中圖分類(lèi)號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2025）7-0077-6

學(xué)科核心素養(yǎng)是學(xué)科育人價(jià)值的集中體現(xiàn)。發(fā)展學(xué)生的科學(xué)思維能力，是重要的教學(xué)目標(biāo)之一。而建構(gòu)模型，是一種重要的科學(xué)思維方法[-2]。在高中物理中，很多概念和規(guī)律都是以物理模型為基礎(chǔ)抽象概括出來(lái)的。因此，建立物理模型不僅是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，對(duì)于學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)概念、規(guī)律的科學(xué)本質(zhì)，也有著十分重要的作用[3]。研究表明，高中生在物理建模方面存在較大困難，原因在于學(xué)生難以建構(gòu)函數(shù)和幾何模型，進(jìn)而導(dǎo)致進(jìn)一步的科學(xué)推理與科學(xué)論證出現(xiàn)障礙。隨著信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，計(jì)算機(jī)教學(xué)資源為學(xué)生建構(gòu)物理模型提供了新的助力。教育部印發(fā)的《教師數(shù)字素養(yǎng)》中明確指出：教師要主動(dòng)學(xué)習(xí)和使用數(shù)字技術(shù)資源，開(kāi)展教育數(shù)字化實(shí)踐、探索與創(chuàng)新[4]。幾何畫(huà)板作為一款優(yōu)秀的教育軟件，能將幾何圖形動(dòng)態(tài)、直觀地呈現(xiàn)出來(lái)，幫助學(xué)生建構(gòu)物理模型，發(fā)展學(xué)生的科學(xué)思維。

1圖形輔助軟件在教學(xué)中提升學(xué)生模型建構(gòu)能力的優(yōu)勢(shì)

圖形輔助軟件能夠直觀地展示幾何圖形，并反映幾何關(guān)系，有助于學(xué)生在頭腦中建構(gòu)出幾何模型，降低學(xué)生建構(gòu)物理模型的難度。幾何畫(huà)板以點(diǎn)、線、圓為基本單位，通過(guò)對(duì)基本單位進(jìn)行變換、構(gòu)造、測(cè)量、計(jì)算、動(dòng)畫(huà)、追蹤等操作，能夠動(dòng)態(tài)、直觀地展示幾何圖形。對(duì)于高中生而言，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)難點(diǎn)，其困難之處在于帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡與其受力場(chǎng)和初速度密切相關(guān)，主要體現(xiàn)在其動(dòng)態(tài)過(guò)程過(guò)于抽象，臨界條件和邊界條件難以尋找[5]。而帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡恰好可以轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的幾何問(wèn)題，利用幾何畫(huà)板能夠模擬并記錄帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡。相較于傳統(tǒng)的教學(xué)方式，利用幾何畫(huà)板輔助教學(xué)能夠大大減輕學(xué)生的認(rèn)知負(fù)擔(dān)。這有利于學(xué)生在頭腦中建構(gòu)對(duì)應(yīng)的物理模型，從而進(jìn)一步提升學(xué)生的科學(xué)思維。

2 圖形輔助軟件在教學(xué)中解決學(xué)生模型建構(gòu)的困難

帶電粒子的運(yùn)動(dòng)是一類(lèi)抽象的問(wèn)題。其抽象之處在于，不同場(chǎng)（如電場(chǎng)和磁場(chǎng)）對(duì)粒子的運(yùn)動(dòng)有著不同的作用，學(xué)生難以建立函數(shù)與幾何圖形之間的關(guān)聯(lián)。我們利用幾何畫(huà)板，將粒子的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為幾何圖形的變換，在學(xué)生建構(gòu)物理模型的過(guò)程中搭建幾何臺(tái)階，這能大大降低學(xué)生模型建構(gòu)的難度，進(jìn)而提升學(xué)生的科學(xué)思維。

2.1 帶電粒子物理模型中的多解問(wèn)題

帶電粒子進(jìn)人有界磁場(chǎng)中，與磁場(chǎng)邊界發(fā)生彈性碰撞，其切向速度不變，法向速度反向，粒子碰撞前后的軌跡關(guān)于法線對(duì)稱。但是，由于粒子人射的速度大小不確定，就會(huì)產(chǎn)生多種碰撞情況。

例1本題考查了帶電粒子在圓形有界磁場(chǎng)中的碰撞問(wèn)題（圖1）。粒子從 P 點(diǎn)沿著 PO 射入，與筒壁發(fā)生碰撞，碰撞前后切向速度不變，法向速度反向。問(wèn)粒子從 P 點(diǎn)射出需要碰撞的次數(shù)，以及對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)軌跡和運(yùn)動(dòng)時(shí)間。下面，分析如何利用幾何畫(huà)板處理這類(lèi)問(wèn)題。

