí)間-

■小時(shí)

于是得■=■-■，

此題可變換成如下題目:

變換1:若把條件中“他們同時(shí)到達(dá)”分別變換成如下條件:

(1)汽車比自行車早到10分鐘;

(2)汽車到達(dá)時(shí)，自行車距目的地2

千米.

則可根據(jù)時(shí)間關(guān)系列出方程:

設(shè)自行車速度是x千米/時(shí)，有:

(1)■=■-■-■;

(2)■=■-■.

變換2:若把條件“汽車速度是自行車的3倍”，分別作如下變換:

(1)已知汽車的速度是自行車的3倍多0.5千米;

(2)汽車與自行車相同路程所用時(shí)間比為1∶3，則可列出方程:

設(shè)自行車速度為x千米/時(shí)，有:

(1)■=■-■;

(2)■=■-■.

變換3:農(nóng)機(jī)廠職工騎自行車到距工

廠15千米的農(nóng)村檢修農(nóng)機(jī).

(1)行車5千米后，因有人車壞，因而以比原速度少1千米/時(shí)的速度騎行，結(jié)果比原計(jì)劃晚15分鐘到達(dá);

(2)行車5千米后，以后以速度的1.2倍騎行，因而比原計(jì)劃早20分鐘到達(dá);

(3)在回來的路中，用原速度行了半小時(shí)后，因事停留半小時(shí)，以后每小時(shí)多騎2千米，結(jié)果往來時(shí)間一樣.

分別求騎自行車原來的速度.

設(shè)自行車原來的速度為x千米/時(shí)，則可列出相應(yīng)的方程:

(1)■=■+■;

(2)■=■-■;

(3)■=■-■.

以上一組題都是同向而行，也可變換成異向而行，此時(shí)，只要掌握異向、相向而行與同向而行的區(qū)別，仍可按時(shí)間關(guān)系列出方程.

又如:已知:如圖1，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM，△CBN是等邊三角形.

求證:AN=BM.

■

分析:為證結(jié)論，首先可按題中條件畫出圖形，讓學(xué)生從直觀上比較AN與BM的大小關(guān)系，然后給予證明.

證明:由∠ACM=∠BCN得∠ACN=

∠BCM，又AC=MC，BC=NC，故△CAN≌△MCB，從而AN=BM.

此題可作如下變換:

變換1:設(shè)AN、BM交于D點(diǎn)，試求∠ADB的度數(shù).

分析:根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和全等

三角形的對應(yīng)角相等，可得∠ADB=120°.

變換2:若AN交CM于E，BM交CN于F，求證CE=CF.

分析:△CEN≌△CFB不難得出CE=CF.

變換3:若連結(jié)EF，試證FE∥AB.

分析:由CE與CF的關(guān)系和∠ECF為60°，可知△ECF是等邊三角形，進(jìn)而可得EF∥AB.

變換4:若AN的中點(diǎn)為P，BM的中點(diǎn)為Q，試證:CP=CQ.

分析:因?yàn)镃P是△CAN的一邊AN上的中線，而CQ是△MCB的一邊BM上的中線，又△ACN≌△MCB，全等三角形對應(yīng)邊上的中線相等，故CP=CQ.

變換5:如圖2，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，且AC∶CB=2∶1，△ACM、△CBN是等邊三角形，連結(jié)MN，試證MN⊥CN.

■

分析:利用已知條件，AC∶CB=2∶1，再取AC中點(diǎn)H，連結(jié)MH，顯然MH為等邊△ACM的中線，故可知MH⊥AC，由全等三角形判定定理(SAS)可得△MCN≌△MCH，故MN⊥CN.

變換6:如圖3，若AC=3，CB=1，試計(jì)算△CEF的面積.

■

分析:仍從條件AC∶CB=3∶1入手，不難發(fā)現(xiàn)EC∥NB，故有CE∶BN=AC∶AB，即CE∶1=3∶4，解得CE=■，因?yàn)椤鰿EF為等邊三角形，用勾股定理，可迅速求得S△CEF=■.

對這道幾何題，從各個(gè)方面進(jìn)行變換，對提高學(xué)生的思維能力大有裨益.

下面一組題是利用圖形位置的變化進(jìn)行變換的，變換后的題與原題證法完全相似.

例.如圖4，在正方形ABCD中，AE⊥BF，求證:AE=BF.

■

本題利用全等三角形的知識不難給出證明，若將BF平移，則有:

變換1:如圖5，在正方形ABCD中，AE⊥MN，求證:AE=MN.

■

若再將AE作類似的平移，即有:

變換2:如圖6，在正方形ABCD中，若MN⊥GH，求證:MN=GH.

