郭凌玉

摘要：教育改革正從應(yīng)試教育向素質(zhì)教育轉(zhuǎn)變,如何減輕高中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的負(fù)擔(dān)?如何提高我們高中數(shù)學(xué)教學(xué)的時(shí)效性?通過對(duì)高中學(xué)生數(shù)學(xué)思維障礙的成因及突破方法的分析，提出了要提高存在數(shù)學(xué)思維障礙的學(xué)生的解題能力，就要了解學(xué)生掌握的基礎(chǔ)知識(shí)狀況，思維方式，并重視對(duì)他們進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教育。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維 思維障礙 突破

數(shù)學(xué)是自然科學(xué)最基礎(chǔ)的學(xué)科，是研究客觀世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，具有很強(qiáng)的概括性、抽象性和邏輯性，是中小學(xué)教育必不可少的學(xué)科，對(duì)發(fā)展學(xué)生智力，培養(yǎng)學(xué)生能力，特別是在培養(yǎng)人的思維方面，具有其它任何一門學(xué)科都無法替代的特殊功能。思維是人的中樞神經(jīng)系統(tǒng)特別是大腦受外界各種刺激而引起的,是人腦對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)的概括和間接的反映，反映的是事物的本質(zhì)及內(nèi)部的規(guī)律性。所謂高中學(xué)生數(shù)學(xué)思維，是指學(xué)生在對(duì)高中數(shù)學(xué)感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用比較、分析、綜合、歸納、演繹等思維的基本方法，理解并掌握高中數(shù)學(xué)內(nèi)容而且能對(duì)具體的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行推論與判斷，從而獲得對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)和規(guī)律的認(rèn)識(shí)能力。

一、中學(xué)生數(shù)學(xué)思維障礙的原因初探

學(xué)習(xí)本身即是一種認(rèn)識(shí)過程，在這個(gè)課程中，個(gè)體的學(xué)習(xí)總是要通過已知的內(nèi)部認(rèn)知結(jié)構(gòu)，對(duì)“從外到內(nèi)”的輸入信息進(jìn)行整理加工，以一種易于掌握的形式加以儲(chǔ)存，也就是說學(xué)生能從原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中提取最有效的舊知識(shí)來吸納新知識(shí)，即找到新舊知識(shí)的“鏈接點(diǎn)”，這樣，新舊知識(shí)在學(xué)生的頭腦中發(fā)生積極的相互作用和聯(lián)系，導(dǎo)致原有知識(shí)結(jié)構(gòu)的不斷分化和重新組合，使學(xué)生獲得新知識(shí)。但是這個(gè)過程并非總是一次性成功的。一方面，如果在教學(xué)過程中，教師不顧學(xué)生的實(shí)際情況（即基礎(chǔ)）或不能覺察到學(xué)生的思維困難之處，而是任由教師按自己的思路或知識(shí)邏輯進(jìn)行灌輸式教學(xué)，則到學(xué)生自己去解決問題時(shí)往往會(huì)感到無所適從；另一方面，當(dāng)新的知識(shí)與學(xué)生原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)不相符時(shí)或者新舊知識(shí)中間缺乏必要的“鏈接點(diǎn)”時(shí)，這些新知識(shí)就會(huì)被排斥或經(jīng)“校正”后吸收。因此，如果教師的教學(xué)脫離了學(xué)生的實(shí)際；如果學(xué)生在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)過程中，其新舊數(shù)學(xué)知識(shí)不能順利“銜接”，新知識(shí)與舊有的知識(shí)相脫離，致使思維不能溝通，那么這時(shí)就勢(shì)必會(huì)造成學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)認(rèn)知上的不足、理解上的偏頗，學(xué)習(xí)是憑借已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)去學(xué)習(xí)新的知識(shí)、解決新的問題，學(xué)生在以往的學(xué)習(xí)中，獲得解題的方法，由于多次練習(xí)已經(jīng)在他們的心理品質(zhì)中穩(wěn)固下來，形成了一種心理定勢(shì)，這種心理定勢(shì)干擾著新思路的形成，我們把它稱為思維上的定勢(shì)，從正面說，思維定勢(shì)的形成表明學(xué)生不僅掌握了知識(shí)，并且也形成了一定的思維推理能力；但是從反面說，這種思維定勢(shì)對(duì)推理能力的發(fā)展和提高也具有一定的阻礙作用。在思維定勢(shì)的作用下，往往自覺或不自覺地認(rèn)為某種知識(shí)的應(yīng)用范圍是定向的，解決問題的方法是定型的。因此，在面對(duì)新的問題情境時(shí)，往往跳不出原有的框架，缺乏求異意識(shí)。從而在解決具體問題時(shí)就會(huì)產(chǎn)生思維障礙，影響學(xué)生解題能力的提高。由此，要想提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，首要就是要找到這些思維障礙的形成原因并加以解決。

