謝飛祥

數(shù)學(xué)對(duì)發(fā)展推理能力的作用，人們?cè)缫颜J(rèn)同?？茖W(xué)結(jié)論(包括數(shù)學(xué)的定理、法則、公式等)的發(fā)現(xiàn)往往發(fā)端于對(duì)事物的觀察、比較、歸納、類比……即通過(guò)合情推理提出猜想，然后再通過(guò)演繹推理證明猜想的正確與錯(cuò)誤。但是，長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)教學(xué)注重采用“形式化”的方式發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力，卻忽視了合情推理能力的培養(yǎng)。合情推理能力的培養(yǎng)應(yīng)貫穿于義務(wù)教育階段教學(xué)的始終，歸納推理、類比推理、統(tǒng)計(jì)推理、猜想等是合情推理的重要形式。

一、提供豐富典型的材料，培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力

有專家認(rèn)為，演繹推理的主要功能在于驗(yàn)證結(jié)論，而不是發(fā)現(xiàn)結(jié)論，我們?nèi)鄙俚氖歉鶕?jù)情況預(yù)測(cè)結(jié)果的能力和根據(jù)結(jié)果探究成因的歸納推理能力。歸納推理是從特殊判斷到一般判斷的推理，這種推理又分為完全歸納和不完全歸納兩種。其中不完全歸納推理系根據(jù)某類事物中的部分情況具有某種屬性而作出一般性結(jié)論，是人類發(fā)現(xiàn)真理、認(rèn)識(shí)客觀世界、探索未知領(lǐng)域的一種重要方法。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，如運(yùn)算定律、基本性質(zhì)、法則、公式等都是以不完全歸納推理概括出來(lái)的，所以，教師在教學(xué)中應(yīng)有目的地提供豐富而典型的感性材料，通過(guò)動(dòng)手操作、自主探究、同伴合作等形式；培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力。

加在教學(xué)“圓的周長(zhǎng)”時(shí)，教師先引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用繞線法和滾動(dòng)法實(shí)際測(cè)量出幾個(gè)圓的周長(zhǎng)：直徑1厘米的圓周長(zhǎng)約3.14厘米：直徑2厘米的圓周長(zhǎng)約6.28厘米：直徑3厘米的圓周長(zhǎng)約9.43厘米：直徑4厘米的圓周長(zhǎng)約12.57厘米……然后讓學(xué)生通過(guò)觀察，最后歸納得出：不論圓的大小如何，圓的周長(zhǎng)總是它的直徑長(zhǎng)度的3倍多一點(diǎn)。通過(guò)這樣為學(xué)生理解圓周率的概念提供豐富的感性材料，圓周長(zhǎng)公式的得出也就水到渠成了。

在小學(xué)低年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中有計(jì)劃地培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力，尤其要從豐富的感性材料入手，由教師講解歸納的過(guò)程，逐步過(guò)渡到在教師引導(dǎo)下由學(xué)生對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題進(jìn)行歸納：中年級(jí)學(xué)生對(duì)歸納推理已經(jīng)積累了一些經(jīng)驗(yàn)，可以在教師引導(dǎo)下逐步增加自己歸納推理的成分：高年級(jí)的學(xué)生一般來(lái)說(shuō)已經(jīng)有了初步的歸納能力，可以放手讓他們自己進(jìn)行歸納，進(jìn)一步提高歸納能力。值得注意的是。在應(yīng)用不完全歸納推理時(shí)，有時(shí)根據(jù)不多的幾個(gè)事例會(huì)得出不正確的結(jié)論，因此，所舉事實(shí)必須豐富并且有代表性，做出結(jié)論后還要進(jìn)一步予以驗(yàn)證。

二、提出有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的類比推理能力

德國(guó)古典哲學(xué)家康德認(rèn)為：“每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思想時(shí)，類比這個(gè)方法往往指引我們前進(jìn)。”波利亞也曾高度評(píng)價(jià)類比的作用和意義，說(shuō)：“類比似乎在一切發(fā)現(xiàn)中有作用，而且在某些發(fā)現(xiàn)中有它最大的作用?！彼€說(shuō)：“類比是提出新命題和獲得發(fā)現(xiàn)取之不竭的源泉?！鳖惐韧评硎歉鶕?jù)兩個(gè)不同對(duì)象的某些方面(特性、屬性、關(guān)系等)相同或相似，推出它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗤蛳嗨频乃季S形式，屬于由特殊到特殊的推理。這也是一種尋找真理和發(fā)現(xiàn)真理的基本而重要的手段，在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，有些性質(zhì)是十分相似的，如商不變性質(zhì)、分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)、比的基本性質(zhì)等。在教學(xué)時(shí)可緊緊抓住除法、分?jǐn)?shù)和比三者之間的關(guān)系，由商不變的性質(zhì)類推出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、比的基本性質(zhì)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，類比推理是學(xué)生獲得概念、方法、定律和公式的重要手段，同時(shí)也是探索問(wèn)題、解決問(wèn)題和發(fā)現(xiàn)新結(jié)果時(shí)一種有效的思維方法。