圖1例1示意圖

（1）利用幾何畫(huà)板畫(huà)出初速度與有界磁場(chǎng)決定的軌跡圓。

選定 P 的初速度，構(gòu)造垂線，根據(jù)左手定則可知，軌跡圓的圓心在垂線上。在垂線上構(gòu)造一點(diǎn) o ，依次選定點(diǎn) 與點(diǎn) P 造圓，點(diǎn) 可沿著垂線任意拖動(dòng)，如圖2所示。

圖2初速度與有界磁場(chǎng)決定的軌跡圓

（2）根據(jù)碰撞前后速度的變化關(guān)系，畫(huà)出碰撞后的軌跡。

并選定 ，通過(guò)反射得到第一次碰撞后的軌跡。重復(fù)上述操作，可以得到粒子與筒壁第一次碰撞、第二次碰撞、第三次碰撞后的軌跡，分別如圖3（a）（b）（c）所示。

在軌跡圓上構(gòu)造一點(diǎn) B ，構(gòu)造 ，連接點(diǎn)o 與交點(diǎn) A ，構(gòu)造線段 O^′A 的垂線，標(biāo)記垂線 AO （a）粒子與筒壁發(fā)生第一次碰撞（b）粒子與筒壁發(fā)生第二次碰撞

（c）粒子與筒壁發(fā)生第三次碰撞

圖3粒子與磁場(chǎng)邊界碰撞后的軌跡

（3）找到最少碰撞次數(shù)與最短運(yùn)動(dòng)時(shí)間，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如表1所示。

表1粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡

① 由幾何關(guān)系可知 r=Rtanα（α 為軌跡圓心角的一半， R 為圓形磁場(chǎng)的半徑）；

② 由洛倫茲力充當(dāng)向心力得到 ，令 ，得到對(duì)應(yīng)的入射速度 v ：

③由T=2πm ，根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角可以得到對(duì)應(yīng)的時(shí)間 t

由此可見(jiàn)，應(yīng)用幾何畫(huà)板可以將碰撞導(dǎo)致的多解問(wèn)題轉(zhuǎn)化成動(dòng)態(tài)的圖形對(duì)稱變換問(wèn)題，為學(xué)生在頭腦中建構(gòu)對(duì)應(yīng)的物理模型搭建幾何臺(tái)階，促進(jìn)了學(xué)生科學(xué)思維的發(fā)展。

2.2 帶電粒子物理模型中的臨界問(wèn)題

帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，人射速度方向確定，速度大小不確定，其軌跡就會(huì)進(jìn)行動(dòng)態(tài)縮放。由于磁場(chǎng)存在邊界，會(huì)對(duì)粒子的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行限制，就會(huì)產(chǎn)生臨界問(wèn)題。

例2本題考查了帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)（圖4），間距為 1.8h 的豎直無(wú)限長(zhǎng)邊界 _NS，MT 間充滿勻強(qiáng)電場(chǎng)，上部分和下部分分別充滿垂直平面向外和向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為 B 和 2B ，距 KL 高 h 處分別有 P，Q 兩點(diǎn)，質(zhì)量為 m 、帶電荷量為 +q 的粒子從 P 點(diǎn)垂直于 NS 邊界射人該區(qū)域，在兩邊界之間做圓周運(yùn)動(dòng)。問(wèn)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向、粒子不從 NS 邊界飛出的最小入射速度以及粒子從 Q 點(diǎn)飛出的所有入射速度的可能值。下面，分析如何利用幾何畫(huà)板處理這類(lèi)問(wèn)題。

（1）利用幾何畫(huà)板畫(huà)出初速度和磁場(chǎng)邊界決定的軌跡圓。

根據(jù)左手定則，軌跡圓的圓心一定在 NS 上，在直線 NS 上構(gòu)造點(diǎn) o ，依次選擇點(diǎn) o 與點(diǎn) P 構(gòu)造軌跡圓，點(diǎn) o 可沿著 NS 拖動(dòng)，得到粒子兩種不同的入射速度對(duì)應(yīng)的軌跡圓，分別如圖5（a）（b）所示，以及粒子恰要進(jìn)人下半部分磁場(chǎng)的軌跡圓，如圖5（c）所示。

（2）畫(huà)出粒子進(jìn)人下半部分磁場(chǎng)的軌跡，找到粒子不從 NS 邊界飛出的臨界條件。

選定點(diǎn) o 與點(diǎn) A 構(gòu)造直線，由 可知， r_F= 上。 標(biāo)記點(diǎn) o ，利用縮放功能得到下半部分軌跡圓心 o ，選定 與 A 構(gòu)造軌跡圓，拖動(dòng)點(diǎn) o 得到兩種粒子不從 NS 邊界飛出的軌跡，分別如圖6（a）（b）所示。還可以得出粒子恰好不從 NS 邊界飛出的軌跡，如圖 6（c） 所示。

根據(jù)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何關(guān)系得到 rF+2 ，得到 rE 的臨界值，再由 r= 進(jìn)一步得到最小人射速度。