二、高中數(shù)學(xué)思維障礙的表征

由于高中數(shù)學(xué)思維障礙產(chǎn)生的原因不盡相同，作為主體的學(xué)生的思維習(xí)慣、方法也都有所區(qū)別，所以，高中數(shù)學(xué)思維障礙的表現(xiàn)各異，具體的可以概括為：

1、數(shù)學(xué)思維的膚淺性形成的思維障礙

由于學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，對(duì)一些數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)原理的發(fā)生、發(fā)展過程沒有深刻地去理解，一般的學(xué)生僅僅停留在表象的概括水平上，不能脫離具體表象而形成抽象的概念。而任何一個(gè)數(shù)學(xué)概念都是內(nèi)涵和外延的統(tǒng)一，學(xué)習(xí)概念，一方面要理解概念的內(nèi)涵，同時(shí)也要明確概念的外延。所謂外延，即概念所涉及的范圍和條件。實(shí)踐告訴我們，學(xué)生弄清概念的內(nèi)涵和外延是深化對(duì)概念的理解，正確運(yùn)用數(shù)學(xué)概念解決實(shí)際問題的前提條件。如果概念的內(nèi)涵或外涵不清楚，無形之中就會(huì)縮小或擴(kuò)大概念的使用范圍，自然也無法擺脫局部事實(shí)的片面性而把握事物的本質(zhì)，造成這樣那樣的錯(cuò)誤。由此而產(chǎn)生的后果：(1)學(xué)生在分析和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，往往只順著事物的發(fā)展過程去思考問題，注重由因到果的思維習(xí)慣，不注重變換思維的方式，缺乏沿著多方面去探索解決問題的途徑和方法。例如有學(xué)生見到|a|≤1，|b|≤1，就通過三角代換來解決（設(shè)a=cosα，b=sinα），理由是|a|≤1，|b|≤1，而不管這兩個(gè)毫不相干的量a、b有沒有建立了具體的聯(lián)系，這恰好反映了學(xué)生思維上的膚淺。(2)缺乏足夠的抽象思維能力，學(xué)生往往善于處理一些直觀的或熟悉的數(shù)學(xué)問題，而對(duì)那些不具體的、抽象的數(shù)學(xué)問題常常不能抓住其本質(zhì)，轉(zhuǎn)化為已知的數(shù)學(xué)模型或過程去分析解決。例：解不等式|x-1|+|x+2|<1，只想著分段討論，而不會(huì)把它轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到1和-2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離來解。

2、習(xí)慣性的單向思維形成的思維障礙

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，特別是在解題時(shí)，學(xué)生往往在題目的一個(gè)點(diǎn)上思考，數(shù)學(xué)思維單一性，這樣會(huì)容易使得數(shù)學(xué)思維受到阻礙，就不能多角度去思考或者不能發(fā)現(xiàn)整體。

例：100個(gè)人站成一行，自1起報(bào)數(shù)，凡報(bào)奇數(shù)者離隊(duì)，留下的再次自1起報(bào)數(shù)，凡報(bào)奇數(shù)者又離隊(duì)，這樣反復(fù)下去，最后留下一個(gè)人，問這個(gè)人第一次報(bào)數(shù)為多少？

