羅嘉輝+包蕓

摘要：提出二維湍流熱對(duì)流DNS模擬的并行直接求解方法（Parallel Direct Method of DNS，PDM-DNs），在“天河二號(hào)”超級(jí)計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)高Ra和極高Ra湍流熱對(duì)流大規(guī)模DNs計(jì)算。高分辨率的湍流熱對(duì)流計(jì)算結(jié)果表明不同Ra（10³≤Ra≤10¹³）的瞬時(shí)溫度場(chǎng)的流場(chǎng)特性完全不同。較低Ra流場(chǎng)中有明顯的大尺度環(huán)流和角渦；較高Ra流場(chǎng)中羽流運(yùn)動(dòng)充滿隨機(jī)性；更高Ra流場(chǎng)出現(xiàn)小尺寸漩渦并不斷從上下底板產(chǎn)生，這些渦相互影響作用，隨大尺度環(huán)流一起作繞行運(yùn)動(dòng)。二維湍流熱對(duì)流的Nu與Ra存在標(biāo)度關(guān)系，標(biāo)度律約為0.3。

關(guān)鍵詞：Rayleigh-B6nard熱對(duì)流；湍流；PDM-DNS；并行計(jì)算；極高Ra；羽流形態(tài)

中圖分類號(hào)：0357.53 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B

0引言

熱對(duì)流廣泛存在于自然界和工業(yè)生產(chǎn)中，研究熱對(duì)流現(xiàn)象對(duì)天體物理、海洋環(huán)流、全球氣候變化、工業(yè)冷卻設(shè)計(jì)、反應(yīng)堆設(shè)計(jì)等科學(xué)研究具有重要意義。Rayleigh-Benard（RB）對(duì)流系統(tǒng)是研究對(duì)流問(wèn)題的經(jīng)典物理和流體力學(xué)模型，是近年來(lái)物理學(xué)和流體力學(xué)研究領(lǐng)域的熱門研究課題之一。熱對(duì)流研究中的重要參數(shù)Ra（瑞利數(shù)），與研究對(duì)象的幾何高度的3次方成正比，所以自然界中的對(duì)流現(xiàn)象大都具有極高的Ra。自從KRAICHNANt在1962年提出極高Ra時(shí)熱對(duì)流隨Ra的變化特性將進(jìn)入“終極區(qū)間”的理論后，學(xué)者們一直都在尋找其存在的證據(jù)以及“終極區(qū)間”的起始臨界Ra即Ra*。熱對(duì)流研究中著名的GL理論預(yù)言認(rèn)為，RB對(duì)流的特性將在Ra*=O（10¹⁴）時(shí)發(fā)生根本變化，流動(dòng)將從湍流狀態(tài)進(jìn)入“終極狀態(tài)”。到目前為止，RB對(duì)流實(shí)驗(yàn)研究的Ra幾乎都在Ra*之下。發(fā)現(xiàn)極高Ra對(duì)流系統(tǒng)的“終極狀態(tài)”并對(duì)其物理和流動(dòng)特性進(jìn)行研究，仍是該領(lǐng)域內(nèi)的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題和巨大挑戰(zhàn)。極高Ra的熱對(duì)流特性研究對(duì)于天體物理學(xué)以及大氣、海洋等自然界中的對(duì)流熱輸運(yùn)等重大科學(xué)問(wèn)題有極重要的意義。

DNS數(shù)值模擬是RB熱對(duì)流的重要研究手段之一。隨著Ra的提高，熱對(duì)流流動(dòng)進(jìn)入湍流狀態(tài)，所需DNS模擬的計(jì)算規(guī)模不斷增大，導(dǎo)致計(jì)算所需要的成本巨大，最終數(shù)值計(jì)算難以實(shí)現(xiàn)。研究極高Ra湍流熱對(duì)流的大規(guī)模DNS數(shù)值模擬技術(shù)仍然需要不斷創(chuàng)新。湍流熱對(duì)流的DNS數(shù)值模擬計(jì)算目前在Ra=O（10¹²）的水平，仍無(wú)法進(jìn)行熱對(duì)流“終極狀態(tài)”的研究。

近年來(lái)，超級(jí)計(jì)算機(jī)硬件技術(shù)發(fā)展迅速，“天河二號(hào)”超級(jí)計(jì)算機(jī)可為DNS數(shù)值模擬技術(shù)的進(jìn)步提供新的計(jì)算硬件技術(shù)支持。建立可以高效并行的湍流熱對(duì)流DNS計(jì)算方法，對(duì)極高Ra湍流熱對(duì)流及其物理特性的研究有很重要的意義。本文依據(jù)可以高效并行的針對(duì)泊松方程的PDD算法，提出二維RB熱對(duì)流DNS的并行直接求解方法（Parallel Direct Method of DNS，PDM-DNS），在“天河二號(hào)”超級(jí)計(jì)算機(jī)上可實(shí)現(xiàn)大規(guī)模并行的二維高Ra湍流熱對(duì)流DNS模擬計(jì)算。

