張金英

北師大版七年級上冊第四章《基本平面圖形》學(xué)習(xí)了角的概念以及角的形成后，出現(xiàn)了有關(guān)鐘表上時針和分針的夾角問題，同學(xué)們在解決此類問題時，出現(xiàn)了一定的困難.在學(xué)習(xí)了第五章《一元一次方程》列一元一次方程解決行程問題中的追及問題后，把這兩個知識點結(jié)合起來，問題就容易解決多了.下面和大家一起探討一下這方面的問題.

1求某一時刻鐘表上時針和分針的夾角

我們知道，鐘表一周被分成60個小格，每個小格對應(yīng)的角度為36060°=6°，分針每分鐘轉(zhuǎn)動1小格，即分針每分鐘轉(zhuǎn)6°.時針1小時轉(zhuǎn)6個格，即時針每小時轉(zhuǎn)30°.把12點（0點）線看做是起始線，把某一時刻的分鐘數(shù)乘以6°就可以得到分針轉(zhuǎn)過的角度，得出分針與起始線的夾角，簡稱分針角，定出分針的位置.同樣，把某一時刻的時間看做時針轉(zhuǎn)過的小時數(shù)（分針轉(zhuǎn)化為小時），小時數(shù)乘以30°，就可以得到時針轉(zhuǎn)過的角度，得出時針與起始線的夾角，簡稱時針角，定出時針的位置.這時，再計算分針角與時針角的差（較大的角減去較小的角），就可以得到分針與時針的夾角.此方法好處在于省去了畫鐘表確定時針和分針位置的步驟，易于理解，計算簡便，符合七年級學(xué)生的學(xué)情.

例1求7點22分時，時針與分針的夾角

解先求分針角22×6°=132°，再求時針角把7點22分轉(zhuǎn)化為72260小時，72260×30°=221°，221-132=79°，所以7點22分時，時針與分針的夾角是79°.

說明分針與時針的夾角是指小于或等于平角，所以當(dāng)時針角與分針角的差大于180°時，可以用360°減去它們的差，就得到分針與時針的夾角.

例2求2點52分時，分針與時針的夾角

解分針角52×6°=312°，時針角25260×30°=86°312°-86°=226°，

226°﹥180°，那么，2點52分時，分針與時針的夾角就是360°-226°=134.

2知道分針與時針的夾角，求時間

鐘表上，分針和時針是同方向轉(zhuǎn)動的，分針轉(zhuǎn)速快，每小時轉(zhuǎn)360°，時針轉(zhuǎn)速慢，每小時轉(zhuǎn)30°，鐘表上分針和時針的轉(zhuǎn)動就形成了數(shù)學(xué)上的追及問題.

例3經(jīng)過多長時間分針與時針重合一次？

分析分針與時針重合一次指的是，它們從同一個位置同時出發(fā)，經(jīng)過多長時間，分針比時針多轉(zhuǎn)一圈（360°）.

解設(shè)經(jīng)過x小時分針和時針重合一次，

根據(jù)題意得360x-60×=360，

解得x=1211.

答：經(jīng)過1211小時分針比時針重合一次.

例4在2～3之間，何時分針與時針的夾角為27°？

分析2點時，分針指向12，時針指向2，此時分針與時針的夾角為60°.若分針與時針的夾角為27°，27°<60°，分兩種情況：時針在前27°時和分針在前27°時.

解設(shè)經(jīng)過x小時分針與時針的夾角為27°.

1）當(dāng)時針在前27°時，由題意得

30x+60=360x+27，

解得x=110，

110小時=6分鐘.

2）當(dāng)分針在前27°時，由題意得

30x+60=360x-27，

解得x=29110，

29110小時=15911分鐘.

答：在2點6分或2點15911分時分針與時針的夾角為27°.

例5在1～2之間，何時分針與時針的夾角為90°？

分析1點時，分針指向12，時針指向1，此時分針與時針的夾角為30°.若分針與時針的夾角為90°，90°>30°，分兩種情況：分針在時針前90°時或分針在時針前270°.

解設(shè)經(jīng)過x小時分針與時針的夾角為90°.

1）當(dāng)分針在時針前90°時，由題意得

30x+30=360x-90，

解得x=411，

411小時=21911分鐘.

2）當(dāng)分針在時針前270°，

由題意得

30x+30=360x-270，

解得x=1011，

1011小時=54611分鐘.

答：在1點21911分或1點54611分時分針與時針的夾角為90°.

點評解決知道夾角求時間的問題，一般是先求出時針和分針的起始的夾角，分清所求時間的夾角與起始夾角的大小關(guān)系，當(dāng)起始夾角大于所求時間的夾角時，分時針在前時和分針在前時兩種情況列方程；當(dāng)起始夾角小于所求時間的夾角時，分針在時針前α°時或分針在時針前（360°-α°）兩種情況列方程.