如在教學(xué)“分?jǐn)?shù)應(yīng)用題”時(shí)，筆者出示了一道題：如果一匹布料做兒童服裝能做40套，做大人服裝只能做16套，在用這匹布做15套兒童服裝后，剩下的布還可以做幾套大人服裝?這是一道富有挑戰(zhàn)性的題目，學(xué)生在解答時(shí)一開(kāi)始無(wú)從著手，即使進(jìn)行了思考和分析，電很難理清數(shù)量關(guān)系，大家正在靜思默想時(shí)，突然有學(xué)生說(shuō)：“老師，這道題目與我們以前學(xué)過(guò)的分?jǐn)?shù)工程問(wèn)題的應(yīng)用題相類似。”“你能舉例說(shuō)明嗎?”“能。就像一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做要40天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做要16天完成。現(xiàn)在由甲隊(duì)先單獨(dú)做15天，剩下的任務(wù)由乙隊(duì)做。乙隊(duì)還要做幾天才能完成這項(xiàng)工程?”一進(jìn)行類比，其他學(xué)生茅塞頓開(kāi)。運(yùn)用類比推理，抽象的內(nèi)容可以具體化、形象化，陌生的東西可以轉(zhuǎn)化為熟悉的東西，深?yuàn)W的道理可以明白簡(jiǎn)單地被揭示出來(lái)，

在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中，類比的表現(xiàn)形式是多種多樣的。通?？煞譃楹?jiǎn)單的類比與復(fù)雜的類比兩類。簡(jiǎn)單的類比即形式的類比，如由“在除法算式中，除數(shù)不能為零”，類比推出“分?jǐn)?shù)的分母不能為零”和“比的后項(xiàng)不能為零”。復(fù)雜的類比即實(shí)質(zhì)的類比，這種類比能拓寬學(xué)生的知識(shí)面，引導(dǎo)他們挖掘數(shù)量間隱藏著的內(nèi)在聯(lián)系，掌握數(shù)量間可能引起的變化規(guī)律。

三、拓寬自主探索的空間。培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)推理能力

所謂統(tǒng)計(jì)推理，是指運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，對(duì)大量似乎重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象作出統(tǒng)計(jì)分析。然后提出某個(gè)推論，但這個(gè)推論只是一種可能性的或是“統(tǒng)計(jì)規(guī)律性”的看法。統(tǒng)計(jì)推理與其他推理不同的是，由統(tǒng)計(jì)推理得到的結(jié)論無(wú)法用邏輯的方法去檢驗(yàn)，只能靠實(shí)踐來(lái)證實(shí)。如在教學(xué)中所碰到的對(duì)“這個(gè)結(jié)果事出偶然的可能性有多大”“如果試驗(yàn)做很多很多次，那么這個(gè)試驗(yàn)得出一個(gè)特定結(jié)果的可能性如何”等問(wèn)題的回答，都只能是靠概率統(tǒng)計(jì)為基礎(chǔ)的推理?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求從不同層面讓學(xué)生體會(huì)統(tǒng)計(jì)對(duì)決策的作用：一是對(duì)某事件有一個(gè)猜測(cè)，為了檢驗(yàn)這個(gè)猜測(cè)，學(xué)生要自己設(shè)計(jì)統(tǒng)計(jì)活動(dòng)。動(dòng)手收集、整理與分析數(shù)據(jù)：另一種是面對(duì)一批數(shù)據(jù)，學(xué)生能夠根據(jù)已有的知識(shí)進(jìn)行分析，作出合理的推測(cè)。所以。在教學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”時(shí)。教師要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)自主探索的時(shí)空，使其經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、作出推斷和決策的全過(guò)程，這樣才能發(fā)展學(xué)生的統(tǒng)計(jì)推理能力。