■

這兩個(gè)變題，只需利用平行的有關(guān)知識，作出如各自圖中所示的輔助線，即可仿照原題給出證明.

本題還可給出下列變式:

變換3:點(diǎn)H在正方形的一邊上，將紙片折疊，使點(diǎn)H正好與所在邊的對邊上一點(diǎn)G重合，若折痕長10cm，試求HG的長度.

在幾何教學(xué)中，使用從一些基本題出發(fā)變換的相關(guān)題組，可幫助學(xué)生在解題過程中掌握知識間的聯(lián)系，培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣，提高解題效率.

二、多題一解能訓(xùn)練學(xué)生的集中思

維，揭示各方面知識的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律，從而加深對各方面知識的理解和應(yīng)用，使知識融會貫通

如:如果一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根之比為2∶3，求證6b2=25ac.

本題有多種證法，這里從略.若將兩根之比推廣到一般，即有命題:

如果一元二次方程的兩根之比為m∶n，求證mnb2=(m+n)2ac.

證明:設(shè)已知方程的兩根分別為mk、nk，則mk+nk=-■，mk·nk=■(m+n)k=-■，①mnk2=■②

若m+n=0，則b=0，等式仍然成立;

若m+n≠0，則由①得:

k=-■，③

將③代入②中，消去k，得:

mn-■2=■.

所以mnb2=(m+n)2ac，

綜上可知，命題成立.

特別地，若m=n，這個(gè)等式就是b2=4ac，與方程有等根的條件一致.

利用此結(jié)論，解某些與一元二次方程

兩根之比有關(guān)的問題非常簡單。請看以下幾例.

例1.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一根是另一根的3倍，則a、b、c的關(guān)系是

()

A.3b2=16acB.3b2=-16ac

C.16b2=3acD.16b2=-3ac

這里取m=1，n=3，直接代入mnb2=(m+n)2ac中，就是3b2=16ac，故有正確答案A.

例2.已知方程ax2+bx+c=0(ac≠0，b2-4ac>0)，且■+■+2=■.

求證:該方程兩根之比為m∶n或n∶m.

證明:因?yàn)閍c≠0，b2-4ac>0，所以方程有兩個(gè)非零且不等的實(shí)根，設(shè)這兩實(shí)根分別為x1、x2且設(shè)■=k，顯然k≠0和k≠1.

在上述命題中，取m=k，n=1，就有kb2=(k+1)2ac，所以■=■=k+■+2，

因?yàn)椤?■+2=■，

所以k+■+2=■+■+2，

所以k=■或k=■，

即該方程兩根之比為m∶n或n∶m.

例3.是否存在常數(shù)k，使關(guān)于x的方程9x2-(4k-7)x-6k2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足■=■，如果存在，試求出所有滿足條件的k的值;如果不存在，請說明理由.

解:假如存在滿足條件的常數(shù)k，則

■=■，得■=■或■=-■，

取m=3，n=2和m=-3，n=2分別得到

6(4k-7)2=25×9×(-6k)2，①

-6(4k-7)2=9×(-6k)2.②

方程①無實(shí)數(shù)根.

解方程②得k1=1，k2=7，

故存在常數(shù)k為1或7，能使方程有

滿足條件的實(shí)根.

又如:過△ABC的頂點(diǎn)C任作一直

線，與邊AB及中線AD分別交于點(diǎn)F和

E，求證:AE∶ED=2AF ∶FB.

本題證明比較簡單.

■

證明:過D作DM//CF交BF于M.(如

圖7)

則AE∶ED=AF∶FM，

因?yàn)镈是BC中點(diǎn)，所以FM=■FB，

所以AF∶FM=2AF∶FB，

所以AE∶ED=2AF∶FB.

利用上述結(jié)論，能巧妙地解決許多問題.

例1.如圖8，P為△ABC的中線AD上任一點(diǎn)，連BP、CP并延長分別交AC、AB于E、F，求證:EF∥BC.

■

證明:應(yīng)用習(xí)題結(jié)論，得

AP ∶PD，2AE∶EC，AP ∶PD=2AF ∶FB，

所以2AE∶EC=2AF∶FB，

即AE∶EC=AF ∶FB，

所以EF∥BC.

例2.如圖9，O是正方形ABCD的對角AC、BD的交點(diǎn)，AE為∠BAC的平分線，交BC于E，DH⊥AE，垂足為H，并交AB于F，交AC于G.求證:BF=2OG.

■

證明:易知AO為△ABD的中線.

應(yīng)用習(xí)題結(jié)論，得AG∶OG=2AF∶FB，

又因?yàn)椤?=∠2，DH⊥AE，

所以AG=AF，

所以AG∶OG=2AG∶BF，

所以BF=2OG.