1 RB熱對(duì)流的控制方程及數(shù)值計(jì)算

在Boussinesq假設(shè)下，經(jīng)過(guò)無(wú)量綱化后的二維RB熱對(duì)流的描述方程為

式中：V為速度矢量；p為壓力；θ為無(wú)量綱溫度；t為時(shí)間；k為豎直方向單位矢量；Ra為瑞利數(shù)；Pr為普郎特?cái)?shù)。計(jì)算邊界條件：速度為四壁無(wú)滑移邊界；溫度（無(wú)量綱化）為下底板加熱θ=0.5，上底板冷卻θ=-0.5；側(cè)壁為絕熱邊界。計(jì)算網(wǎng)格采用常用的交錯(cuò)網(wǎng)格，空間采用二階精度離散格式，時(shí)間方向采用一階精度。計(jì)算區(qū)域?yàn)榫匦?，?jiàn)圖1。計(jì)算網(wǎng)格數(shù)為n_x×n_z。并行計(jì)算的分區(qū)沿x方向水平分割，即圖1中較粗的水平網(wǎng)格線。

2 PDM-DNS

PDM-DNS的求解過(guò)程采用投影法。投影法計(jì)算步驟為：（1）采用顯式格式預(yù)估動(dòng)量方程的速度；（2）結(jié)合連續(xù)方程推導(dǎo)出求解壓力的泊松方程，求解泊松方程得到全場(chǎng)壓力；（3）對(duì)預(yù)估動(dòng)量方程的速度進(jìn)行修正，得到同時(shí)滿足連續(xù)方程和動(dòng)量方程的速度場(chǎng)；（4）采用顯式方法計(jì)算溫度對(duì)流擴(kuò)散方程。其中，動(dòng)量方程和溫度對(duì)流擴(kuò)散方程中的速度和溫度計(jì)算采用顯示格式，并行計(jì)算容易實(shí)現(xiàn)。由連續(xù)方程推導(dǎo)出的壓力泊松方程需要全流場(chǎng)聯(lián)立求解，通常采用迭代計(jì)算，是整個(gè)DNS模擬中計(jì)算工作量最大的部分。泊松方程全場(chǎng)聯(lián)立求解的要求造成并行計(jì)算的困難，是實(shí)現(xiàn)大規(guī)模高效并行計(jì)算的難點(diǎn)。因此，計(jì)算壓力泊松方程的高效并行求解方案，是二維熱對(duì)流DNS模擬可以實(shí)現(xiàn)大規(guī)模高效并行計(jì)算的關(guān)鍵技術(shù)。

泊松方程的迭代求解方法較容易實(shí)現(xiàn)并行計(jì)算，但進(jìn)入湍流狀態(tài)的熱對(duì)流壓力泊松方程的迭代次數(shù)非常大，反復(fù)的迭代計(jì)算需要很多計(jì)算時(shí)間，會(huì)大大增加計(jì)算工作量，而且每次迭代都需要進(jìn)行數(shù)據(jù)通信，會(huì)造成整體的并行計(jì)算效率不高。

在以往小規(guī)模的二維熱對(duì)流DNS模擬計(jì)算中，利用FFT變換解耦泊松方程，用追趕法求解三對(duì)角方程組的泊松方程直接解法，在單線程的計(jì)算上比用迭代求解方法效率高，但三對(duì)角方程組的追趕法無(wú)法直接進(jìn)行大規(guī)模高效并行求解，使得壓力泊松方程直接求解方法在規(guī)模并行計(jì)算上遇到困難。SUN等針對(duì)強(qiáng)對(duì)角占優(yōu)的三對(duì)角方程組，提出可并行計(jì)算的PDD算法。PDD算法通過(guò)縮減方程組，在機(jī)器精度內(nèi)得到與精確解等價(jià)的近似解，可大大改善需要數(shù)據(jù)通信的MPl分割并行的可擴(kuò)展性和計(jì)算高效性。經(jīng)過(guò)不斷改進(jìn)，PDD算法已經(jīng)成為三對(duì)角方程組的規(guī)模并行近似求解的基本方法。PDD算法可為解決壓力泊松方程直接求解的規(guī)模并行計(jì)算提供新的計(jì)算技術(shù)。

在超級(jí)計(jì)算機(jī)“天河二號(hào)”上，可進(jìn)行MPI和OpenMP混編的大規(guī)模并行計(jì)算。本文對(duì)二維湍流熱對(duì)流DNS模擬中的壓力泊松方程采用并行直接求解的方法進(jìn)行計(jì)算。針對(duì)二維湍流熱對(duì)流并行計(jì)算，MPI計(jì)算區(qū)域沿x方向?qū)分割，即圖1中較粗的水平線。相鄰的MPI分割區(qū)域在并行計(jì)算中需要數(shù)據(jù)通訊，區(qū)域內(nèi)部可用OpenMP并行，無(wú)須數(shù)據(jù)通訊。在直接求解泊松方程過(guò)程中，需要用離散快速傅里葉余弦變換解耦泊松方程，因此x方向必須采用等距網(wǎng)格。在z方向上可根據(jù)計(jì)算的需要采用非等距網(wǎng)格。通過(guò)PDD算法并行計(jì)算得到三對(duì)角方程的近似解，采用對(duì)應(yīng)的離散快速傅里葉余弦反變換公式，得到全場(chǎng)的壓力pⁿ⁺¹，完成泊松方程的并行直接求解。

本文利用以上高效的壓力泊松方程并行直接求解方法，聯(lián)合其他易并行的動(dòng)量方程等計(jì)算方法，創(chuàng)建高效二維熱對(duì)流的并行直接求解方法，并具有很好的并行效率，為大規(guī)模高效并行計(jì)算高Ra和極高Ra二維湍流熱對(duì)流的DNS模擬提供全新的數(shù)值計(jì)算技術(shù)和計(jì)算方法。

3二維高Ra和極高Ra湍流熱對(duì)流的流動(dòng)特性endprint