陳 亮
鐘表指針夾角問題看似復雜,但概括起來無外乎兩種情形:一是單針轉(zhuǎn)過的角度問題,二是分針、時針夾角問題.只要同學們認真學習,是很容易掌握其解題要領的,下面分別介紹.
一、求單針轉(zhuǎn)過角度的方法(單針是指時針或分針)
因為鐘表上的小格將表盤平均分成60份,每一份(即1小格)對應6°,每一格(1格等于5小格)對應30°,所以,單針(分針或時針)轉(zhuǎn)過的角度等于單針轉(zhuǎn)過的小格數(shù)(也是分鐘數(shù))乘以6°,時針轉(zhuǎn)過的角度還等于時針轉(zhuǎn)過的格數(shù)乘以30°.
例1從2時30分到2時55分,時鐘的分針轉(zhuǎn)過的角度大小是;2時15分到5時30分,時鐘的時針轉(zhuǎn)過的角度大小是 .
解析:本題的兩問都是求單針轉(zhuǎn)過的角度.因為從2時30分到2時55分,分針共轉(zhuǎn)過55 - 30 = 25(min)(也就是25小格),所以,分針轉(zhuǎn)過的角度等于25 × 6° = 150°;從2時15分到5時30分,時針共轉(zhuǎn)過了5- 2= 5.5 - 2.25 = 3.25(h),所以,時針轉(zhuǎn)過的角度等于3.25 × 30° = 97.5°.
二、分針與時針夾角問題,我們可用公式求解
為方便敘述,先設定本情形中涉及的三個量,時針的點數(shù)用d表示,分針的分鐘數(shù)用f表示,兩針的夾角用α表示.下面,我們探索d、f、α這三個量之間的關系.
因為鐘表的時針12 h轉(zhuǎn)一圈,分針1 h轉(zhuǎn)一圈,所以,分針的速度是時針速度的12倍.分針每分鐘轉(zhuǎn)的角度是6°,則時針每分鐘轉(zhuǎn)的度數(shù)為× 6° = 0.5°,分針與時針每分鐘夾角變化的度數(shù)就是6° - 0.5° = 5.5°.假設d時f分時兩針的夾角為α°,那么分針f min轉(zhuǎn)(6 f)°,時針f min就轉(zhuǎn)× (6 f)° = (0.5 f)°,我們以前一個最近的整點為基準,分針、時針夾角的度數(shù)顯然等于分針、時針轉(zhuǎn)過的角度之差.如果分針在前,則
α = (6 f)°- [(30d)° + (0.5f)°],
即α = (5.5f)° - (30d)°.
如果時針在前,則
α = (30d)° + (0.5f)° - (6f)°,
即 α = (30d)° - (5.5f)°.
總之,無論分針在前還是時針在前,都有α = |(30d)° - (5.5f)°|.
這就是解決分針與時針夾角問題的公式,實踐中,我們應該有“任意知道d、f、α中的兩個量可求出第三量”的靈活性.
例2鐘表在1時20分時,它的時針與分針所成角的大小是 .
解析:由題意,知d = 1, f = 20,所以α = |30 × 1 - 5.5 × 20| = 80°.故填80°.
例3鐘表在5時過多少分時,分針與時針的夾角為90°?
解析:本題已知d與α,要求f,可以用方程的思想解題.
設鐘表在5時過f分時,分針與時針的夾角為90°.由題意,知d = 5,α = 90°.于是可得方程
30° × 5 - (5.5f)° = 90°
解得f1 =, f2 =.
答:鐘表在5時 分或5時 分時,分針和時針的夾角為90°.
指針重合問題,實質(zhì)是分針、時針夾角為0°的特例.
例4在1時至2時之間的什么時刻,鐘表的分針與時針重合?
解析:設在1時過f分時,鐘表的分針與時針重合,根據(jù)題意,得
30° × 1 - (5.5f)° = 0°.
解得f =.
至于整點時刻分針、時針的夾角,只需數(shù)出兩針之間(小于平角之間)的格數(shù),然后用格數(shù)乘以30°即可.
例5 早上8時的時針與分針的位置如圖1,那么分針與時針所成的角的大小是().
A. 60°B. 80°C.120° D. 150°
解析:選C.
因為整點時刻分針和時針的夾角等于兩針間的格數(shù)乘以30°,而本題兩針間的格數(shù)是4,所以夾角大小為4 × 30° = 120°.
注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文
中學生數(shù)理化·七年級數(shù)學北師大版2008年10期