解法探求：若按問題原程序，第一輪報(bào)數(shù)后劃掉被淘汰者，第二輪報(bào)數(shù)后又劃掉被淘汰者，如此下去要不了幾輪就被攪亂了陣線?，F(xiàn)逆轉(zhuǎn)程序思考，最后被留者在倒數(shù)第1輪必2，在倒數(shù)第2輪必4，在倒數(shù)第3輪必8...，于是極易得出倒推過去此人報(bào)的是16，32，64。即第一輪報(bào)考64。

在解題過程中，若正向思維受阻就應(yīng)考慮逆向探求，正難則反。在數(shù)學(xué)中我們要首先重視正向思維的訓(xùn)練，同時(shí)要加強(qiáng)逆向思維的訓(xùn)練。在解題訓(xùn)練中培養(yǎng)學(xué)生雙向思維的意識(shí)，有利于解題思路的開拓。

3、數(shù)學(xué)思維定勢(shì)的消極性形成的思維障礙：由于高中學(xué)生已經(jīng)有相當(dāng)豐富的解題經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生運(yùn)用掌握的知識(shí)形成一套切實(shí)有效的分析解決問題的推理方式和方法，因此，有些學(xué)生往往對(duì)自己的某些想法深信不疑，很難使其放棄一些陳舊的解題經(jīng)驗(yàn)，思維陷入僵化狀態(tài)，變成了學(xué)生的一種固定的思維模式，不能根據(jù)新的問題的特點(diǎn)作出靈活的反應(yīng)，常常阻抑更合理、有效的思維，甚至造成歪曲的認(rèn)識(shí)。如：求lgcot1°、lgcot2°、lgcot3°……lgcot89°。

4、數(shù)學(xué)思維的差異性形成的思維障礙

由于每個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不盡相同，其思維方式也各有特點(diǎn)，因此不同的學(xué)生對(duì)于同一數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識(shí)、感受也不會(huì)完全相同，從而導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解的偏頗。這樣，學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，一方面不大注意挖掘所研究問題中的隱含條件，抓不住問題中的確定條件，影響問題的解決。如非負(fù)實(shí)數(shù)x，y滿足x＋2y=1，求x＋y2的最大、最小值。在解決這個(gè)問題時(shí)，如對(duì)x、y的范圍沒有足夠的認(rèn)識(shí)（0≤x≤1，0≤y≤1／2），那么就容易產(chǎn)生錯(cuò)誤。另一方面學(xué)生不知道用所學(xué)的數(shù)學(xué)概念、方法為依據(jù)進(jìn)行分析推理，對(duì)一些問題中的結(jié)論缺乏多角度的分析和判斷，缺乏對(duì)自我思維進(jìn)程的調(diào)控，從而造成障礙。如函數(shù)y=f(x)滿足f(2＋x)=f(2－x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，證明函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱.對(duì)于這個(gè)問題，一些基礎(chǔ)好的同學(xué)都不大會(huì)做(主要反映寫不清楚)，我就動(dòng)員學(xué)生看書，在函數(shù)這一章節(jié)中找相關(guān)的內(nèi)容看，待看完奇、偶函數(shù)、反函數(shù)與原函數(shù)的圖象對(duì)稱性之后，學(xué)生也就能較順利的解決這一問題了。

三、高中學(xué)生數(shù)學(xué)思維障礙的突破

1、因材施教

在高中數(shù)學(xué)起始教學(xué)中，教師必須著重了解和掌握學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)狀況，尤其在講解新知識(shí)時(shí)，要嚴(yán)格遵循學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的階段性特點(diǎn)，照顧到學(xué)生認(rèn)知水平的個(gè)性差異，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的主動(dòng)精神，培養(yǎng)學(xué)生良好的意志品質(zhì)；同時(shí)要培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。興趣是最好的教師，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有了興趣，才能產(chǎn)生數(shù)學(xué)思維的興奮點(diǎn)，也就是更大程度地預(yù)防學(xué)生思維障礙的產(chǎn)生。教師可以幫助學(xué)生進(jìn)一步明確學(xué)習(xí)的目的性，針對(duì)不同學(xué)生的實(shí)際情況，因材施教，分別給他們提出新的更高的奮斗目標(biāo)，使學(xué)生有一種“跳一跳，就能摸到桃”的感覺，提高學(xué)生學(xué)好高中數(shù)學(xué)的信心。

