【摘 要】“蝸牛與魔棒”是關(guān)于時(shí)間的悖論，它的研究涉及到高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)意義、調(diào)和級數(shù)、線性微分方程等知識內(nèi)容的應(yīng)用。在這里，我將以“蝸牛與魔棒的故事”、“數(shù)量問題及求解思路”、“魔棒先伸長后蝸牛再爬行”、“蝸牛先爬行后魔棒再伸長”、“問題的關(guān)節(jié)點(diǎn)”這五個方面進(jìn)行闡述。

【關(guān)鍵詞】蝸牛 魔棒 均勻伸長 位移坐標(biāo)

一、蝸牛與魔棒的故事

一只小蝸牛誤入歧途，爬到魔棒的一端，魔棒大怒說：我叫你永遠(yuǎn)也爬不到另一端。于是魔棒以蝸牛數(shù)倍的速度伸長，可憐的蝸牛爬呀爬，何時(shí)才是盡頭？

二、數(shù)量問題及求解思路

將上故事數(shù)學(xué)化：一只不會老的蝸牛在一根不斷延伸的魔棒上爬行，假設(shè)蝸牛從魔棒的一端以每小時(shí)1厘米的勻速爬向另一端，同時(shí)魔棒以每小時(shí)1千米的速度在均勻伸長，問蝸牛能不能爬到魔棒端點(diǎn)？憑直覺：這只蝸牛永遠(yuǎn)爬不到端點(diǎn)，但是它最終還是爬到了，為什么呢？以下就來討論這個問題。

設(shè)蝸牛在魔棒的位置為一個點(diǎn)且從左端向右爬，現(xiàn)以棒的左端為原點(diǎn)，右端為正方向，單位長度為1厘米建立數(shù)軸——OX軸。并從蝸牛開始爬行、魔棒（右端）開始伸長計(jì)時(shí)，經(jīng)過 t小時(shí)后，蝸牛的坐標(biāo)設(shè)為χ（t），顯然χ（0）= 0 ，魔棒的右端坐標(biāo)為100000（1+t），如圖所示：

問關(guān)于時(shí)間 t的方程：

χ（t）— 100000（1+t）= 0 是否有解？

由題意知：在任何時(shí)間內(nèi)，蝸牛在數(shù)軸上的位移都是兩個量的疊加，一是蝸牛在魔棒的爬行位移，二是蝸牛的位置因棒的伸長而產(chǎn)生的位移，雖然蝸牛沿魔棒爬行與棒均勻伸長是同時(shí)進(jìn)行的，但我們可在任意時(shí)刻給出一個微小的時(shí)間段Δt內(nèi)，可視蝸牛的坐標(biāo)位移是按兩種順序復(fù)合疊加的：蝸牛不動魔棒先伸然后魔棒不動蝸牛再爬，或者魔棒不動蝸牛先爬然后蝸牛不動魔棒再伸。當(dāng)然蝸牛爬行與魔棒伸長同時(shí)進(jìn)行的情況更為復(fù)雜，但由于Δt無窮小，按兩種順序復(fù)合疊加后的結(jié)果誤差是Δt更高階的無窮小。以下就分兩種情形討論。

三、魔棒先伸長后蝸牛再爬行

1.解的存在性

將時(shí)間以小時(shí)為單位分段考慮蝸牛與魔棒端的坐標(biāo)。

第1小時(shí)末棒端（右）坐標(biāo)為100000（1+1），蝸牛坐標(biāo)為 1

第2小時(shí)末棒端坐標(biāo)為100000（1+2），蝸牛坐標(biāo)為 1+（1+12）

第n小時(shí)末棒端坐標(biāo)為100000（1+n），蝸牛坐標(biāo)為

即，蝸牛沿魔棒爬行時(shí)間不超過N小時(shí)就能達(dá)到棒的端點(diǎn)。

2.解的精確值

在t時(shí)刻，魔棒端坐標(biāo)為100000（1+t），蝸牛的位置坐標(biāo)為χ（t），過微少的時(shí)間Δt后，棒伸長為：100000（1 + t +Δt）厘米，由于魔棒的伸長是均勻的，按相同比例，蝸牛的相對位置坐標(biāo)為：χ（t）（1 +Δt1+t），隨后蝸牛又沿魔棒爬行Δt厘米，于得蝸牛的絕對位置坐標(biāo)為：

χ（t +Δt）=χ（t）（1 +Δt1+t）+Δt

由上表達(dá)式可求得χ（t）的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義可得t時(shí)刻蝸牛的絕對運(yùn)動速度：

這是未知函數(shù)為χ，自變量為 t的一階線性微分方程，其通解為:

χ =（1 + t）ln（1+t）+C（1+t）（C為常數(shù)）

由初始條件χ（0）= 0得 C = 0

所以蝸牛在 t時(shí)刻的位置坐標(biāo)為

χ（t）=（1 + t）ln（1+t）

令（1 + t）ln（1+t）= 100000（1+t）

t = e100000 — 1（小時(shí)）

即蝸牛雖慢，但經(jīng) e100000 — 1小時(shí)后它爬到魔棒的另一端。

四、蝸牛先爬行后魔棒再伸長

1.解的存在性

在 t時(shí)刻，蝸牛的位置坐標(biāo)為χ（t），經(jīng)過時(shí)間Δt后，蝸牛爬到χ（t）+Δt點(diǎn)，而魔棒在Δt內(nèi)由100000（1+ t）均勻伸長為100000（1+t +Δt）厘米，蝸牛的位置由點(diǎn)χ（t）+Δt 延伸到χ（t +Δt），按同樣比例可得其表達(dá)式：

由第三部分第2段討論知上不等式右端是蝸牛在 t+Δt時(shí)刻，按魔棒先伸蝸牛后爬疊加的絕對位移，所以蝸牛的絕對位移按順序二疊加所得比按順序一疊加所得的較大。

因此由“順序一”的存在性自然推出“順序二”的存在性。

2.解的精確值

由1討論知：

即在 t 時(shí)刻，蝸牛的位移速度χ(t)按“順序一”或“順序二”疊加所得結(jié)論均為：

即蝸牛 t時(shí)刻的位移坐標(biāo)表達(dá)式為：

χ(t) = (1 + t ) ln (1 + t)∴ t = e 100000—1是χ(t) = 100000 (1 + t)的精確解。

五、問題的關(guān)節(jié)點(diǎn)

1.從數(shù)軸上看在延伸的魔棒上爬行的蝸牛，其位置坐標(biāo)是時(shí)間 t的函數(shù)χ(t) ，由導(dǎo)數(shù)的意義可求得χ(t)所滿足的一階線性微分方程：

加之初值條件χ(0) = 0得：χ(t) = ( 1+ t) ln (1 + t)

2.魔棒的右端坐標(biāo)為100000（1+t），隨t的增大必有

χ(t) = ( 1+ t) ln (1 + t)≥ 100000（1+t）

加之不等式兩端皆為連續(xù)函數(shù)，故存在t0使

(1+ t) ln (1 + t) = 100000（1+t）

3.存在性的證明，其關(guān)鍵是調(diào)和級數(shù)的發(fā)散性。

4.理解蝸牛與魔棒悖論的關(guān)健是魔棒的伸長是均勻的，即棒上任何等長的兩段在相等時(shí)間內(nèi)伸展的長度相等，這意味著沿魔棒爬行的蝸牛位置也隨棒的延伸向前挪動，加之蝸牛又在魔棒上不斷的向前爬行，因此它能爬到端點(diǎn)。

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(作者單位：貴州興義市黔西南民族師范高等?？茖W(xué)校）