如在教學(xué)“統(tǒng)計(jì)”后，教師布置了課外作業(yè)：“為了籌備新年的聯(lián)歡晚會(huì)，準(zhǔn)備哪些水果才受歡迎呢?”為此，每個(gè)學(xué)生對(duì)全班同學(xué)喜歡什么樣的水果進(jìn)行調(diào)查，然后把調(diào)查所得的結(jié)果整理成數(shù)據(jù)，并進(jìn)行比較，再根據(jù)處理后的數(shù)據(jù)作出決策，確定應(yīng)該準(zhǔn)備什么水果。這個(gè)過(guò)程的推理就是統(tǒng)計(jì)推理，雖然這個(gè)結(jié)果只能使絕大多數(shù)同學(xué)喜歡(而不是全部)，但是仍有助于學(xué)生根據(jù)需要在紛繁復(fù)雜的信息中作出選擇和判斷，進(jìn)行推理與作出決策，即對(duì)統(tǒng)計(jì)推理的過(guò)程的理解有助于學(xué)生得出準(zhǔn)確和有價(jià)值的結(jié)論。

四、預(yù)設(shè)認(rèn)知沖突的情景，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想能力

牛頓說(shuō)過(guò)：“沒(méi)有大膽的猜想，就沒(méi)有偉大的發(fā)現(xiàn)?！辈ɡ麃喺J(rèn)為：“說(shuō)得直截了當(dāng)一點(diǎn)，合情推理就是猜想。”猜想是合情推理最普遍、最重要的一種，歸納、類比都包含著猜想的成分。數(shù)學(xué)猜想是人們依據(jù)已有數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用非邏輯的思維方法，憑借直覺(jué)而作出的假設(shè)和預(yù)測(cè)。它是人們探索數(shù)學(xué)規(guī)律、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的手段和策略。培養(yǎng)小學(xué)生的猜想能力，不僅能調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性、主動(dòng)性，而且有利于培養(yǎng)直覺(jué)思維、探索精神和創(chuàng)新意識(shí)，發(fā)展合情推理能力。傳統(tǒng)的教學(xué)留給學(xué)生思維活動(dòng)的內(nèi)容和時(shí)間太少，不僅削弱了認(rèn)知的發(fā)生過(guò)程，而且容易導(dǎo)致思維禁錮，不敢或不能提出猜想。這與培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力的時(shí)代要求是相悖的。為了發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維，教師應(yīng)該教給思維方法。鼓勵(lì)他們對(duì)具體問(wèn)題和具體教材進(jìn)行分析。通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、類比、歸納等手段提出猜想。這樣，有助于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，滿足其求知欲望，學(xué)會(huì)探求知識(shí)的方法。在小學(xué)數(shù)學(xué)教育中，要積極創(chuàng)造條件，引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想。

如在教學(xué)“數(shù)的整除”時(shí)，在學(xué)生知道了能被2.5整除的數(shù)的特征后，教師讓學(xué)生猜想能被3整除的數(shù)的特征。許多學(xué)生認(rèn)為個(gè)位上是3，6，9的數(shù)都能被3整除，這時(shí)教師就列舉出了13，16，29等不能被3整除的數(shù)，讓學(xué)生嘗試后發(fā)現(xiàn)他們的猜想是不對(duì)的。接著，教師提出“那么能被3整除的數(shù)不看個(gè)位。該由什么決定”和“它們的特征是什么”這兩個(gè)問(wèn)題。教師的提問(wèn)立即喚起了學(xué)生的有意注意，激發(fā)起探究欲望，引發(fā)了各種猜想。要發(fā)展小學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想能力，在教學(xué)中須注意：(1)營(yíng)造和諧環(huán)境鼓勵(lì)大膽猜想。(2)積極引導(dǎo)啟發(fā)，滲透猜想方法。在教學(xué)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)利用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)觀察、歸納、類比、聯(lián)想等方法獲得猜想，并通過(guò)語(yǔ)言外化出來(lái)，促使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)有根有據(jù)、合情合理地猜想。(3)加強(qiáng)猜想后的檢驗(yàn)。引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、計(jì)算、推理等方法進(jìn)行檢驗(yàn)、證明，從而發(fā)展猜想能力。

波利亞認(rèn)為，對(duì)于一個(gè)想以數(shù)學(xué)作為終身職業(yè)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，為了存數(shù)學(xué)上取得真正的成就，就得掌握合情推理：對(duì)于一般學(xué)生來(lái)說(shuō)，也必須學(xué)習(xí)和體驗(yàn)合情推理，這是未來(lái)生活的需要。因此，教師在教學(xué)中須充分挖掘發(fā)展合情推理能力的因素，有意識(shí)地提供合情推理機(jī)會(huì)，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理思維能力。

作者簡(jiǎn)介：中學(xué)高級(jí)教師，浙江省優(yōu)秀教師。近年來(lái)致力于小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究，有20多篇論文在報(bào)刊上發(fā)表，其中3篇論文被中國(guó)人民大學(xué)書(shū)報(bào)資料中心全文轉(zhuǎn)載。

責(zé)任編輯鄧園生