例3.如圖10，在凸四邊形ABCD中，E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，EF交BD、AC于G、H，且GE=HF.

求證:HO∶OA=GO∶OD

■

證明:連結(jié)BH、CG，則HE為△HAB

的中線，GF為△CDG的中線，應(yīng)用習(xí)題結(jié)

論，得HG∶GE=2HO∶OA，HG∶HF=2GO∶OD，

因?yàn)镚E=HF，2HO∶OA=2GO∶OD，

即HO∶OA=GO∶OD，

如圖11，如果直線l1∥l2，

■

那么△ABC與△A′BC的面積相等嗎?

為什么?

這是一道普通的習(xí)題，答案比較明確，若就題論題，一帶而過，那么收獲不會多

大.若能深入鉆研，掌握其實(shí)質(zhì)，挖掘其豐富的內(nèi)涵，進(jìn)行推廣引申，就會發(fā)現(xiàn)這道題目的潛在功能和應(yīng)用價(jià)值.

根據(jù)本題，不難得到如下結(jié)論:

結(jié)論1:同底等高的三角形面積相等.

若互換習(xí)題的部分條件與結(jié)論，可得到:

結(jié)論2:面積相等，同底等高，頂點(diǎn)在底邊同側(cè)的兩個(gè)三角形，其頂點(diǎn)連線平行于底邊.

再將習(xí)題的條件引申，可得到:

結(jié)論3:高合一、底共線的三角形面積比等于它們的底邊的比.

有了上述結(jié)論，可比較方便地解決下列問題:

例1.如圖12，已知⊙O的半徑為1，OA=2，AB切⊙O于B，且弦BC∥OA，求陰影部分的面積.

■

分析:直接求陰影部分的面積比較困難，注意到條件BC∥OA，若連結(jié)半徑OB、OC，根據(jù)結(jié)論1，可得S△ABC=S△BCO，于是陰影部分的面積等于扇形OBC的面積.由AB是⊙O的切線，OB=1，OA=2，可推出

∠AOB=60°，進(jìn)而有△BOC是等邊三角形，故扇形面積為■，即陰影部分的面積為■.

例2.如圖13，已知△ABC中，2AC、AB+BC，求證:△ABC的重心G與內(nèi)心M的連線平行于AC.

■

證明:連結(jié)AG、GC、MA、MC，則S△GAC=■S△ABC.

設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，則

S△ABC=■(AB+BC+AC)r，

因?yàn)?AC=AB+BC，

所以S△ABC=■AC·r=3S△MAC，

所以S△GAC=S△MAC，

由結(jié)論2，得MG∥AC.

三、一題多解能調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極

性和主動性，拓寬解題思路。通過多種解法的比較，擇優(yōu)棄劣，將有助于提高解題速度的質(zhì)量

如:A、B兩地相距20千米，甲、乙二人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，2小時(shí)后在途中相遇，相遇后，甲立即以原速度返回A地，乙仍以原速度繼續(xù)向A地前進(jìn)，待甲回到原地時(shí)，乙離A地還有2千米.求甲、乙二人的速度.

解法一:設(shè)乙每小時(shí)行x千米，根據(jù)題意，所行路程為2×2x=20-2，解得x=4.5(千米/時(shí))，于是甲的速度為■=■=

5.5(千米/時(shí))

答:略

解法二:設(shè)甲每小時(shí)行x千米，則乙每小時(shí)行■千米，根據(jù)題意，甲、乙兩人在相遇時(shí)共行路程為2(x+■)=20，解得x=5.5(千米/時(shí))，于是乙的速度為■=■=4.5(千米/時(shí))

答:略

解法三:設(shè)乙的速度為x千米/時(shí)，則根據(jù)題意，乙所行的時(shí)間為■=4，解得x=4.5(千米/時(shí)).

答:略

解法四 設(shè)甲的速度為x千米/時(shí)，乙的速度為y千米/時(shí)，則根據(jù)題意，甲、乙兩人在相遇時(shí)共行路程為

2x+2y=20，①

兩人相遇時(shí)甲比乙多行的路程是

2x+2y=2，②

解①、②得x=5.5(千米/時(shí))，y=4.5(千米/時(shí)).

答:略

總之，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生研究習(xí)題的潛在功能，不僅可以獲得一些數(shù)學(xué)問題的巧妙解法，而且還可以幫助學(xué)生進(jìn)一步掌握好書本知識，提高數(shù)學(xué)思維能力。

初三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一大課題，需要我們不斷探索和研究，以求得較好的教學(xué)效果.

作者單位:四川省資陽市雁江區(qū)南津鎮(zhèn)初級中學(xué)