再次利用縮放功能，得到下一部分軌跡的圓心 .O^′′ 。選中點(diǎn) ∣O^′′ 與 B 點(diǎn)構(gòu)造軌跡圓，拖動(dòng)點(diǎn) o 可以著到軌跡隨之變化，得到兩種完整的運(yùn)動(dòng)軌跡，分別如圖7（a）（b）所示，以及粒子從 Q 點(diǎn)飛出的第一種情況對(duì)應(yīng)的軌跡，如圖7（c）所示。

圖6粒子進(jìn)入下半部分磁場(chǎng)的軌跡

圖7粒子的一次完整運(yùn)動(dòng)軌跡

（3）畫(huà)出粒子的完整運(yùn)動(dòng)軌跡，找到粒子從Q 點(diǎn)飛出的所有臨界值。

選定點(diǎn) o 與交點(diǎn) B ，構(gòu)造直線。根據(jù)

重復(fù)上述操作，得到粒子從 Q 點(diǎn)飛出的第二種、第三種情況對(duì)應(yīng)的軌跡，分別如圖8（a）（b）所示。同時(shí)，能夠證明不存在粒子從 Q 點(diǎn)飛出的第四種情況，如圖8（c）所示。

圖8粒子從 Q 點(diǎn)飛出的所有軌跡

例3本題考查了帶電粒子束在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，如圖9所示。在 ygt;0 的區(qū)域有垂直紙面向內(nèi)（ 0a） 的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度均為 B 。一束質(zhì)量為 ?_m 、帶電量為 q（qgt;0） 的粒子沿 x 軸從 o 點(diǎn)射人磁場(chǎng)，最后打在豎直和水平的熒光屏上，使熒光屏發(fā)亮。已知速度最大的粒子在 0a 的區(qū)域運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為2：5，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為7T。T為磁感應(yīng)強(qiáng)度為B時(shí)，該粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期。問(wèn)兩個(gè)熒光屏上亮線的范圍。

圖9例3示意圖

下面，分析如何利用幾何畫(huà)板處理這類(lèi)問(wèn)題。

（1）找到粒子從 y 軸上射出的臨界條件。

根據(jù)左手定則可知，軌跡圓的圓心在 y 軸上，在 y 軸上構(gòu)造點(diǎn) A ，選擇點(diǎn) A 與點(diǎn) o ，構(gòu)造出粒子的軌跡圓。拖動(dòng)點(diǎn) A ，得到兩種粒子可以從 y 軸射出的軌跡圓，分別如圖10（a）（b）所示，以及粒子恰好不能從 y 軸射出的軌跡圓，如圖10（c）所示。

（2）找出粒子從 x 軸上射出的臨界條件。

由于 ，可以得出粒子在兩個(gè)磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑相同。選定圓心 A ，利用縮放功能得到點(diǎn) A ，依次選定點(diǎn) A^′ 與點(diǎn) B 構(gòu)造軌跡圓，得到粒子恰好能從 x 軸射出的軌跡，如圖11（a）所示；向上拖動(dòng)點(diǎn) A ，得到另一種粒子從 x 軸射出的軌跡，如圖11（b）所示；由題目所給粒子的最大速度，找到A點(diǎn)能向上移動(dòng)的最大距離，得到粒子從 x 軸最遠(yuǎn)處射出的軌跡，如圖11（c）所示。

圖10粒子從 y 軸上射出的臨界條件

圖11粒子從 x 軸上射出的臨界條件

（3）追蹤和記錄粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡。

利用幾何畫(huà)板的追蹤功能，追蹤粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，得到粒子的運(yùn)動(dòng)區(qū)域，從而進(jìn)一步得到兩個(gè)熒光屏上的亮線范圍，如圖12所示。由此可見(jiàn)，應(yīng)用幾何畫(huà)板可以將帶電粒子的臨界問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形的動(dòng)態(tài)縮放問(wèn)題，為學(xué)生在頭腦中建構(gòu)出對(duì)應(yīng)的物理模型搭建了幾何臺(tái)階，促進(jìn)了學(xué)生科學(xué)思維的發(fā)展。

圖12熒光屏的亮線范圍

3結(jié)論

幾何畫(huà)板通過(guò)動(dòng)態(tài)的可視化手段，將帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡轉(zhuǎn)化成了幾何圖形的變換，為學(xué)生搭建了模型建構(gòu)的認(rèn)知臺(tái)階，有助于學(xué)生在頭腦中建構(gòu)物理模型，并進(jìn)行科學(xué)推理與科學(xué)論證，從而進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。該研究以幾何畫(huà)板為工具，實(shí)際上還有更優(yōu)秀的教育軟件有待我們?nèi)ダ?。教師?yīng)該在教學(xué)的過(guò)程中主動(dòng)學(xué)習(xí)和使用數(shù)字技術(shù)資源，打造更加高效的課堂，減輕學(xué)生的認(rèn)知負(fù)擔(dān)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生在樂(lè)中學(xué)。

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[5]師家慶.讓抽象變形象，讓難點(diǎn)“動(dòng)”起來(lái)[J].物理教師，2014，35（7）：65-66.

（欄目編輯 賈偉堯）