摘 要:數(shù)列問題以其多變的形式和靈活的求解方法備受高考命題者的青睞，歷年來都是高考命題的熱點(diǎn)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式更是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，作為常歸的等差數(shù)列或等比數(shù)列可直接根據(jù)它們的通項(xiàng)公式求解，但也有一些數(shù)列要通過構(gòu)造來形成等差數(shù)列或等比數(shù)列，之后再應(yīng)用各自的通項(xiàng)公式求解。

關(guān)鍵詞:歸納猜想構(gòu)造

例1.(2006年福建高考題)在數(shù)列{an｝中，a1=1，an+1=2an+1，則an等于()

A.2nB.2n+1

C.2n-1D.2n-1

解:an+1=2an+1，所以an+1+1=2an+2=2(an+1)，所以■=2，又a1+1=2，{an+1｝是首項(xiàng)為2公比為2的等比數(shù)列an+1=2·2n-1=2n，所以an=2n-1，所以選C.

歸納小結(jié) 若數(shù)列{an｝滿足an+1=pan+q(p≠1，q為常數(shù))，則令an+1+?姿=p(an+?姿)來構(gòu)造等比數(shù)列，并利用對應(yīng)項(xiàng)相等求?姿的值，求通項(xiàng)公式.

例2.在數(shù)列{an｝中，a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an，則an= .

解:an+2-an+1=2(an+1-an)，因?yàn)閍2-a1=2，所以{an-an-1｝為首項(xiàng)為2公比也為2的等比數(shù)列，an-an+1=2n-1，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+1=■=2n-1.

歸納小結(jié):先構(gòu)造{an-1-an｝等比數(shù)列，這是化歸思想的具體應(yīng)用，再用疊加法求出通項(xiàng)公式，當(dāng)然本題也利用了等比數(shù)列求和公式。

例3.(必修5教材69頁)已知數(shù)列{an｝中a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2(n≥3)，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

解:因?yàn)閍n=2an+3an-2，所以an+an-1=

3(an-1+an-2)，又a1+a2=7，{an+an-1｝形成首項(xiàng)為7，公比為3的等比數(shù)列，則an+an-1=7×3n-2，①

又an-3an-1=-(an-1-3an-2)，

a2-3a1=-13，{an-3an-1｝形成了一個(gè)首項(xiàng)為-13，公比為-1的等比數(shù)列，

則an-3an-1=(-13)·(-1)n-2，②

①×3+②得4an=7×3n-1+13·(-1)n-1，

所以an=■×3n-1+■(-1)n-1.

歸納小結(jié):本題是兩次構(gòu)造等比數(shù)列，屬于構(gòu)造方面比較級(jí)，最終用加減消元的

方法確定出數(shù)列的通項(xiàng)公式。

例4.(2008四川省高考題)設(shè)數(shù)列{an｝的前項(xiàng)和為Sn，若b·an-2n=(b-1)Sn成

立，求證:當(dāng)b=2時(shí)，{an-n·2n-1｝是等比數(shù)列.

證明:當(dāng)n=1，b·a1-2=(b-1)a1，

所以a1=2，

又因?yàn)閎·an-2n=(b-1)·Sn，①

所以b·an+1-2n+1=(b-1)·Sn+1，②

②-①得b·an+1-b·an-2n=(b-1)·an+1，

所以an+1=b·an+2n，

當(dāng)b=2時(shí)，有an+1=2an+2n，

所以an+1-(n+1)×2n=2an+2n-(n+1)×2n=2·(an-n·2n-1)，

又a1-21-1=1，

所以{an-n·2n-1｝為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，an-n·2n-1=2n-1，

所以an=(n+1)·2n-1.

歸納小結(jié):本題構(gòu)造非常特殊，要注意恰當(dāng)?shù)幕喓吞崛」蚴?，本題集中體現(xiàn)了構(gòu)造等比數(shù)列的價(jià)值與魅力，同時(shí)也彰顯構(gòu)造思想在高考中的地位和作用。

例5.數(shù)列{an｝滿足a1=3，an+1=2an+3·2n+1，則an等于()

A.(3n-1)·2nB.(6n-3)·2n-1

C.3(2n-1)·2n+1D.(3n-2)·2n-1

解:因?yàn)閍n+1=2an+3×2n+1，所以■=■+3，■-■=3，又■=■，所以■構(gòu)成了一個(gè)首項(xiàng)為■，公差為3的等差數(shù)列，■=■+(n-1)×3=3n-■，an=2×2n-1·(3n-■)=(6n-3)×2n-1，所以選B.

歸納小結(jié):構(gòu)造等比數(shù)列，注意形■，當(dāng)n→n+1時(shí)，變?yōu)椤?

例6.(2006山東高考題)已知a1=2，點(diǎn)(an，an+1)在函數(shù)f(x)=x2+x的圖象上，其中n=1，2，3，…求數(shù)列{an｝的通項(xiàng)公式.

解:因?yàn)閒(x)=x2+2x，又因?yàn)?an，an+1)在函數(shù)圖象上，an+1=an2+2an，an+1+1=an2+

2an+1=(an+1)2，所以lg(an+1+1)=2lg(an+1)，■=2，因?yàn)閘g(a1+1)=lg3，{lg(an+1)｝是首項(xiàng)為lg3，公比為2的等比數(shù)列，lgan+1=2n-1·lg3=lg32n-1，所以an+1=32n-1，an=32n-1-1.

歸納小結(jié):前一個(gè)題構(gòu)造出■為等差數(shù)列，并且利用通項(xiàng)與和的關(guān)系來確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，后一個(gè)題構(gòu)造{lg(an+1)｝為等比數(shù)列，再利用對數(shù)性質(zhì)求解。數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用是當(dāng)今高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，因此我們在解決數(shù)列問題時(shí)應(yīng)充分利用函數(shù)有關(guān)知識(shí)，以它的概念與性質(zhì)為紐帶，架起函數(shù)與數(shù)列的橋梁，揭示它們之間內(nèi)在聯(lián)系，從而有效地解決數(shù)列問題。

例7.數(shù)列{an｝中，若a1=2，an+1=■，則a4等于()

A.■B.■

C.■D.■

解:因?yàn)閍n+1=■，所以■=■=■+3，又■=■，所以■是首項(xiàng)為■，公差為3的等差數(shù)列.

■=■+(n-1)·3=3n-■=■，

所以an=■，所以a4=■=■，所以選A

歸納小結(jié):an+1=f(an)且為一次分式型或構(gòu)造出倒數(shù)成等差數(shù)列或構(gòu)造出倒數(shù)加常數(shù)成等比數(shù)列，發(fā)散之后，兩種構(gòu)造思想相互聯(lián)系，相互滲透，最后融合到一起.

總之，構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列來求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是求通項(xiàng)公式的重要方法也是高考重點(diǎn)考查的思想，當(dāng)然題目是千變?nèi)f化的，構(gòu)造方式也會(huì)跟著千差萬別，要具體問題具體分析，需要我們反復(fù)推敲歸納，從而確定其形式，應(yīng)該說構(gòu)造方法的形成是在探索中前進(jìn)，在前進(jìn)中探索。

作者單位:漢川市第二高級(jí)中學(xué)數(shù)

學(xué)組