2、由于每個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不盡相同，其思維方式也各有特點(diǎn)，部分學(xué)生習(xí)慣性的單向思維也會(huì)給解題過程帶來不同的思維障礙。其實(shí)，逆向思維在數(shù)學(xué)教材中可謂無所不在，運(yùn)算與逆運(yùn)算，函數(shù)與反函數(shù)，分析與綜合，順證與反證都為逆向思維的培養(yǎng)提供了豐富的材料，因而對(duì)逆向思維的培養(yǎng)要貫穿于教學(xué)過程中。教師要引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)逆向思維的重要性，要認(rèn)識(shí)這是與數(shù)學(xué)解題有密切聯(lián)系的思維形式，在教學(xué)中要重視互逆概念的比較，重視互逆公式的使用，結(jié)合教材，加強(qiáng)分析法、反證法、待定系數(shù)法等重要方法的訓(xùn)練，以揭示逆向思維的解題規(guī)律。

3、重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生提高數(shù)學(xué)意識(shí)。數(shù)學(xué)意識(shí)是學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)對(duì)自身行為的選擇，它既不是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的具體應(yīng)用，也不是對(duì)應(yīng)用能力的評(píng)價(jià)，數(shù)學(xué)意識(shí)是指學(xué)生在面對(duì)數(shù)學(xué)問題時(shí)該做什么及怎么做，至于做得好壞，當(dāng)屬技能問題，有時(shí)一些技能問題不是學(xué)生不懂，而是不知怎么做才合理，有的學(xué)生面對(duì)數(shù)學(xué)問題，首先想到的是套那個(gè)公式，模仿那道做過的題目求解，對(duì)沒見過或背景稍微陌生一點(diǎn)的題型便無從下手，無法解決，這是數(shù)學(xué)意識(shí)落后的表現(xiàn)。數(shù)學(xué)教學(xué)中，在強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)知識(shí)的準(zhǔn)確性、規(guī)范性、熟練程度的同時(shí)，我們應(yīng)該加強(qiáng)數(shù)學(xué)意識(shí)教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生以意識(shí)帶動(dòng)雙基，將數(shù)學(xué)意識(shí)滲透到具體問題之中。

如：設(shè)x2＋y2＝25，求u的取值范圍。若采用常規(guī)的解題思路，u的取值范圍不大容易求，但適當(dāng)對(duì)u進(jìn)行變形：轉(zhuǎn)而構(gòu)造幾何圖形容易求得u∈[6，6]，這里對(duì)u的適當(dāng)變形實(shí)際上是數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)換意識(shí)在起作用。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中只有加強(qiáng)數(shù)學(xué)意識(shí)的教學(xué)，如“因果轉(zhuǎn)化意識(shí)”“類比轉(zhuǎn)化意識(shí)”等的教學(xué)，才能使學(xué)生面對(duì)數(shù)學(xué)問題得心應(yīng)手、從容作答。所以，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)是突破學(xué)生數(shù)學(xué)思維障礙的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。

總之，高中數(shù)學(xué)思維具有更高的抽象性，并開始由抽象思維向辯證思維發(fā)展。為了有效克服以上所述的各種思維障礙，就必須認(rèn)真研究學(xué)生思維障礙產(chǎn)生的根源，增強(qiáng)預(yù)見性和針對(duì)性，切實(shí)糾正學(xué)生思維過程中的錯(cuò)誤偏差，以培養(yǎng)學(xué)生的思維發(fā)展為己任，在實(shí)踐中去分析、研究、解決問題，并在學(xué)習(xí)過程中不斷鞏固、深化、提高，逐步培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，則勢(shì)必會(huì)提高高中學(xué)生數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，擺脫題海戰(zhàn)術(shù)，真正減輕學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的負(fù)擔(dān)。

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