王冰冰+段慶林+李錫夔+張洪武+楊迪雄

摘要：針對Euler梁彎曲問題的無網(wǎng)格法數(shù)值求解，提出與撓度近似相一致的高階曲率光順方案。采用耦合權(quán)函數(shù)方法準(zhǔn)確施加固定撓度邊界條件，并在曲率光順過程中引入轉(zhuǎn)角邊界條件。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明：該方案能精確反映純彎曲模式和線性彎曲模式；與標(biāo)準(zhǔn)的高斯積分及現(xiàn)有的常曲率光順方案相比，該高階曲率光順方法可顯著改善該類問題的數(shù)值求解精度。

關(guān)鍵詞：Euler梁；曲率光順；數(shù)值積分；無單元伽遼金法；梁單元；耦合形函數(shù)；高階近似

中圖分類號(hào)：O302 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0引言

Euler梁是工程上廣泛應(yīng)用的一種結(jié)構(gòu)元件，其彎曲問題的控制方程為四階微分方程，在對其進(jìn)行數(shù)值求解時(shí)，要求近似函數(shù)至少有C¹連續(xù)性。傳統(tǒng)的基于Lagrange插值的有限元法僅具有C⁰連續(xù)性，不能直接用于求解Euler梁彎曲問題，通常須采用Hermite插值。近二十余年發(fā)展起來的無網(wǎng)格法，其近似函數(shù)（形函數(shù)）十分光滑，滿足高階連續(xù)性的要求，可方便地直接應(yīng)用于Euler梁的彎曲分析。

由于無網(wǎng)格形函數(shù)為非多項(xiàng)式有理函數(shù)，需采用較多的區(qū)域積分點(diǎn)計(jì)算Galerkin法弱形式，嚴(yán)重降低無網(wǎng)格法的計(jì)算效率，且計(jì)算精度不高。由一般彈性體無網(wǎng)格分析中的應(yīng)變光順技術(shù)推廣而來的曲率光順方法，在每個(gè)背景積分網(wǎng)格內(nèi)僅采用一個(gè)積分點(diǎn)即可精確反映常彎曲模式，既大幅減少積分點(diǎn)個(gè)數(shù)又顯著提高求解精度，成為該類問題的主要數(shù)值積分方法，已在薄梁板彎曲、自由振動(dòng)、色散及屈曲等方面得到廣泛應(yīng)用。然而，DUAN等指出，針對一般彈性體理論提出的應(yīng)變光順技術(shù)只能精確反映常應(yīng)變場，不完全適用于高階無網(wǎng)格法，并進(jìn)一步通過修正積分點(diǎn)上節(jié)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，發(fā)展針對高階近似的一致性積分方法。目前，該類積分方法已在無網(wǎng)格傳熱、彈性動(dòng)力學(xué)和三維彈塑性等問題中得到應(yīng)用，表現(xiàn)出高精度、高效率的優(yōu)點(diǎn)。CHEN等基于變分原理推導(dǎo)適用于高階近似的積分約束條件，并通過修正檢驗(yàn)函數(shù)消除積分殘差，該方法得到的檢驗(yàn)函數(shù)一般與試探函數(shù)不同，因而得到的剛度陣非對稱。WANG等以應(yīng)變光順方法為基礎(chǔ)，采用三角形嵌套子域積分，通過積分誤差估計(jì)，合理地組合剛度陣，同樣得到具有二階精度的積分方法。

目前，針對一般彈性體的無網(wǎng)格分析已發(fā)展出若干種適用于高階近似的積分方法。然而，現(xiàn)有的由應(yīng)變光順技術(shù)推廣而來的曲率光順方法僅能精確反映常彎曲模式，仍然只是常曲率光順方案，不能精確再現(xiàn)與高階（二階以上）無網(wǎng)格近似相一致的具有高階曲率的彎曲模式。本文針對Euler梁彎曲問題，采用三階無網(wǎng)格近似，發(fā)展出與其相一致的高階曲率光順方案，并考察其計(jì)算精度、收斂性等數(shù)值特性。

1控制方程及數(shù)值離散

在Ω=[0，L]（L為梁的長度）時(shí)，Euler梁彎曲問題的控制方程為endprint